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一道习题的反思
作者：金连辉
来源：《新课程·中旬》2013年第09期
以学生为本是现代课堂教学设计的基本理念，所谓以学生为本就是以学生的学为本，以学生的发展为本，一堂习题课把这句话深深地印在我的脑海里，感受颇多。
案例：这是高二时学习排列组合后的一节习题课，课前我精心准备了几道习题，讲到第三道时出现了“意外”。原题是：某班新年联欢会，节目原定的5个节目已排成节目单，开演前又增添了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为（ ） A.42 B.30 C.20 D.12 备课时我准备了两种方法：
方法一：从7个位置中选择2个位置给新的节目，并且排序，剩下的5个位置给原定的5个节目，无须排序，故而为C27A22，也即A27=42。
方法二：把7个节目进行全排列，即A77，然后原先有的5个节目只能有一个顺序，故而消去之间的相对顺序A55，所以列式为■=42。
正要讲下一题时，下面突然冒出来这样一句：“老师，我的方法比你的更简单。”我一愣，全班同学的目光都投向了他，我也迅速地反应过来，停止了下一题的讲解，轻轻地问：“你有更好的方法吗？”他勇气十足地站起来说：“在原来的5个节目的空档先填一个节目，即C16，然后再在6个节目的空档里填另一个节目即C17，所以是C16C17=42。”
这是我备课时没有考虑到的，心里不踏实，但我感觉不妥、有问题，问题在哪呢？答案也是42是巧合吗？这时离下课不到十分钟了，我决定放弃下一题的讲解，我开始迅速思考，同时也把问题抛向学生：“大家共同讨论他的方法是否正确呢？”在同学们积极思考的同时，我心里也有底了，这种方法有重复，但我没有直接说，而是请同学们来帮我解决。不一会一个同学主动站起来说：“老师他的方法有重复。”我追问：“为什么？”他说：“假设原来的5个节目都为X，即原节目单为XXXXX，新加2个节目为AB，第一种情况，在做第一步时C16有可能出现XXAXXX情况，然后在C17中出现XXABXXX；第二种情况，在做第一步时C16也有可能出现XXBXXX情况，然后在C17中出现XXABXXX。这样XXABXXX就出现了2次，所以有重复。”其他的同学都用羡慕的目光看着他，我也投去赞许的目光，同时我追问“为什么答案也是42呢？”这时另一个同学站了起来说：“我认为应该是这样的，■=42，因为在做C16C17时，没有明确哪一个节目在前，哪一个在后，故而丢了一个C12，做好后应该消序一次，除以A22。”