经纬教育 平行四边形证明题 经典例题（附带详细答案）
1．如图，E、F是平行四边形
ABCD对角线AC上两点，BE∥DF，求证：AF?CE．
A
E D
B
F C
【答案】证明：平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD?BC，
??ACB??CAD．
又BE∥DF，
??BEC??DFA， ?△BEC≌△DFA， ?CE?AF
2．如图6，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D，
BC?6, AB?3，
求四边形ABCD的周长． 【答案】20、
A D B
C
解法一: ∵
AB∥CD
∴?B??C?180? 又∵?B??D
∴?C??D?180?
∴AD∥BC即得ABCD是平行四边形 ∴AB?CD?3，BC?AD?6
∴四边形ABCD的周长?2?6?2?3?18
解法二:
A D B
C
连接
AC
∵AB∥CD
∴?BAC??DCA
又∵?B??D，AC?CA ∴△ABC≌△CDA
∴AB?CD?3，BC?AD?6
∴四边形ABCD的周长?2?6?2?3?18
解法三:
A D B
C
连接
BD
∵
AB∥CD
∴?ABD??CDB 又∵?ABC??CDA ∴?CBD??ADB
∴AD∥BC即ABCD是平行四边形 ∴AB?CD?3，BC?AD?6
∴四边形ABCD的周长?2?6?2?3?18
3.（在四边形ABCD中，∠D=60°，∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C
的大小．
【关键词】多边形的内角和
【答案】设?A?x（度），则?B?x?20，?C?2x．
根据四边形内角和定理得，x?(x?20)?2x?60?360．
解得，x?70．
∴?A?70?，?B?90?，?C?140?．
4．（如图，
E，F是四边形ABCD的对角线
AC上两点，
AF?C，E?DF，B∥E．D 求证：（1）△AFD≌△CEB． （2）四边形ABCD是平行四边形．
D
C
E
A
F
B
【关键词】平行四边形的性质,判定
【答案】证明：（1）?DF∥BE，??DFE??BEF．??AFD??DFE?180°，
?CEB??BEF?180°，
??AFD??CEB．又
?AF?C，ED?F，
B?△AFD≌△CEB(SAS)．
（2）由（1）知△AFD≌△CEB，??DAC??BCA，AD?BC，?AD∥BC．?四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
5．）25．如图13-1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F
分别是BC、DC边上的点，
且
AE?EF，BE?2. （1）求EC∶CF的值；
（2）延长EF交正方形外角平分线CP于点P（如图13-2），试判断AE与EP的大小关系，并说明理由； （3）在图13-2的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请
给予证明；若不存在，请说明理由．
A D A D
F
F P
B
E C
B
E
C
【关键词】平行四边形的判定
【答案】解：（1）?AE?EF
??2??3?90°
?四边形ABCD为正方形 ??B??C?90° ??1??3?90°
?1??2
??DAM??ABE?90°，DA?AB
?△DAM≌△ABE
?DM?AE ?AE?EP ?DM?PE
?四边形DMEP是平行四边形．
解法②：在AB边上存在一点M，使四边形DMEP是平行四边形
证明：在
AB边上取一点M，使
AM?BE，连接ME、MD、DP．AD?BA，?DAM??ABE?90°
?Rt△DAM≌Rt△ABE ?DM?AE，?1??4 ??1??5?90° ??4??5?90°
?AE?DM ?AE?EP ?DM?EP
?四边形DMEP为平行四边形
A D
4 M 1 5
F P
B E C
6．（2009年广州市）如图9，在ΔABC中，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点。 证明：四边形DECF是平行四边形。
【关键词】平行四边形的判定
【答案】∵D.E、F分别为AB.BC.CA的中点， ∴DF∥BC，DE∥AC，
∴四边形DECF是平行四边形. 7．（2009年包头）已知二次函数
y?ax2?bx?c（a?0）
