四川理工学院本科毕业（设计）论文
t?kT (3-4)
?e?t??T?e?jT??t?e?j? （3-5）
0j?0j?0tkk
de?t?e?kT??e??k?1?T?e?k??e?k?1? （3-6） ??dtTT其中，T为采样周期，e(k)为系统第k次采样时刻的偏差值，e(k-l)为系统第(k-l)次采样时刻的偏差值，k为采样序号，k=0，1，2，?。将上面的(3-5)式和(3-6)式代入(3-2)式，则可以得到离散的PID表达式
?Tu?k??Kp?e?k??TI??e?j??j?0k?TD ?e?k??e?k?1??? （3-7）
T?如果采样周期了足够小，该算式可以很好的逼近模拟PID算式，因而使被控过与连续控制过程十分接近。通常把(3-7)式称为PID的位置式控制算法。 若在(3-7)式中，令:
KI?KD?KPT （积分系数） TIKPTD （微分系数） T则
u?k??KPe?k??KI?e?j??KD?e?k??e?k?1?? （3-8）
j?0k(3-8)式即为离散化的位置式PID控制算法的编程表达式。可以看出，每次输出与过去的所有状态都有关，要想计算u(k)，不仅涉及e(k)和e(k-l)，且须将历次e(j)相加，计算复杂，浪费内存。下面，推导计算较为简单的递推算式。 为此，对(3-8)式作如下的变动:
考虑到第(k-l)次采样时有
?Tu?k?1??KP?e?k?1??TI??e?j??j?0k?TD?e?k?1??e?k?2??? （3-9） T?使(3-8)式两边对应减去（3-9)式，得
??TTu?k??u?k?1??KP?e?k??e?k?1??e?k??De?k??2e?k?1??e?k?2??
TIT??整理后得
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电阻炉温度控制系统设计
??TTu?k??u?k?1??KP?e?k??e?k?1??e?k??De?k??2e?k?1??e?k?2??
TIT???TTD?TD?2TD??=u?k?1??KP?????1??ek?K1?ek?1?Ke?k?2? ?P?P?T?T?T?T?I?u?k?1??a0e?k??a1e?k?1??a2e?k?2? （3-10）
?TTD?TD?2TD??其中a0=KP?，=，= K1??aaK1???P12P?T?TT?T??I?(3-10)式就是PID位置式得递推形式。
如果令 ?u?k??u?k??u?k?1?，则
?u?k??a0e?k??a1e?k?1??a2e?k?2? （3-11）
式中的a0，a1，a2同（3-10）式中一样。
因为在计算机控制中a0，a1，a2都可以事先求出，所以，实际控制时只须获得e(k)、e(k-l)、e(k-2)三个有限的偏差值就可以求出控制增量。由于其控制输出对应执行机构的位置的增量，故(3-11)式通常被称为PID控制的增量式算式。
增量式中只须计算增量，算式中不需要过去偏差的累加值，控制增量的确定仅与最近几次偏差采样值有关，当存在计算误差或者精度不足时，对控制量的影响较小，且较容易通过加权处理获得比较好的控制效果；而且只输出控制增量，所以误动作影响小，而且必要时可以用逻辑判断的方法去掉，对系统安全运行有利。
本系统的控制算法即采用增量式的PID控制算法。
3.2 电阻炉数学模型的确定
数学模型通常是描述物理系统的运动规律、特性和输入与输出关系的一个或一组方程式，它表示了一个过程的输入变量(通常是控制作用和扰动作用)、状态变量与输出变量(通常是被控变量)之间的数学关系。
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3.2.1 电阻炉特性分析
在生产过程中，由于热传导问题的复杂性，一般的加热设备都具有非线性、大滞后和不对称性等特点。滞后又包括纯滞后和容积滞后，电加热设备的滞后主要是容积滞后。加热体的结构、容量的大小、测温元件及其安装的位置等都影响着滞后的大小。它不是一个单一的问题，而是一个系统性的问题。
工业中绝大多数的加热设备都是升温时用强迫加热，而温度下降过程靠自然冷却。因此，温度特性是不对称的:升温时响应快，而降温时响应慢。在过程控制中，通常情况下把电加热设备的动态特性看成是一个线性系统，用一个或两个惯性环节串联一个纯滞后环节来表示
