由图象，作PD⊥X轴于D，则直线OP的斜率为==，则直线AB的方程
为y=
2
（x﹣2a），代入到双曲线方程得：
2
4x+20ax﹣29a=0，又|AB|=12， 由|AB|=
，
得：12=解得a=1， 2
则b=3， 所以x﹣
2
，
=1为所求．
【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了学生对双曲线性质的综合掌握．
26．（2006?天津）如图，双曲线
=1（a＞0，b＞0）的离心率为
、F2分别．
为左、右焦点，M为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且（I）求双曲线的方程； （II）设A（m，0）和
（0＜m＜1）是x轴上的两点．过点A作斜率不为0的
直线l，使得l交双曲线于C、D两点，作直线BC交双曲线于另一点E．证明直线DE垂直于x轴．中心O为圆心．
第46页（共55页）
【分析】（I）设点M（x，y），根据题设条件联立方程求得M的坐标，根据
2
2
2
．求
得a，b和c的关系利用a+b=c求得c，b和a，答案可得 （II）设点C（x1，y1），D（x2，y2），E（x3，y3），则可表示出直线l的方程，直线与双曲线联立方程，可求得x1x2的表达式，求得x2的表达式，同理可求得x3的表达式，最后得出以x2=x3，判断出故直线DE垂直于x轴． 【解答】（I）解：根据题设条件，F1（﹣c，0），F2（c，0）．
设点M（x，y），则x、y满足
因，解得，
故
=
．
利用a2+b2=c2
，得
，于是
．
因此，所求双曲线方程为x2
﹣4y2
=1．
（II）解：设点C（x1，y1），D（x2，y2），E（x3，y3），则直线l的方程为
于是C（x1，y1）、D（x2，y2）两点坐标满足
将①代入②得（x12
﹣2x1m+m2
﹣4y12
）x2
+8my12
x﹣4y12
m2
﹣x12
+2mx1﹣m2
=0． 由已知，显然m2
﹣2x1m+1≠0．于是
．
因为x1≠0，得．
同理，C（x1，y1）、E（x3，y3）两点坐标满足
可解得．
所以x2=x3，故直线DE垂直于x轴．
第47页（共55页）
．
【点评】本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、平面向量、曲线和方程的关系等解析几何的基础知识和基本思想方法，考查推理及运算能力．
27．（2006?北京）已知点M（﹣2，0），N（2，0），动点P满足条件动点P的轨迹为W． （Ⅰ）求W的方程；
（Ⅱ）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求
的最小值．
．记
【分析】（Ⅰ）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，由此能求出其方程． （Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x=x0，此时A（x0，B（x0，﹣
），
（2）），
=2，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b，
代入双曲线方程中，得（1﹣k）x﹣2kbx﹣b﹣2=0．依题意可知方程有两个不
222
相等的正数根，由此入手能求出的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支， 所求方程为：
（x＞0）
（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x=x0， 此时A（x0，B（x0，﹣
）， ），
=2
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b， 代入双曲线方程
2
2
2
中，得：
（1﹣k）x﹣2kbx﹣b﹣2=01°
依题意可知方程1°有两个不相等的正数根，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，
解得|k|＞1又
2
=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+b）（kx2+b）
2
=（1+k）x1x2+kb（x1+x2）+b=
＞2
第48页（共55页）
综上可知的最小值为2．
【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用． 28．（2005?上海）（1）求右焦点坐标是（2，0），且经过点（﹣2，﹣）的椭圆的标准方程．
（2）已知椭圆C的方程是
+
=1（a＞b＞0）．设斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两
点，AB的中点为M．证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上．
（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心．
【分析】（1）先设出椭圆的标准方程，根据焦点坐标可求得c，进而可得a和b的关系，把点（﹣2，﹣
）代入椭圆方程，求得b，进而根据a=
求得a，椭圆的方程可得．
（2）设直线l的方程为y=kx+m且椭圆C的交点A（x1，y1）、B（x2，y2），直线方程和椭圆方程联立进而可得x1+x2和y1+y2的表达式，进而可得AB中点M的坐标进而可判定AB
22
的中点M在过原点的直线bx+aky=0上．
（3）作两条平行直线分别交椭圆于A、B和C、D，并分别取AB、CD的中点M、N，连接直线MN；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于A1、B1和C1、D1，并分别取A1B1、C1D1的中点M1、N1，连接直线M1N1，那么直线MN和M1N1的交点O即为椭圆中心．
【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为
+
=1，a＞b＞0，
∴a=b+4，即椭圆的方程为∵点（﹣2，﹣∴
2
22
+=1．
）在椭圆上，
+=1．
2
解得b=4或b=﹣2（舍）． 由此得a=8，即椭圆的标准方程为
2
+=1．
（2）证明：设直线l的方程为y=kx+m， 与椭圆C的交点A（x1，y1）、B（x2，y2）， y=kx+m，
第49页（共55页）
则有+
2
=1．
22
2
2
2
2
22
解得（b+ak）x+2akmx+am﹣ab=0．
2222
∵△＞0，∴m＜b+ak， 即﹣
＜m＜
．
则x1+x2=﹣，y1+y2=kx1+m+kx2+m=
，
∴AB中点M的坐标为（﹣，
2
2
）．
∴线段AB的中点M在过原点的直线bx+aky=0上．
（3）解：如图，作两条平行直线分别交椭圆于A、B和C、D，并分别取AB、CD的中点M、N，连接直线MN；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于A1、B1和C1、D1，并分别取A1B1、C1D1的中点M1、N1，连接直线M1N1，那么直线MN和M1N1的交点O即为椭圆中心．
【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线的关系．综合考查了学生对椭圆性质和利用韦达定理来解决椭圆与直线问题的掌握．
29．（2005?湖南）已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为e．直
线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设（Ⅰ）证明：λ=1﹣e；
（Ⅱ）若λ=，△MF1F2的周长为6；写出椭圆C的方程；
（Ⅲ）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形． 【分析】（Ⅰ）先根据A、B分别是直线l：y=ex+a与x轴、y轴的交点表示出A、B的坐标，然后联立直线方程与椭圆方程可得到交点M的坐标，再根据
=λ
得（﹣c+，
）=λ
2
=λ．
（，a）根据对应坐标相等可得到，从而得到λ=1﹣e，等证．
2
第50页（共55页）