第一章
思考题和习题
1 什么是物质波和它的统计解释？ 2 如何理解合格波函数的基本条件？ 3 如何理解态叠加原理？ 4 测不准原理的根源是什么？
5 铝的逸出功是4.2eV，用2000?的光照射时，问（a）产生的光电子动能是多少？(b)与其相联系的德布罗依波波长是多少？(c)如果电子位置不确定量与德布罗依波波长相当，其动量不确定量如何？
6 波函数e-x(0≤x≤?)是否是合格波函数，它归一化了吗？如未归一化，求归一化常数。
7 一个量子数为n，宽度为l的一维势箱中的粒子，①在0~1/4 区域内的几率是多少？②n取何值时几率最大？③当n→∞时，这个几率的极限是多少？ 8 函数?(x)?32?22?sinx?2sinx是不是一维势箱中粒子的可能状态？llll如果是，其能量有无确定值？如果有，是多少？如果能量没有确定值，其平均值是多少？ 9 在算符?，
错误！未定义书签。, exp, 错误！未定义书签。中，那些是
线性算符？
10 下列函数, 那些是错误！未定义书签。的本征函数? 并求出相应的本征值。
imx22-x(a) e (b) sinx (c) x+ y (d) (a-x)e
?X??X?D?。 ??ddx,X??X, 求D11 有算符D 参考答案
1 象电子等实物粒子具有波动性被称作物质波。物质波的波动性是和微粒行为的统计性联系在一起的。对大量粒子而言，衍射强度（即波的强度）大的地方，粒子出现的数目就多，而衍射强度小的地方，粒子出现的数目就少。对一个粒子而言，通过晶体到达底片的位置不能准确预测。若将相同速度的粒子，在相同的
1
条件下重复多次相同的实验，一定会在衍射强度大的地方出现的机会多，在衍射强度小的地方出现的机会少。因此按照波恩物质波的统计解释，对于单个粒子，
?????代表粒子的几率密度，在时刻t，空间q点附近体积元d?内粒子的
2几率应为?d?；在整个空间找到一个粒子的几率应为 ??d??1。表示波函数具有归一性。
2 合格波函数的基本条件是单值，连续和平方可积。由于波函数?2代表概率密度的物理意义，所以就要求描述微观粒子运动状态的波函数首先必须是单值的，因为只有当波函数ψ在空间每一点只有一个值时，才能保证概率密度的单值性；至于连续的要求是由于粒子运动状态要符合Schr?dinger方程，该方程是二阶方程，就要求波函数具有连续性的特点；平方可积的是因为在整个空间中发现粒子的概率一定是100%，所以积分??*?d?必为一个有限数。
3 在经典理论中，一个波可由若干个波叠加组成。这个合成的波含有原来若干波的各种成份（如各种不同的波长和频率）。而在量子力学中，按波函数的统计解释，态叠加原理有更深刻的含义。某一物理量Q的对应不同本征值的本征态的叠加，使粒子部分地处于Q1状态，部分地处于Q2态，??。各种态都有自己的权重（即成份）。这就导致了在态叠加下测量结果的不确定性。但量子力学可以计算出测量的平均值。
4 根源就在于微观粒子的波粒二象性。
5 (a) T?3.219?10?19J (b) ??8.781?10?10m (c) ?Px?7.546?10?25Kg m s-1
6 没有归一化，归一化因子为2 7 （1）wn???dx?40l22211n? ?sin42n?2n?3?4k(k?1,2,3...)时,（2） n?11
sin??1,wmax??246? （3）w?1 48 根据态叠加原理，?(x)是一维势箱中粒子一个可能状态。能量无确定值。
2
25h2
104ml29 错误！未定义书签。和 错误！未定义书签。是线性算符.
平均值为
10 (a) 和 (b) 是错误！未定义书签。的本征函数，其相应的本征值分别为-m和-1。
11 ????
