唐山市第一中学
2011—2012学年第二学期期末考试高二年级数学试题
（文科）
试卷Ⅰ（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后，请填涂在答题卡上． 1.若P?{y|y?x2},Q?{x|x2?y2?2},P?Q= A．[0，2] B．（{1,1）,(-1,1)} C．{0,2} D．? 2.已知i为虚数单位，则
?2?i1?2i的值等于
A. ?i B.1?2i C. ?1 D. i ?2x?x?0?3. 已知函数f?x???，则f?5??
?f?x?3??x?0? A.32 B.16 C.4. 函数f?x??log12 D.
132
13?2x2?x,则f?x?的单调递增区间是
?A. ?-?,-??1?1??1??? B. ?-,??? C. ?0,??? D. ?-?,-? 4?2??4??5. 函数f?x??x?4log2?x?1?2的定义域是
A.?2,??? B. ?2,??? C. ?1,??? D. ???,?2???2,??? 6. 若函数y?x?3x?4的定义域为?0,m?，值域为??2??25?,?4?，则m的取值范围为 4??3???A．?0,4? B。?,4? C．?,3? D．?,???
222?????3??3?7. 已知命题p:“?x??1,2?,x?a?0”，命题q:“?x?R,x?2ax?2?a?0”若命题
22??p????q?是假命题,则实数a的范围为
A．a??2 B．a??2或a?1 C．?2?a?1 D．?
8. 给出下列四个结论：
①“若am2?bm2,则a?b”的逆命题为真； ②若f(x0)为f(x)的极值，则f?(x0)?0； ③函数f(x)?x?sinx（x?R）有3个零点； ④对于任意实数x，有f(?x)??f(x),g(?x)?g(x),且x?0时f'则x??x??0，g'?x??0，
0时f?(x)?g?(x).其中正确结论的序号是
A．①② B．② C．②③ D．④
9. 若曲线xy?a?a?0?，则过曲线上任意一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是
A．2a2 B．a2 C．2a D．a 10.已知函数f?x??lna?lnxx在[1，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是
A．0?a?e B．0?a?e C．a?e D．a?e 11. 定义一种运算：a?b??大致图象是
?a?a?b??b?a?b?，已知函数f?x??2x??3?x?，那么函数y?f?x?1?的
12. 定义在R上的函数f?x?满足?x?1?f时，有
A．f?2?x1??f?2?x2? B．f?2?x1??f?2?x2? C．f?2?x1??f?2?x2? D．f?2?x1??f?2?x2?
'?x??0，且y当x1?1?x2?1?f?x?1?为偶函数，
试卷Ⅱ（共90分）
二、填空题（本题共4个小题,每题5分，共计20分）
13. 若关于x的不等式x?3?x?1?a恒成立，则a的取值范围是_ 14.用二分法求函数f(x)?3?x?4的一个零点，其参考数据如下：
xf(1.6000)=0.200 f(1.5625)=0.003 xf(1.5875)=0.133 f(1.5562)=-0.029 f(1.5750)=0.067 f(1.5500)=-0.060 根据此数据，可得方程3?x?4?0的一个近似解（精确到0.01）为 15．已知函数f?x?满足f??1???log?x?2x，则f?x?的解析式是
16. 已知函数f?x??ln________
1?x1?x2?sinx，则关于a的不等式f?a?2??fa?4?0的解集是
??三、解答题（本题共6个小题 共计70分） 17．（本题满分10分） 设a?0，函数f(x)?exa?aex是R上的偶函数．
（1）求a的值；（2）证明f(x)在(0,??)上是增函数．
18．（本题满分12分）
直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为
?3x??2?t??2（t为参数），直线l方程为?，直线l与C的公共点为T
1?y?t?2???4cos(1)求点T的极坐标
(2)过点T作直线l'，l'被曲线C截得的线段长为2，求直线l'的极坐标方程 .
19．（本题满分12分）
已知函数f?x??x?1,g?x??2x?a. (1)当a?0时,解不等式f?x??g?x?;
(2)若存在x?R,使得f?x??g?x?成立,求实数a的取值范围. 20．（本题满分12分）
已知?ABC中，AB?AC，D是?ABC外接圆劣弧AC上的点(不与点A,C重合)，延长BD至
E
(1)求证：AD的延长线DF平分?CDE； (2)若?BAC?30，?ABC中BC边上的高AH为 2＋3，求?ABC外接圆O的面积．
21．（本题满分12分）
已知函数f?x?定义域为??1,1?，若对于任意的x,y???1,1?，都有f?x?y??f?x??f?y?，且
x?0时，有f?x??0
0⑴证明:f?x?为奇函数;
⑵判断f?x?在??1,1?上的单调性，并证明
⑶设f?1??1,若f?x??m2?2am?1,对所有x???1,1?,a???1,1?恒成立,求实数m的取值范围.
