炎德·英才大联考湖南师大附中
2018年春季高二期末考试暨2019届高三摸底考试
数 学(理科)
命题：贺仁亮 朱修龙 周艳军 刘伟才
审题：高二数学备课组
时量：120分钟 满分：150分
得分：______________
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数z满足(2＋i)z＝2－i(i为虚数单位)，则z等于 A．3＋4i B．3－4i
3434C.＋i D.－i 5555
2．已知P＝{x|x2－5x＋4＜0}，Q＝{x|y＝4－2x}，则P∩Q等于
A．(1，4) B．[2，4) C．(1，2] D．(－∞，2]
3．已知两组样本数据{x1，x2，…，xn}、{y1，y2，…，ym}的平均数分别为h和k，则把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为
h＋knh＋mkA. B. 2m＋nmh＋nkh＋kC. D. m＋nm＋n
4．已知{an}为等比数列，a1>0，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a4＋a7＋a10等于 A．－7 B．－5 C．5 D．7
5．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：
①直线BE与直线CF异面； ②直线BE与直线AF异面； ③直线EF∥平面PBC； ④平面BCE⊥平面PAD. 其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
x2y2y2x2
6．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)以及双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线将第一象
abab
x2y2
限三等分，则双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为
ab
2323
A．2或 B.6或
33C．2或3 D.3或6
π
7．函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)图像向右平移个单位后关于y轴对称，则φ的值
6是
ππ5π
A．0 B. C. D. 636
8．在正三角形ABC内任取一点P，则点P到A，B，C的距离都大于该三角形边长一半的概率为
A．1－
3π3π3π3π B．1－ C．1－ D．1－ 612918
9．底面是边长为1的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为 22π3π23π2π
A. B. C. D.
3333
10．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C
与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为
4π3π5πA. B. C．(6－25)π D. 544
?e，x≤0，11．已知函数f(x)＝?2F(x)＝f(x)－x－1，且函数F(x)有2个零点，则
?x＋ax＋1，x＞0，
实数a的取值范围为
A．(－∞，0] B．(－∞，1) C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)
12．已知[x)表示大于x的最小整数，例如[3)＝4，[－1.3)＝－1，下列命题中正确的是 ①函数f(x)＝[x)－x的值域是(0，1]； ②若{an}是等差数列，则{[an)}也是等差数列； ③若{an}是等比数列，则{[an)}也是等比数列； 1
④若x∈(1，2 018)，则方程[x)－x＝有2 017个根．
2A．②④ B．③④ C．①③ D．①④
选择题答题卡
题 号 答 案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得 分 x
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分． 13．从3名男同学和2名女同学中任选2名参加体能测试，则恰有1名男同学参加体能
测试的概率为________．(结果用最简分数表示)
14．《九章算术》是我国古代内容较为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十1
二而一．”就是说：圆堡壔(圆柱体)的体积V＝×(底面的圆周长的平方×高)，则该问题
12中圆周率π的取值为________．(注：一丈＝10尺)
1
1＋2?(1＋x)6展开式中x2的系数为________．(结果用数字表示) 15.??x?16．如图2，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别
平行．点A，B是“六芒星”(如图1)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，→→→
若OP＝xOA＋yOB，则x＋y的最大值是________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分11分)
如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上的动点(含端点)，记∠BAD＝α，∠ADC＝β. (1)求2cos α－cos β的最大值；
1
(2)若BD＝1，cos β＝，求△ABD的面积．
7
18.(本小题满分11分)
7
已知正项等比数列{an}的公比为q，且a3＋a4＋a5＝，3a5是a3，a4的等差中项．数列
16
{bn}满足b1＝1，数列{(bn＋1－bn)·an}的前n项和为2n2＋n.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{bn}的通项公式．
19.(本小题满分12分)
已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．
→1→
(1)设Μ为ΑΒ中点，若BP＝PC.求证：ΜΡ∥平面CΝΒ1；
3(2)设二面角Β－CΒ1－Ν大小为θ，求sin θ的值．