从高考题谈二面角的解法
摘 要：二面角的大小，是高中数学的重点，同时也是高考的热点，常考常新，其求法各式各样，二面角在高考立体几何的计算中占据着主角地位。而二面角的求解因为方法多样、灵活多变，具有较高的区分度，较能考察学生的空间想象能力、逻辑思维能力及计算能力，更受到命题者的青睐。用传统方法来求解二面角，对学生的空间想象能力、逻辑思维能力要求高；用平面的法向量来求解二面角，对学生的计算能力要求较高，学生往往建系不当、计算出错等原因导致失分。故本人总结出一些求二面角大小的模式——定义法、三垂线法、垂面法、射影法等，和求二面角大小的通法——向量法。
关键词： 立体几何 二面角 垂直
学习立体几何有利于培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和逻辑推理能力。立体几何在每年的高考题中都占有很大的比重。其中二面角是高中立几中中的一项重要内容，是高中数学（教学）的重点，也是历年来高考卷的重点，难点，常考常新，其求法各式各样，是发展空间想象、推理论证、运算求解等基本能力的良好素材。但因其抽象性、综合性和多变性，使得二面角成为教学当中的难点和重点。此题型在高考中属于拉开学生距离的部分，很多学生放弃此题。在近十年的教学中，在求解二面角方面本人总结出一些求二面角大小的模式——定义法、三垂线法、垂面法、射影法等，和求二面角大小的通法——向量法。使二面角问题变得通俗化、模式化和程序化，让学生既容易掌握，又方便操作。
1、 定义法求解二面角
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
例1：在四棱锥P－ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，
P PA＝AB＝a，求二面角B－PC－D的大小。 解：
PA?AB??PA?AD??PB=PD， AB=AD=a??A D
B C
PB?PD??BC?DC???PBD??PDC过B作BH⊥PC于PC?PC??P H，连结DH使DH⊥PC，
A
H D
B C
故∠BHD为二面角B－PC－D的平面角。 因PB＝2a,BC＝a,PC＝3a,
11aPB·BC＝S?PBC＝PC·BH，则BH＝＝DH 223又BD＝2a，在△BHD中由余弦定理，得：
?6??6?a???a??2a?22233BH?DH?BD?????cos∠BHD＝
2BH?BD662?a?a3322??21??
2又0＜∠BHD＜π，则∠BHD＝
2?2?，二面角B－PC－D的大小是。 33例2：（2012广东高考理18，本小题满分13分)
如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点 E在线段PC上，PC⊥平面BDE。
（1）、证明：BD⊥平面PAC；
（2）、若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值； 解（1）∵ PA?平面ABCD
∴ PA?BD ∵ PC?平面BDE ∴ PC?BD ∴ BD?平面PAC
（2）设AC与BD交点为O，连OE
∵ PC?平面BDE ∴ PC?OE
1
又∵ BO?平面PAC ∴ PC?BO ∴ PC?平面BOE
∴ PC?BE
∴ ?BEO为二面角B?PC?A的平面角 ∵ BD?平面PAC ∴ BD?AC
∴ 四边形ABCD为正方形 ∴ BO?2 在?PAC中，
OEPAOE12 ????OE?OCAC332BO?3 OE∴ tan?BEO?∴ 二面角B?PC?A的平面角的正切值为3
2、 三垂线法求解二面角
求二面角的大小是考试中经常出现的问题，而用三垂线法作二面角的平面角是求二面角大小的一个重要方法，许多同学在解题过程中由于没有有效地利用三垂线定理(或逆定理)作出二面角的平面角，使得解题受阻．
这是最典型也是最常用的方法，当然此法仍扎“根”于二面角平面角的定义，我们把用三垂线定理(或逆定理)作二面角的平面角的方法称为三垂线法
此法最基本的一个模型为：如图1-1，设锐二面角??l??，过面? 内一点P作PA⊥?于A，作AB⊥l于B，连接PB，由三垂线定理得PB ⊥l，则∠PBA为二面角??l??的平面角，故称此法为三垂线法.
