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求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵?B??C?180?， ∴AB∥CD 又∵AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形． （解法三）
已知：在四边形ABCD中，②AB?CD，④?B??C?180?. 求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：∵?B??C?180?， ∴AB∥CD又
∵AB?CD
∴四边形ABCD是平行四边形． （解法四）
已知：在四边形ABCD中，③?A??C，④?B??C?180?. 求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：∵?B??C?180?， ∴AB∥CD ∴?A??D?180? 又∵?A??C ∴?B??D
∴四边形ABCD是平行四边形．
7.（2010年贵州毕节地区）如图，已知： ABCD中，?BCD的平分线CE交边AD于E，?ABC的
平分线BG 交CE于F，交AD于G．求证：AE?DG．
G E A D F
B
【关键词】平行四边形、角平分线
C
【答案】证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形（已知），
?AD∥BC，AB?CD（平行四边形的对边平行，对边相等）
??GBC??BGA，?BCE??CED（两直线平行，内错角相等） 又∵ BG平分?ABC，CE平分?BCD（已知）
??ABG??GBC，?BCE??ECD（角平分线定义） ??ABG??GBA，?ECD??CED．
?AB?AG，CE?DE（在同一个三角形中，等角对等边） ?AG?DE
?AG?EG?DE?EG，即AE?DG． 分
7.（2010年重庆市潼南县）如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，
点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2 ， ∠3=∠4.
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（1）证明：△ABE≌△DAF； （2）若∠AGB=30°，求EF的长.
【关键词】全等三角形
【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD
在△ABE和△DAF中 ??2??1??AB?DA ??4??3?A42B1DE3FCG∴△ABE≌△DAF-----------------------4分
（2）∵四边形ABCD是正方形
∴∠1+∠4=900 ∵∠3=∠4 ∴∠1+∠3=900
∴∠AFD=90----------------------------6分 在正方形ABCD中， AD∥BC
∴∠1=∠AGB=30
在Rt△ADF中，∠AFD=900 AD=2
∴AF=3 DF =1----------------------------------------8分 由(1)得△ABE≌△ADF ∴AE=DF=1
∴EF=AF-AE=3?1 -----------------------------------------10分
8.（2010年江苏宿迁）如图，在□ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF．
求证：∠EBF=∠FDE． 【关键词】平行四边形 【答案】
证明：连接BD交AC于O点 ?? 1分
∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC，OB=OD ??????3分 又∵AE=CF ∴OE=OF
∴四边形BEDF是平行四边形 ?? 6分 ∴∠EBF=∠EDF ????? 8分
B A E F B A E O F C C D D 0
0
9.（2010年浙江宁波）如图1，有一张菱形纸片ABCD，AC?8，BD?6. （1）请沿着AC剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一个平行四
边形，在图2中用实数画出你所拼成的平行四边形;若沿着BD剪开， 请在图3中用实线画出拼成的平行四边形;并直接写出这两个平行四边 形的周长。
（2）沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边形，请在图4
D C
A B （图1）
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中用实线画出拼成的平行四边形。
（注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等）
A （图2）
B D C
D C
D C
A （图3）
B A （图4）
B
周长为__________ 周长为__________
【关键词】平行四边形 【答案】 解：（1）
A B 周长为26
A B 周长为22
A B 答案不唯一
D C D C D C （第9题）
10. (2010年甘肃兰州)已知平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=10，
BD=8．
（1）若AC⊥BD，试求四边形ABCD的面积 ；
（2）若AC与BD的夹角∠AOD=60，求四边形ABCD的面积；
（3）试讨论：若把题目中“平行四边形ABCD”改为“四边形ABCD”，且∠AOD=?
AC=a，BD=b，试求四边形ABCD的面积（用含?，a，b的代数式表示）．
【关键词】平行四边形性质 【答案】
解：（1）∵AC⊥BD
∴四边形ABCD的面积 ?????2分
（2）过点A分别作AE⊥BD，垂足为E ?????????????3分 ∵四边形ABCD为平行四边形
AO?CO?12AC?5BO?DO?12BD?4?
sin?AOE?AEAO
在Rt⊿AOE中，
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o ∴
AE?AO?sin?AOE?AO?sin60?5?32?532 ????4分
∴
S1OD?AE?1?4?3?AOD?222?5?53 ????????????5分
∴四边形ABCD的面积 S?4S?AOD?203??????????????6分 (3）如图所示过点A,C分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E,F ????7分
sin?AOE?AE 在Rt⊿AOE中，
AO
∴AE?AO?sin?AOE?AO?sin?
同理可得
CF?CO?sin?COF?CO?sin? ?????8分
∴四边形ABCD的面积 S?S11?ABD?S?CBD?2BD?AE?2BD?CF 1 ? 2BDsin?(AO?CO)1 ? 2BD?ACsin?
?1?????????????10分 2absin?
???????