练习十一
2．
Q
2?R?d任取线元dl?Rd?，d?为线元对圆心O点的圆心角
解：电荷线密度??则电荷元电量为dQ??dl??Rd? 电荷元在圆心O点的场强为
dE?1?Rd?4??2
0RdE1Rd?y??4??cos?
0R2E??dE??0?cos?y???04??d?0R???2sin?0?d4????0R4??0R2??9?109?3.12?10?90.022??0.5?0.02?0.52??0.72(V/m)
近似解法
E?1??d4??R2??0.72(V/m)
0
30
y?dEOdld??Rx?0dyOERxd
练习十一
3．
解：在平板内任取厚度为dx的簿层，作为电荷元， 其电荷面密度为?=?dx，簿层两侧的场强大小为
dxdE????dx，方向平行于x轴 2?2?xO00（1）M1处的场强为
M1Ea?akxka21??dE??0?2?dx?0?0?2?dx??
04?0M2处的场强为
E2??dE??a?akxka202?dx?0?02?dx?
04?0（2）M处（a?x?0）的场强为
E??dE??x?dx??a??dx?k0(2x2?a22?0x2?)
04?0（3）场强最小为Emin?0，代入上式得
k4?(2x2?a2)?0 a?x?0 0则 x?22a 31
MM2a练习十一
4．
解：在半径为R的圆形平面上，
取半径为r的宽度为dr的同心圆环，则 圆环面积 dS?2?rdr
d2?R2d由关系得 r?dtg?，dr?d? 2cos?通过面积dS的电通量为
drRrO?d?qAd?E?Ecos?dS?Ecos?2?rdr
又因为 E?所以
q
4??0r2?d21d?E? ?qco?s2?rdr224??0r?d1qdco?s2??dt?gd? 2d24??0cos?()co?s1?sin?d?2?0?1通过圆平面的电通量为
?E??d?E????0qsin?d?2?0
q(1?cos?)2?0q(1?2?0dR?d22)22另解：圆平面的电通量等于以为R?d半径，以圆平面的边界为边界的球冠表面的电通量
?E??d?E?ES?E?2?rh qqd2222??2?R?d(R?d?d)?(1?)224??0R2?d22?0R?d1
32
练习十一
5．
解：应用场强叠加原理求解
P点场强大小为
EP?ERP?ErP??14??03??rPO432rPO?1??r34??0(rPO43?rOO?)2 ?r3?(?rPO)23?0(rPO?rOO?)场强方向沿x轴方向，正值沿x轴正方向。
P?PROO?rx
P?点场强大小为
EP??ERP??ErP???14??0??R3432rP?O413?4??0(rP?O?rOO?)2
??r3?r3R3?(?2)3?0(rP?O?rOO?)2rP?O场强方向沿x轴方向，正值沿x轴正方向。
33
练习十一
6．
解：设地球带的总电量为Q，大气层带电量为q。 （1）根据高斯定理
E?4?R2?Q?0
1(6.37?106)2??9?105(C) 99?10地球带的总电量为
Q?E?4?R2?0??200?（2）根据高斯定理
E?4?(R?h)2?Q?q?0
1400m厚的大气层带电量为
q?E?4??0(R?h)2?Q1625(6.37?10?1400)?9?109?109
5?8.1?10??20?大气层的平均电荷密度为
4?(r3?R3)38.1?105?4??(6.37?106)2?1400?1.13?10?12(C/m3)
??q?q4?R2h
34