l
B A 图1-1 P ? ? 如图1，在二面角?—l一?中，过平面?内一点A作AO⊥平面?，垂足为O，过点O作OB⊥l于B(过A点作AB⊥于B)，连结AB(或OB)，由三垂线定理(或逆定理)知AB⊥l(或OB⊥l)，则∠ABO为二面角。?—l—?的平面角． 作图过程中，作出了两条垂线AO与OB(或AB)，后连结AB两点(或OB两点)，这一过程可简记为“两垂一连”，其中AO为“第一垂线”．“第一垂线”能
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否顺利找到或恰当作出是用三垂线法作二面角的平面角的关键，在具体解题过程中要注意以下几点：
1.1.善于利用图中已有的“第一垂线”
例1：已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC，A1在底面ABC的射影恰为AC的中点M，又知AA1与底面ABC所成的角为60°．
(1)求证：BC⊥平面AA1CC1；
(2)求二面角B一AA1—C的大小． 剖析：注意该题的第(1)问，事实上本题已经暗示了BC就是我们要寻求的“第一垂线”．
略解2 A1A与底面AB成的角为60°，所以∠A1AC＝60°，又M是AC中点，所以△AA1C是正三角形，作CN⊥AA1于N，点N为A1A的中点，连结BN，由BC⊥平面AA1CC1，BN⊥AA1，则∠BNC为二面角B一AA1一C的平面角．设AC＝BC＝a，正△AA1C的边长为a，所以CN?23BCa23，即∠BNC?arctan. ??3NCa3323a，在Rt△BNC中，tan∠2BNC=
例2：如图3，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC＝90°，SA
1⊥面ABCD，SA=AB=BC＝1，AD＝
2(1)求四棱锥S—ABCD的体积；
(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．
剖析：由SA⊥面ABCD及∠ABC=90°，不难发现，BC即为“第一垂线”，但是，本题要作二面角的平面角，还需首先作出二面角的棱．
略解2 延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱，因为AD∥BC，BC=2AD，所以EA=AB=SA，所以SE⊥SB，因为SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交线，又BC⊥EB，所以BC⊥面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影，所以CS⊥SE，所以∠BSC是所求二面角的平面角，因为
SB?SA2?AB2?2，BC=1，BC⊥SB，因为tan∠BSC=?2． 23
BC2?，即所求二SB2面角的正切值为
1.2．借助第三个平面，作“第一垂线”
例3 如图4，正三棱柱ABC—A1B1C1的底边长为a，侧棱长为
2a，若经2过对角线AB1且与对角线BC1平行的平面交上底面一边A1C1于点D．
(1)确定点D的位置，并证明你的结论； (2)求二面角A1—AB1—D的大小． 剖析：由线面平行的性质定理及三角形中位线性质，易知D是A1C1中点．二面角A1—AB1一D的放置属于非常规位置的图形，但是，容易发现，平面A1B1C1过点D且与平面A1AB1垂直，这样的平面相对于二面角的两个平面而言，我们称为第三个平面．过D作DF⊥A1B1，由面面垂直的性质知，DF⊥面A1AB1，即DF为我们要作的“第一垂线”．
略解2 在平面A1B1C1内，作CF⊥A1B1于F，连DC，由三垂线定理可证AB1⊥DG，∠DGF就是二面角A1—AB1一D的平面角，在正△A1B1C1中，因为D是A1C1中点，A1B1＝a，所以B1F?∠DCF=45°．
33a，DF?a，在Rt△DFG，可求得44
1.3.利用特殊图形的定义、性质作“第一垂线”
例4 已知：Rt△ABC的斜边BC在平面?内，AB、AC分别与平面。成30°和45°角，求平面?与△ABC所在平面所成二面角的大小．
剖析：本题中没有相对于二面角的两个平面的第三个平面可以借助，但是，我们注意到AB、AC与平面?所成的角均已给出，只要过A作AO⊥?于O，就可以同时找到AB、AC在平面?内的射影，无疑这样得到的“第一垂线\AO有着非常特殊的位置，有利于二面角大小的计算．
解：作AO⊥?于O，OD⊥BC于D，连OB，AD，OC，由三垂线定理得：AD⊥BC，所以∠ADO是二面角A—BC—O的平面角，令AO＝x，在Rt△AOB中，∠ABO＝30°，所以AB＝2x，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，所以AC?2x，
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