因为∠BAC=90°，所以BC?6x，所以AD?2x?2x6x?23x。 3在Rt△AOD中，sin∠ADO?AO3，所以∠ADO＝60°，所以三角形?AD2ABC与面?成60°或120°的二面角．
3、 垂面法求解二面角
作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角. 例1：设P是二面角α－l－β内一点，P到面α、β的距离PA、PB分别为8和5，且AB＝7，求这个二面角的大小。 解：作AC⊥l于c，连结BC ∵PA⊥α，l??∴PA⊥l 又AC⊥l，AC∩PA＝A ∴l⊥平面PAC∴l⊥PC ∵PB⊥β，l??∴PB⊥l 又PB∩PC＝P∴l⊥平面PBC ∴平面PAC与平面PBC重合，且l⊥BC ∴∠ACB就是所求的二面角 △PAB中，PA＝8，PB＝5，AB＝7∴∠P＝600 ∴∠ACB＝1200 1. 如图三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC， 2. PC＝2C D B l 图5 P ? B ?C A P ，D是BC的中点，且△ADC是边A 3长为2的正三角形，求二面角P－AB－C的大小。 解：由已知条件，D是BC的中点 ∴CD＝BD＝2又△ADC是正三角形 ∴AD＝CD＝BD＝2 ∴D是△ABC之外心又在BC上 ∴△ABC是以∠BAC为直角的三角形， ∴AB⊥AC，又PC⊥面ABC 5
∴PA⊥AB(三垂线定理)
∴∠PAC即为二面角P－AB－C之平面角， 易求∠PAC＝30°
4、 射影面积法求解二面角（cosq=S射影S原S射S斜）
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos??）求出二面角的大小。 S B C 例1、 如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD中， AD∥BC,∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，SA=AB=BC=1， 1AD=2 .求面SCD与面SAB所成的角的大小。
A 解法1：可用射影面积法来求， 这里只要求出S△SCD与S△SAB即可， 故所求的二面角θ应满足cos?= =图1 D 1?1?1212?3?22例2．（2008北京理）如图，在三棱锥P?ABC中，
AC?BC?2，?ACB?90?，
A AP?BP?AB，PC?AC． （Ⅰ）求证：PC?AB；
（Ⅱ）求二面角B?AP?C的大小； 解：（Ⅰ）证略
AP?BP，?AC?BC，?△APC≌△BPC．（Ⅱ）
又PC?AC，?PC?BC．
=6 。 3P
B
C
P E A
C B
又?ACB?90?，即AC?BC，且AC?PC?C，
?BC?平面PAC．
取AP中点E．连结BE，CE． ?AB?BP，?BE?AP．
?EC是BE在平面PAC内的射影， ?CE?AP．
∴△ACE是△ABE在平面ACP内的射影，
于是可求得：AB?BP?AP?AC2?CB2?22，BE?AB2?AE2?6，
6
AE?EC?2则S射?S?ACE?S原?S?ABE?11AE?CE?2?2?1， 2211AE?EB?2?6?3 22设二面角B?AP?C的大小为?，则cos??S射S原?13?3 3∴二面角B?AP?C的大小为??arccos3 35、 向量法求解二面角
5．1．利用法向量求二面角的大小的原理:
设 n1,n2分别为平面?,?的法向量，二面角??l??的大小为?，向量
n1,n2的夹角为?，则有?????（图1）或 ???（图2） n2 ?ω n1 ? n1 α θ l β α θ 图1 图2
n2 l β
基本结论 构成二面角的两个平面的法向量的夹角或夹角的补角等于这个二面角的平面角．
5．2．如何求平面的一个法向量:
例题1: 如图3，在正方体ABCD-A1B!C1D1中G、E、F分别 为AA1、AB、BC的中点，求平面GEF的法向量。 略解：以D为原点建立右手空间直角坐标系， 则E(1，G(1,0，
11,0) 、F(，1,0) 、 22DBCz 11111)由此得:GE?(0,,?)FE?(,?0) 2222A2G 设平面的法向量为n?(x,y,z)
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D E A 图3 B F C y
x
由n?GE及n?FE可得
11?n?GE?y?z?0??22?x?y? ??11?n?FE?x?y?0?z?y?22?令y=1取平面的一个法向量为n?(1,1,1)
评析 因为平面的法向量有无数个，方向可上可下，模可大可小，我们只要求出平面的某一个法向量（教简单的）即可。
5．3． 法向量的应用举例:
例题4. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，BC=4，AA1=2,点Q是BC的中点，求此时二面角A—A1D—Q的大小．
解 如图2，建立空间直角坐标系． 依题意：A1（0，0，2），D（0，a，0）． ∴Q（2，2，0），D（0，4，0）， ∴A1Q?(2,2,?2),QD?(?2,20)． 面AA1D的法向量n1?(1,0,0)． 设面A1DQ的法向量n2?(a1,a2,a3)，
??a2?a1,?n?AQ?2a1?2a2?2a3?0,则?21 ????a3?2a1,?n2?QD??2a1?2a2?0,O（A） y D B Q C x A1
z
D1 C1 B1 图4
∴n2?(a1,a1,2a1)． 令a1=1，则n2?(1,1,2)， ∴cos?n1,n2??n1?n2n1n2?11?6?6． 6?二面角的平面角为锐角
∴二面角A—A1D—Q的大小为arccos6． 6评析（1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找——证——求”直接简化成了一步曲：“计算”，这在一定程度上降低了学生的空间想象能力，达到不用作图就可以直接计算的目的,更加注重对学
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生创新能力的培养，体现了教育改革的精神。
（2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若令a1??1，则n2?(?1,?1,?2)，∴cos?n1,n2???—Q的大小 是?n1,n2????arccos6，∴二面角A—A1D666的补角arccos。所以在计算之前不妨先66依题意直观判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。
例5 如图5，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，AD//BC，∠
11ABC=900，SA⊥面ABCD，SA=，AB=BC=1，AD=。 求侧面SCD与面SBA
22所成的二面角的大小。
解： 以A为原点如图建立空间直角坐标系，
1则S（0，0，）， A（0，0，0），
21B（0，1，0），C（1，1，0），D（，0，0），
D 211x ∴SA?(0,0,?),SB?(0,1,?)
22111SD?(,0,?),SC?(1,1,?)，
222S A B y z C 图5
显然平面SBA的一个法向量为n1=(1，0，0)，
设平面SCD的一个法向量为n2=(x，y，z)，则n2⊥平面SCD
??x?z?0?n2?SD?0?取z?2,则n2?(2,?1,2) ∴ ????2x?2y?z?0?n2?SC?0则cos?n1,n2??n1?n2|n1||n2|?1?22? 1?33评析：（1）因为所求的二面角的交线在图中较难作出，所以用传统的方法求二面角比较困难，向量法在这里就体现出它特有的优势；（2）但判断侧面SCD与面SBA所成的二面角的平面角是锐角还是钝角时，图形的直观性就不明显了，当不能很好地判断所求的二面角的类型时,以下给出解决方案。
5．4．当直观很难判断二面角是锐角还是钝角时, 通过判断法向量的方向来求解
二面角.
原理 首先我们再重新认识一下法向量夹角和二面角的关系：
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