…………………………………………密………………………………………………封………………………………………线…………………………………… 姓名: 学号: 系别: 年级专业: 东莞理工学院（本科）试卷（ A 卷）答案及评分标准
2010 --2011学年第 一 学期
《 线性代数 》试卷
开课单位：计算机学院数学教研室，考试形式：闭卷
题序 得分 评卷人 一 二 三 四 五 得分 六 总 分 一、填空题（共72 分每空2分）
?0 1 0??1 0 0?????1．设A??1 2 2?,B??0 2 0?，则
?1 1 3??0 0 3?????
_____________ ________ ( 密 封 线 内 不 答 题 ) ?0 1 1???T A=?1 2 1?
?0 2 3????0 2 0???AB= ?1 4 6?;
?1 2 9??? ??1 2 0???2 2 42A?B= ??; ?2 2 3???
方阵A的第二行第三列元素的代数余子式= 1 ;
行列式?2A? 8 ； 行列式A?1? -1 ；
《线性代数》试卷 第1页 共6页
B的伴随矩阵
? 6 0 0???*B?? 0 3 0?
? 0 0 2???B?1? 1 0 0????? 0 1/2 0?； ? 0 0 1/3???
1 1 0 0 0 0 1 1 2 1 0 0 0 0 8 5 0 0 1 1 0 0 2 1 8 5 0 0 1 1 0 0 212．行列式= -3 ；行列式= -3 .
?2r3. 若对方阵A施加初等行变换：r2?2r1后，变为矩阵B，即A?r???B，则
detA() = det(B) r(A) = r(B).
?r4. 若对方阵A施加初等行变换：r2?r1后，变为矩阵B，即A?r???B，则
21 detA() = - detB() r(A) = r(B).
5. 设?1,?2是非齐次线性方程组AX?b的两个解，则
?1??2不是 （是、不是）线性方程组AX?b的解； ?1??2 是（是、不是）线性方程组AX?O的解；
3?1?2?2 是 （是、不是）是线性方程组AX?b的解
?0 1 0???6. 设A??1 2 3?,
?2 4 t???若A的列向量线性相关,则t = 6 ; 此时A的秩 = 2
若t =7时，A的秩 = 3 ；此时A的列向量线性 无 关.
??(3,5)，则?用?1,?2组合的表达式是7．若向量???(1,3),?1??(1,2),?2《线性代数》试卷 第2页 共6页
…………… … … … … … … … … … 线 …业: …专…级…年… … … … … … … … …: 别…系… )封 题 … 答 … … 不 … 内 … 线 … 封 … 密 … (… … …: 号…学… … … … … … 密 … …: 名…姓……………………………??4?1??2
8． 两个向量?T, 1),?T1?(1, 12?(1, ?1, 1)的内积为： 1; ?1=
3 ；
?1用施密特正交规范化?1???1,?2得到?1?3?1? ，则
??1???2??1??1??6??2?
??1???10?11 ?9． 设矩阵A=??011?1 ??， ??0000 ??(1) 齐次线性方程组AX?O的基础解系的向量个数为 2 ，
??1?????1??此时方程的通解为X?c??1?c?1?1???2??,c1,c2?R?1?????0
???0?1??(2) 若矩阵A作为某个非齐次线性方程的增广矩阵, 则该方程的通解为:
?1??1 X????????1??c??1?
??0????1??10．给定线性方程组
?x1 ? x 2 ?x3 ? 1 ?? (? ? 1)x2?x3?0, ?? ( ? ? 1)?x3???1则：当λ≠-1、λ≠1 及λ≠0 时，方程组有唯一解；
当λ= 1 时方程组有无穷解； 当λ= 0或-1 时方程组无解.
《线性代数》试卷 第3页 共6页
?1 -2 5???11. 矩阵A???1 2 ?1?的特征值为： 0 ,3，
?0 0 3????1???对应于特征值??3的特征向量为：k???1?,k?0.
?0????u -8/9 ?4/9???12 若矩阵A???8/9 1/9 ?4/9?是正交矩阵，则u? 1/9 ；v? 7/9
?-4/9 -4/9 v???13．二次型f(x1,x2,x3)??2x12?2x1x2?6x22?2x2x3?4x32的矩阵的系数矩阵为：
??2 1 0???A??1 ?6 1?，该二次型的秩= ?0 1 ?4??? 3 .
二、计算题（共7 分）
得分 ?0 1 0??1 2 0?????A?1 2 2B?2 3 4设矩阵??, ??，求矩阵X, 使AX?2A?B
?1 1 3??2 2 3?????解 由AX = 2A-B 得X?A?1(2A?B) 2’ 又因为
A?1? -4 3 -2???? 1 0 0 ??? 1 -1 1??? 2’
所以X?A?1(2A?B)=A?1? 4 3 -6???? -1 0 0??? -1 -1 3??? 3’
三、计算题（共7 分）
?x1?x2 ?2x3?1?求非齐次线性方程组?x1?x2 ?3x3?1的通解．
?x?x ?4x?123?1得分 《线性代数》试卷 第4页 共6页
?11?解 增广矩阵B??11?11?2 1 ??1?r? 3 1 ?~?0?4 1???01000 1 ?? 1 0 ? 3’ 0 0??
?x1?1?x2 还原成线性方程组? 2’
x?0?3?x1?可得方程组通解为?x2?x?3??1??1???????c?1????0?,c1为任意常数. 2’ 1???0??0??????
四、（共7分）
得分 化二次型f(x)?x12?2x22?x32?4x1x2?2x1x3?3x2x3为标准型，并求所用的满秩线性变换矩阵。
解
f(x)?(x1?2x2?x3)?2(x2?214x3)?218x32 4’
?y1?x1?2x2?x3?1?令?y2?x2?x3
4???y3?x31?x?y?2y?y312?12?1?即有变换?x2?y2?y3 ,
4??x3?y3???x1??x2?x?3??1 -2 -1/2?????0 1 -1/4??0 0 1????y1????y??2? ??y???3?把二次型f(x)?x12?2x22?x32?4x1x2?2x1x3?13x2x3化为标准型
f(x)?y1?2y2?2218y3
?1 -1 -1/2? 对应变换矩阵P??0 1 -1/4?0 0 1???? 3’ ??
《线性代数》试卷 第5页 共6页
五、（共7分）
得分
?a ?2 0?已知A??2 1 0????的秩为2,
??0 0 2??a) 求参数a (2分)
b) 求A的特征值 (3分)
c) 求正交矩阵P，使PTAP.为对角形矩阵 (2分)
解 a） 2’
?R(A)?2,?A?0?a?4 b)解特征方程A??E?0，得?1?0，?2?5，?3?2 C）分别解方程组
（A??iE）X?O,i?1,2,3， 得单位特征向量??2????2???5??5?p?1?1???，p???0???1?，p???5?2??53??0?； ???????1???0??0???????2 2 0???55?及正交矩阵?P???1 1 0?? ， ?55??? 0 0 1?????0 0 0?PTAP? ?????0 5 0? ??0 0 2??
《线性代数》试卷 第6页 共6页
3’2’