20.(本小题满分12分)
某卫生监督检查部门对5家餐饮店进行卫生检查，若检查不合格，则必须整改．若整改后经复查仍不合格，则强制关闭．设每家餐饮店检查是否合格是相互独立的，且每家餐饮店整改前合格的概率是0.5，整改后复查合格的概率是0.8.计算：
(1)恰好有两家餐饮店必须整改的概率； (2)平均有多少家餐饮店必须整改；
(3)至少关闭一家餐饮店的概率．(精确到0.01)
21.(本小题满分12分)
x2y2223
已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)，其焦点为F1，F2，离心率为，若点P?，?满足
ab22??2|PF1|＋|PF2|＝2a.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m(k，m∈R)与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，△AOB的5→→
重心G满足：F1G·F2G＝－，求实数m的取值范围．
9
22.(本小题满分12分) 设函数f(x)＝ln(x＋a)＋x2.
(1)若f(x)为定义域上的单调函数，求实数a的取值范围； (2)若g(x)＝ex＋x2－f(x)，当a≤2时，证明：g(x)>0.
炎德·英才大联考湖南师大附中
2018年春季高二期末考试暨2019届高三摸底考试
数学(理科)参考答案
一、选择题
2－i（2－i）（2－i）34
1．D 【解析】由(2＋i)z＝2－i，得z＝＝＝－i，故选D.
2＋i（2＋i）（2－i）55
2．C 【解析】解x2－5x＋4＜0，即(x－1)(x－4)＜0，得1＜x＜4，故P＝(1，4)．Q表示函数y＝4－2x的定义域，所以4－2x≥0，所以x∈(－∞，2]，即Q＝(－∞，2]．故P∩Q＝(1，2]．故选C.
3．B 【解析】因为样本数据{x1，x2，…，xn}的平均数为h，{y1，y2，…，ym}的平均数为k，所以第一组数据和为nh，第二组数据和为mk，因此把两组数据合并成一组以后，
nh＋mk
这组样本的平均数为，故选B.
m＋n
4．B 【解析】由等比数列的性质可得a5a6＝a4a7＝－8，又a4＋a7＝2，解得a4＝－2，a7＝4或a7＝－2，a4＝4，因为a7＝a1q6>0，所以a4＝－2，a7＝4，a7＝a4q3＝－2q3＝4，所
a4
以q3＝－2，所以a1＝3＝1，a10＝a7q3＝－8，所以a1＋a4＋a7＋a10＝－5，故选B.
q
5．B 【解析】将展开图还原为几何体(如图)，因为E，F分别为PA，PD的中点，所以EF∥AD∥BC，即直线BE与CF共面，①错；因为B?平面PAD，E∈平面PAD，E?AF，所以BE与AF是异面直线，②正确；因为EF∥AD∥BC，EF平面PBC，BC平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正确；平面PAD与平面BCE不一定垂直，④错．故选B.
x2y2
6．A 【解析】由题意可知，双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线的倾斜角为30°
ab
a2＋b2b3cc2b223或60°，则k＝，∴k＝3或，则e＝，∴e＝1＋2＝2或. 2＝2＝a3aaaa3
π
7．D 【解析】f(x)＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)图像向右平移个单位后得到的函数是g(x)
6
ππ5πππ
＝sin?2x－＋φ?，又g(0)＝sin?－＋φ?＝±1，得φ－＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ＋
3263???3?
(k∈Z)，故选D.
8．A 【解析】满足条件的正三角形ABC如图所示：设边长为2，其中正三角形ABC
3
的面积S△ABC＝×4＝3.满足到正三角形ABC的顶点A，B，C的距离至少有一个小于1
4
1
的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为1的半圆，则S阴影＝π，则使取
2
3π
到的点到三个顶点A，B，C的距离大于1的概率P＝1－，故选A.
6
9．D 【解析】设四棱锥为P－ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA＝PB＝PC＝PD＝1的外接球的半径为R，过P作PO1⊥底面ABCD，垂足O1为正方形ABCD的对
22，OO1＝22
22
2π244?2?322????23
－R，在Rt△AOO1中，＝R，解得R＝，V球＝πR＝π＝. －R＋233?2?3?2??2?
1
10．A 【解析】设直线l：2x＋y－4＝0.因为|OC|＝|AB|＝d1，其中d1为点C到直线l
2
114
的距离，所以圆心C的轨迹为以O为焦点，l为准线的抛物线．圆C半径最小值为d2＝×225
2
2?4π2?＝，其中d2为点O到直线l的距离，圆C面积的最小值为π＝.故选A.
5?5?5
11．B 【解析】因为F(x)＝f(x)－x－1，且函数F(x)有2个零点，即f(x)－x－1＝0有2个实数根，所以当x≤0时，令ex－x－1＝0，解得x＝0，此时只有一个实数根，当x＞0时，令f(x)－x－1＝0，即x2＋(a－1)x＝0，即x[x－(1－a)]＝0，此时解得x＝1－a，要使得函数F(x)有2个零点，则1－a＞0，所以a＜1，故选B.
12．D 【解析】当x∈Z时，[x)＝x＋1，f(x)＝[x)－x＝x＋1－x＝1；当xZ时，令x＝n＋a，n∈Z，a∈(0，1)，则[x)＝n＋1，f(x)＝[x)－x＝1－a∈(0，1)，因此f(x)＝[x)－x的值域是(0，1]；0.9，1，1.1是等差数列，但[0.9)＝1，[1)＝2，[1.1)＝2不成等差数列；0.5，1，2是等比数列，但[0.5)＝1，[1)＝2，[2)＝3不成等比数列；由前分析可得当x∈Z时，f(x)＝1；当xZ，x＝n＋a，n∈Z，a∈(0，1)时，f(x)＝1－a＝1－(x－n)＝n＋1－x，所以f(x
13
＋1)＝f(x)，即f(x)＝[x)－x是周期为1的函数，由于x∈(1，2)时f(x)＝2－x＝，x＝，即
22
1
一个周期内有一个根，所以若x∈(1，2 018)，则方程[x)－x＝有2 017个根．①④正确，故
2
选D.
二、填空题 3
13. 【解析】从3名男同学和2名女同学中任选2名参加体能测试，则恰有1名男同5
1C133C2学参加体能测试的概率为2＝.
C55
1
14．3 【解析】圆柱体体积公式V＝πr2h，而由题意有V＝×(2πr)2×h，所以π＝
12
3.
1166621＋2?(1＋x)6＝1·15．30 【解析】因为?(1＋x)＋2·(1＋x)，则(1＋x)展开式中含x?x?x1122624422
的项为1·C26x＝15x，2·(1＋x)展开式中含x的项为2·C6x＝15x，故x的系数为15＋xx15＝30.
角线AC，BD的交点，设球心为O，连接AO，由于AO＝PO＝R，AO1＝PO1＝33→→
16．5 【解析】令正三角形边长为3，则OB＝(1，0)，OA＝?－，?，设直线AB与
?22?
→→→
OC的交点为点D，若OD＝xOA＋yOB，则x＋y＝1.又由线性规划知识知当P在C点时，x
→→
＋y有最大值，此时OP＝5OD，故x＋y的最大值是5.
三、解答题
π
17．【解析】(1)由△ABC是等边三角形，得β＝α＋，
3