K??sKe或者e??s Ts?1?T1s?1??T2s?1?这种近似处理在许多情况下是可行的。本设计就采用前者一个惯性环节串联一个纯滞后环节作为电阻炉的数学模型的形式，即
G?K??se （3-12） Ts?1其中K是增益，T为时间常数，?公为滞后时间。
3.2.2 电阻炉数学模型的辨识
一般为了求取模型参数，先给系统输入一个激励信号，得到系统对信号的瞬态响应，再来求得模型的参数。阶跃响应法是比较常用的经典辨识方法之一，它是通过实验来测得系统的阶跃响应曲线，再由该曲线辨识系统的传递函数。
通过手动操作使过程工作在测试所需的稳态条件下，稳态运行一段时间后，快速改变过程输入量，并用记录仪或数据采集系统同时记录过程输入和输出的变化曲线。经过一段时间后，过程进入新的稳态。
在确定了模型结构之后，可用测试法建立被控对象的数学模型。在确定了传递函数的形式后，确定其中的各个参数。对于一阶惯性加纯滞后模型，可以用两点法来确定起参数。两点法，就是利用阶跃响应y?t?上两个点的数据来计算T和
?，增益K采用公式进行计算[10]。
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K?y????y0 （3-13） q为了便于处理，首先需要把y?t?转换成无量纲形式y??t?，即
y??t??y?t??y0 （3-14）
y????y0式中，y0是加入阶跃输入之前y?t?的稳态值；y???是加入阶跃输入之后y?t?的稳态值如图3-2。
图3-2 阶跃响应确定参数T和?
式（3-12）相对应得阶跃响应无量纲形式为
?0,t???t0?y?t??? （3-15） t???t0?T?,t???t0?1?e?式（3-15）中只有两个参数T和?，因此可用根据两个点的测试数据进行拟合。选择两个时刻t1和t2，其中t2?t1??，从测试结果中读出y??t1?和y*?t2?并代入式（3-15）中得到联立方程
t???t0???1?y?t1??1?eT （3-16） ?t2???t0?y*?t??1?e?T2?由以上方程可用解出
T?t2?t1 （3-17）
ln1?y??t1??ln1?y??t2????? - 28 -
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?t2?t0?ln?1?y??t1????t1?t0?ln?1?y??t2?? （3-18） ????ln?1?y?t1???ln?1?y?t2??为了方便计算，取y??t1?=0.283，y*?t2?=0.632，则可得
T?1.5?t2?t1? （3-19）
??t2?t0?T （3-20）
3.3 PID控制参数整定
由于PID控制器的输出为系统偏差的比例、微分和积分作用后的线性组合，所以调整各个部分的线性系数就是PID控制器控制性能好坏的关键。必须针对具体被控对象对PID控制器参数进行整定[11]。
在一般的控制要求下，可以利用经验法和试凑法联合应用来进行PID参数整定。经验法是按被控变量的性质给出控制器的合适范围。试凑法是通过仿真或实际运行，观察系统对典型输入作用的响应曲线，根据各控制参数对系统的影响，反复调节试凑，直到满意为止，从而确定PID参数。
对于温度控制系统，经验法整定参数： PB:20～60%， TI:3～10 min, TD:0.5～3 min 以此为基本范围进行试凑法参数整定： (1)整定比例部分
先置PID控制器中的积分微分环节不起作用，使之成为比例控制器，再将比例系数K尸由小变大，观察相应的响应，使系统的过渡过程达到4:1的衰减振荡和较小的静差。如果系统静差已小到允许范围内，并且已达到4:1衰减的响应曲线，那么只需用比例控制器既可，最优比例度就由此确定；
(2)加入积分环节
如果只用比例控制，系统的静差不能满足要求，则需加入积分环节。整定时，先将比例系数减小10～20%，以补偿因加入积分作用而引起的系统稳定性下降，然后由大到小调节TI，在保持系统良好动态性能的情况下消除静差。这一步可以反复进行，以期得到满意的效果；
(3)加入微分环节
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