DX?XD?1
附录1 物理常数表和能量单位换算表 1 一些物理常数 名称 电子质量 质子质量 电子电荷 真空光速 Planck常数 Avogadro常数 Boltzmann常数 2 能量单位换算表
Units
Hartree
kcal/mole
eV 2.721138E+01 4.33641E-02 1.00000E+00 1.23984E-04 1.03643E-02
cm
-1
2
符号 me Mp e c h N k
数值
9.10953?10-31kg 1.67265?10-27kg -1.60219?10-19C 2.997955?108m/s 6.62618?10-34Js 6.02205?1023mol-1 1.38066?10-23J/K
kJ/mole
1Hartree(a.u.) 1.00000E+00 6.27510E+02 1kcal/mole
1eV 1cm 1kJ/mole
-1
2.1947463137E+05 2.62550E+03 3.49755E+02 8.065541E+03 1.00000E+00 8.35935E+01
4.18400E+00 9.64853E+01 1.19627E-02 1.00000E+00
1.59360E-03 1.00000E+00 3.67493E-02 2.30605E+01 4.55634E-06 2.85914E-03 3.80880E-04 2.39006E-01
其中，1 kcal = 4.184 J，E是以10为底的指数。 第二章习题
2.1 简要说明原子轨道量子数及它们的取值范围？
2.2 在直角坐标系下，Li2+ 的Schr?dinger 方程为________________ 。 2.3 ??c1?210?c2?211?c3?31?1, 其中?,?210,?211和?31?1都是归一化的。试回答下列问题：
3
(a) 波函数所描述状态的能量平均值？ (b) 角动量出现在2h2?的概率？ (c) 角动量 z 分量的平均值？
2.4 已知类氢离子 He+的某一状态波函数为：
?＝
14?2??12?2??a?0????32?2r?-2r2a0??2? ??ea0?? （a）此状态的能量E=? （b）此状态的角动量的平方值? （c）此状态角动量在 z 方向的分量? （d）此状态的 n， l， m 值分别为何值？ （e）此状态角度分布的节面数?
2.5 求出Li2+ 1s态电子的下列数据： (a) 电子概率密度最大处离核距离? (b) 电子离核的平均距离?
(c) 单位厚度球壳中出现电子概率最大处离核的距离 ? (d) 比较2s和2p能级的高低？ (e) 电离能?
Z2?a0r?n?axn!?()e,?xedx?n?1）
0a?a013Z（?1s2.6 已知 H 原子的
?2pz??r??ra0??ecosθ 312?a?42?a0?0?1??试计算： (a) 原子轨道能 E 值；
(b) 轨道角动量绝对值│M│； (c) 轨道角动量和 z 轴夹角的度数。
2.7 一个电子主量子数为 4，这个电子的 l， m， ms 等量子数可取什么值？这个电子共有多少种可能的状态？
4
2.8 碳原子 1s22s22p2组态共有 1S0，3P0，3P1，3P2，1D2等光谱支项，试写出每项中微观能态数目及按照 Hund 规则排列出能级高低次序。
2.9 求下列谱项的各支项，及相应于各支项的状态数： 2P； 3P； 3D； 2D； 1D
2.10 给出 1s， 2p 和 3d 电子轨道角动量的大小及其波函数的径向和角度部分的节面数。
?3r??3r?-ra0???2.11 已知Li2+处于ψ?N?6?ecosθ，根据节面规律判断，n，l????a0??a0??为多少？并求该状态的能量。
2.12 下面各种情况最多能填入多少电子： (a) 主量子数为n的壳层； (b) 量子数为n和l的支壳层； (c) 一个原子轨道； (d) 一个自旋轨道。
2.13 某元素的原子基组态可能是s2d3，也可能是s1d4 ，实验确定其能量最低的光谱支项为6D1/2，请确定其组态。
2.14 H原子中的归一化波函数??c1?311?c2?320?c3?21?1所描述的状态的能量、角动量和角动量的 z 轴分量的平均值各为多少？?311，?320和?21?1是H
原子的归一化波函数。
2.15 已知He+处于
ψ320?Z?12?σ32???σe3cosθ?1 12??81?6???a0?32??态，式中σ??Zr?/a0。试回答下列问题：
(a) 能量E=?
(b) 轨道角动量┃M┃=?
(c) 轨道角动量与z轴夹角是多少度？ (d) 指出该状态波函数的节面个数。 2.16 已知He+处于波函数ψ?
1ψ210?2ψ321?3ψ321?1ψ421状态，计算： 44245