16 17 18 19 20 21 22 23 24 23 20 22 13 8 3 27 26 5 7 7 7 10 10 10 10 10 10 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 试为该公司建立模型，根据病人用药的剂量、性别和血压组别，预测出服药后病痛明显减轻的时间。
2 问题分析
2.1投资问题 已知资金的总数，而资金的投资方向决定了到期的总收益。表格中给出了各种证券的信用等级、到期年限和到期税前收益，以及各种证券需要交纳的税率。事实上，信用等级数字越小，信用程度越高，然而信用程度高的投资种类，税前收益不一定大，也就是说，税前收益较大的投资种类带有一定的风险。
由此分析，以各种投资总收益最大为目的建立模型： 首先，根据表格给出的信息，假设出每项投资的数额。 其次，根据条件中给出的限制列出约束条件。 最后，利用线性规划方法给出最优解。 2.2飞行计划问题 由题目给出的信息知，在甲方被困的四个月中，每次飞行的飞机和人员的数量是固定的，而返回途中有20％的飞机被击落，也就是说在每次飞行中损失的飞机和人员的数量也是固定的，由此得到，每次飞行中生还的飞机和人数也是固定的，因此，在目标函数中执行飞行任务的飞行员和休假的飞行员的总报酬是常数，在优化模型中可以不予考虑。
[2]
我们将问题从飞机和飞行员两个角度考虑，分别建立模型：
1、对飞机有如下等式：
本月执行任务的飞机数＋本月闲置的飞机数＝上月返还的飞机数＋上月闲
置的飞机数＋上月购进的飞机数
注：第一个月等式右边为110。 （1）
2、对于飞行员有如下等式：
本月执行任务的飞行员数＋本月闲置的飞行员＋本月教练数＝上月返还的飞行员数＋上月闲置的飞行员数＋上月教练数＋上月新飞行员数
注：第一个月等式右边为330。 （2）
2.3时间预测问题
这个题目是要我们在已知实验数据下，预测服药后病痛明显减轻的时间。
由题目给出的信息，可知这个时间总共与三个变量有关，即用药量、性别、血压组别，而对于三种变量的各种组合分别给出了病痛减轻时间，如表所示。
首先，在Matlab中作图，观察病痛减轻时间分别与三个变量的关系。 其次，利用线性回归，拟合多项式，得到病痛减轻时间和三个变量之间的线性关系，并求解相关系数，判断拟合程度是否理想。
再次，利用多元二次回归方法对模型进行优化，并求解相关系数，判断拟合程度是否理想。
3 模型假设
3.1投资问题
1、假设投资者以获得最大收益为目的。
2、对于第一、二问假设各种证券的信用等级、到期税前收益和税率在到期年限内保持不变。
3、假设在贷款期间，贷款利息不变。
4、对于第三问，仅有证券A或C的税前收益发生变化。 3.2飞行计划问题
1、飞行员在同一时间内处于且仅处于4种状态的一种。
2、飞行员带薪休假当且仅当上月执行了任务，且第一个月前没有人执行过任务。
3、甲方被击落的飞行员的薪水照常发放。 4、每个月的飞行次数满足后就停止飞行。 5、每一项报酬在4个月中是不变的。 6、每次飞行恰好有20％的飞机被击落。
7、新飞行员在培训之后不用飞行，就已经是熟练飞行员，并且可以立即培训新飞行员；
8、甲方的购买能力足够。 3.3时间预测问题
1、假设人们的血压均属于三种组别的其中一个。 2、用药量准确，病痛减轻时间明显可以检测出。 3、病痛减轻时间记录准确无误。
4、此24人除了这种同样的病之外，没有其他的病，且这种药物对病人没有副作用。
5、实验过程中病人除了病痛情况外，其他的生理指标不变。
6、实验的男女患者、用药量不同的患者、不同血压组别的患者三种分类中，人们年龄分布相同。
4 符号说明
4.1投资问题
x1：投资到年限为9的市政的资金数，单位：万元； x2：投资到代办机构的资金数，单位：万元； x3：投资到年限为4的政府的资金数，单位：万元；
x4：投资到年限为3的政府的资金数，单位：万元； x5：投资到年限为2的市政的资金数，单位：万元。
4.2飞行计划问题
ai：第i个月新购买的飞机数； bi：第i个月闲置的飞机数； ci：第i个月教练和飞行员的数目；
di：第i个月闲置飞行员的数目； ei：第i个月的教练数目；
fi：第i个月的新飞行员数。
4.3时间预测问题
x1：用药剂量值，单位：克； x2：血压组别值； x3：性别编号；
y：病痛减轻时间，单位：分钟；
5 模型的建立与求解
5.1投资问题模型 5.1.1模型建立
根据已知信息和条件假设，在现有的条件下要使总收益达到最大，假设变量，建立线性规划模型，得到目标函数和约束条件：
MaxZ?0.043x1?0.054*0.5x2?0.050*0.5x3?0.044*0.5x4?0.045x5
[1]
?x2?x3?x4?400?2x?2x?x?x?5x2345?1?1.4?x1?x2?x3?x4?x5??9x?15x2?4x3?3x4?2x5s..t?1?5x?x?x?x?x12345??x1?x2?x3?x4?x5?1000??x1,x2,x3,x4,x5?0??(1.1)(1.2)(1.3) (1.4)模型化简得到：
Max Z?0.043x1?0.027x2?0.025x3?0.022x4?0.045x5
?x2?x3?x4?400?6x?6x?4x?4x?36x?012345??s..t?4x1?10x2?x3?2x4?3x5?0?x?x?x?x?x?1000?12345??x1,x2,x3,x4,x5?05.1.2模型求解
(1.1?)(1.2?)(1.3?) (1.4?)用Lingo9.0求解得到如下结果：
[5]
灵敏度分析如下图所示：
[5]
5.1.3结果分析
根据以上求解结果，我们给出三个问题的答案如下：
问题1：当该经理有1000万元的资金时，应当分别向A、C、E证券投资218.1818万元、736.3636万元、45.45455万元，最大收益为29.83636万元。
问题2：在上述计算过程中，得到总资金的影子价格（对偶价格）为0.0298，也就是说总资金增加一万元时，总收益会增加2.98％，而收益的增加率大于贷款利息率2.75％，因此，可以贷款并按相同的目标函数和约束条件进行继续投资。但是由灵敏度分析可知，总资金的上界不能超过456.7901元，也就是说向外借贷不超过456.7901元。
问题3：当证券A的税前收益增加为4.5％，则增加了0.002，而在灵敏度分析中证券A的税前收益的最大变化为0.0035，0.002<0.0035，因此投资方按不需要做变化。当证券C的税前收益减少为4.8％时，也就是减少了0.002，根据灵敏度分析的结果可知，C的税前收益减少不超过0.00056，因此需要调整投资方案。
5.2飞行计划模型 5.2.1模型建立 问题1：
根据前面对问题的分析，由于执行飞行任务的飞行员和休假的飞行员的总报酬是常数，当我们把最小的报酬作为目标时，可以对其忽略，于是有如下最优化目标：
MinZ?200a1?195a2?190a3?185a4?10c1?9.9c2?9.8c3?9.7c4?7d1?6.9d2?6.8d3?6.7d4[3]
[1]
首先，我们考虑飞机的约束，根据前面分析中的公式（1），可以得到以下约