22．（本题满分12分）
设f?x?是定义在??1,1?上的奇函数，且当?1?x?0时f?x??2x3?5ax2?4a2x?b (1)求函数f?x?的解析式；
(2)当1?a?3时，求函数f?x?在?0,1?上的最大值g?a?．
试题答案（文数）
一、ADCDA CBDCD BA 二、a?4；1.56； f?x???log三、17．（本题满分10分）
解：（1）对一切x?R有f(?x)?f(x)，即
1a2x； (3，2)
exa?aex?1aex?ae则(a?x1a)(e?x1ex)?0对一切
x?R成立．得a??0，即a?1．。。。。。。。。。5分
1ex1（2）证明：设0?x1?x2，f(x1)?f(x2)?e?e21x1x2??1ex2?(ex2?e)x11?eex1?x2x1?x2，
xxx由0?x1?x2，得x2?x1?0，e?e?0，1?e2?x1?0，即f(x1)?f(x2)?0，故f(x)在
。。。。。。。。。。。。10分 (0,??)上是增函数．18．（本题满分12分）
解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程x?4x?y?0．。。。。。。。。。。 2分
?3x??2?t??22将?代入上式并整理得t?43t?12?0． ?y?1t??222解得t?23.?点T的坐标为(1,3)..。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分 其极坐标为(2,
'?3) 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分
3?k(x?1),即kx-y?3-k?0.
(Ⅱ)设直线l的方程y? 由（Ⅰ）得曲线C是以(2,0)为圆心的圆，且圆心到直线l的距离为3?k'3.
则，
k2??13.解得k?0,或k?。。。。。。。。。。。。。8分 3.。
直线l'的方程为y?3,或y?。。。。。。。。。。。。。。。。。10分 3x.。?3其极坐标方程为?sin??
19．（本题满分12分）
3或??。。。。。。。。12分 (??R)。
(1) a?0时，f?x??g?x?即x?1?2x ??x?1??4x2 ??213。。6分 ?x?1。
（2）?x?1?2x?a ?a?x?1?2x
?x?1 ?x??1??令g?x??x?1?2x??3x?1 ??1?x?0?。。。。。。。。。。。10分
?1?x ?x?0???g?x?man?1 ?a?1。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
20．（本题满分12分） 解：(1)如图，
∵A，B，C，D四点共圆， ∴∠CDF＝∠ABC.
又AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，且∠ADB＝∠ACB，∴∠ADB＝∠CDF，
又∠EDF＝∠ADB，故∠EDF＝∠CDF，即AD的延长线DF平分∠CDE。。。。。。。6分 (2)设O为外接圆圆心，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC.连接OC， 由题意∠OAC＝∠OCA＝15°，∠ACB＝75°，∴∠OCH＝60°
3
r＝2＋3，得，r＝2，外接圆的面积为4π。。。。。。。12分 2
21．（本题满分12分） 设圆半径为r，则r＋
解：（1）令x?y?0，?f?0??0
令y??x?f?x??f??x??f?0??0,?f??x???f?x?，故f?x?奇函数 。。。3分 （2）任取?1?x1?x2?1，?x2?x1?0，?f?x2?x1??0 ?f?x?是定义在??1,1?上的奇函数
?f?x2??f?x1??f?x2??f??x1??f?x2?x1??0，?f?x2??f?x1?
f?x?在??1,1?上为单调递增函数; 。。。。7分
（3）f?x?在??1,1?上为单调递增函数，f?x?max?f?1??1，使f?x??m2?2am?1对所有x???1,1?,a???1,1?恒成立,只要m?2am?1?1,即m?2am?0
22 令g?a???2am?m2
。。。。。。。12分
22．（本题满分12分）
解：(1)当0 当x＝0时，f(0)＝－f(－0)，∴f(0)＝0. 2x＋5ax＋4ax＋b，－1≤x<0?? ∴f(x)＝?0 x＝0322??2x－5ax＋4ax－b， 0 2af′(x)＝6x2－10ax＋4a2＝2(3x－2a)(x－a)＝6(x－)(x－a)．。。。。。。。。6分 3 22a3 ①当<<1，即1 332当x∈?0， 3 2 2 ????????5分 ? 2a?2a时，f′(x)>0，当x∈?，1?时，f′(x)<0， 3??3?2a?2a上单调递增，在?，1?上单调递减， 3??3? ∴f(x)在?0， ? ∴g(a)＝f②当1≤ ?2a?＝28a3－b. 。 。。。。。。。。。。。。。。。。。9分 ?3?27 2a3 ≤2，即≤a≤3时，f′(x)≥0， 32 ∴f(x)在(0,1]上单调递增． ∴g(a)＝f(1)＝4a－5a＋2－b，。。。。。。。。。。。。。。。11分 3a－b， 1 ∴g(a)＝?3 4a－5a＋2－b，≤a≤3?2 32 2 。。。。。。。。。。。。12分