的图象经过点A(1，0)，B(2，0)，C(0，?2)，直线x?m（m?2）与x轴交于点D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线x?m（m?2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以
A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？
若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由．
y O x
【关键词】二次函数、相似三角形、运动变化、抛物线?a?b?c?0，解：（1）根据题意，得??4a?2b?c?0，
??c??2.y A B D O x (F2)F1 E1 (E2) C (x=m)
解得a??1，b?3，c??2．
?y??x2?3x?2．
（2）当△EDB∽△AOC时，
得
AOED?COAOCOBD或BD?ED， ∵AO?1，CO?2，BD?m?2， 当AOED?CO1BD时，得ED?2m?2， ∴ED?m?22，
∵点E在第四象限，∴E?2?m?1??m，2??．
当AOBD?COED时，得1m?2?2ED，∴ED?2m?4， ∵点E在第四象限，∴E2(m，4?2m)． （3）假设抛物线上存在一点F，使得四边形
ABEF为平行四边形，则
EF?AB?1，点F的横坐标为m?1，
当点E?2?m??2?m?1的坐标为??m，2??时，点F1的坐标为??m?1，2??， ∵点F1在抛物线的图象上，
∴
2?m2??(m?1)2?3(m?1)?2， ∴2m2?11m?14?0，
∴(2m?7)(m?2)?0， ∴m?72，m?2（舍去）， ∴F?51??2，?3?4??， ∴S?ABEF?1?34?34．
当点E2的坐标为(m，4?2m)时，点F2的坐标为(m?1，4?2m)， ∵点F2在抛物线的图象上， ∴4?2m??(m?1)2?3(m?1)?2，
∴m2?7m?10?0，
∴(m?2)(m?5)?0，∴m?2（舍去），m?5， ∴F2(4，?6)， ∴S?ABEF?1?6?6．
注：各题的其它解法或证法可参照该评分标准给分． 8．（2009年莆田）已知：如图在
?ABCD中，过对角线BD的中点O作直线EF分别交DA的延长线、AB、DC、BC的延长线于点E、M、N、F。
（1）观察图形并找出一对全等三角形：△________≌△____________，请加以证明；
E A D E A D M O M O B N N C F B C F
（2）在（1）中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换
得到？
【关键词】四边形、全等三角形、变换 （1）①△DOE≌△BOF；
证明：∵四边形
ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴?EDO??FBO，?E??F
又∵OD?OB
∴△DOE≌△BOF?AAS?
②△BOM≌△DON
证明：∵四边形
ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∴?MBO??NDO，?BMO??DNO
又∵BO?DO
∴△BOM≌△DON?AAS?
③△ABD≌△CDB；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD?CB，AB?CD
又∵BD?DB
∴△ABD≌△CDB?SSS?
（2）绕点O旋转180°后得到或以点O为中心作对称变换得到． 8分
9．(2009年温州)在所给的9×9方格中，每个小正方形的边长都是1．按要求画平行四边形，使
它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上．
(1)在图甲中画一个平行四边形，使它的周长是整数；(2)在图乙中画一个平行四边形，使它的周长不是整数．(注：图甲、图乙在答题纸上) 【关键词】平行四边形的性质，判定 【答案】解：（1）
（2）
10．（2009年中山）在
?ABCD中，AB?10，AD=m，?D?60°，
以
AB为直径作⊙O，
（1）求圆心O到CD的距离（用含m的代数式来表示）； （2）当m取何值时，CD与⊙O相切．
D A O C B
【关键词】利用平行四边形证明线段相等 【答案】（1）分别过A，O两点作
AE?CD，OF?CD，垂足分别为点E，点F
，?AE∥OF，OF就是圆心O到CD的距离． ?四边形ABCD是平行四边形， ?AB∥CD，?AE?OF．
D A D A E O E O F C B F C B
在Rt△ADE中，?D?60°，sin?D?AEAD，sin60°?AEAD，