第三章 习题与答案 习题 A
TT1.求向量α1?(4,1,?3,?2),αT?(1,2,?3,2),α,?3)的线性组合3α1?5α2?α3. 23?(16,9,1?4??1??16??12??5??16??1???????????????12931094???????. 解 3α1?5α2?α3?3???5????????????3???3??1???9???15??1???25???????????????22?3?610?37??????????????2.从以下方程中求向量?
3(α1?α)?2(α2?α)?5(α3?α)，
T其中α1?(2,5,1,3),αT,5,10),αT,?1,1). 2?(10,13?(4,1解 由方程得3α1?3α?2α2?2α?5α3?5α?0，
?2??10??4??6?????????51112 6α?3α1?2α2?5α3?3???2???5?????
?1??5???1??18??????????3??10??1??24??1???2故α???,即αT?(1,2,3,4).
?3????4?3.求证:向量组α1,α2,?,αi,?αs中的任一向量αi可以由这个向量组线性表出. 证 αi?0α1?0α2???1αi???0αs(i?1,2,?,s) 4.证明: 包含零向量的向量组线性相关.
证 设向量组为α1,α2,?,αi?1,0,αi?1,?,αs,则有
0α1?0α2???αi?1?k0?0αi?1???0αs?0,k?0
而0,0,?,0,k,0,?,0不全为0,故向量组线性相关.
5.设有m个向量α1,α2,?,αm,证明: 若αi?αj(i?j),则向量组α1,α2,?,αm线性相关. 证 显然有0α1?0α2???kαi?0αi?1???(?k)αj???0αm?0,k?0, 而0,?,0,k,0,?,0,?k,0,?,0不全为0.故向量组线性相关. 6.判断下列向量组的线性相关性
(1) (1,1,0),(0,1,1,),(3,0,0,); (2) (2,0),(0,-1);
(3) (-4,-5,2,6),(2,-2,1,3),(6,-3,3,9),(4,-1,5,6);
(4) (1,0,0,2,5),(0,1,0,3,4),(0,0,1,4,7),(2,-3,4,11,12).
解 (1)设有三个数k1,k2,k3,使k1(1,1,0)?k2(0,1,1,)?k3 (3,0,0,)=(0,0,0)
?k1?3k3?0?则有方程组?k1?k2?0,
?k?0?2103因为系数行列式D110?3?0.方程组仅有零解,所以三个向量线性无关. 010(2)设有两个数k1,k2使k1(2,0)?k2(0,-1)=(0,0) 则有方程组??2k1?0,由此解得k1?k2?0,所以两个向量线性无关.
?k?0?2另外,也可由其分量不成比例看出两个向量线性无关. (3)设有四个数k1,k2,k3,k4,使
k1(-4,-5,2,6)?k2(2,-2,1,3)?k3(6,-3,3,9)?k4(4,-1,5,6)=(0,0,0,0),
?4k1?2k2?6k3?4k4?0??5k?2k?3k?k?0?1234则有方程组?,
2k?k?3k?5k?034?12??6k1?3k2?9k3?6k4?04264?5?2?3?1其系数行列式D??0,所以方程组有非零解,
21356396向量组线性相关.
(4) 设有四个数k1,k2,k3,k4,使
k1(1,0,0,2,5)?k2(0,1,0,3,4)?k3(0,0,1,4,7)?k4(2,-3,4,11,12)=(0,0,0,0)
?k1?2k4?0?k2?3k4?0??则有方程组?k3?4k4?0
?2k?3k?4k?11k?0234?1??5k1?4k2?7k3?12k4?0由前三个方程得k1??2k4,k2?3k4,k3??4k4,代入第五个方程得?14k4?0, 即k4?0,从而k1?k2?k3?0,所以向量组线性无关.
7.设α1,α2,α3线性无关,证明:α1?α2,α2?α3,α3?α1也线性无关. 证 设有三个数k1,k2,k3,使k1?α1?α2??k2?α2?α3??k3?α3?α1??0, 则?k1?k3?α1??k1?k2?α2??k2?k3?α3?0,因α1,α2,α3线性无关,
101?k1?k3?0?故?k1?k2?0,因系数行列式D?110?2?0,所以只有k1?k2?k3?0, ?k?k?0011?23由此知α1?α2,α2?α3,α3?α1线性无关.
8.设α1,α2,?,αn线性无关,问向量组α1?α2,α2?α3,?,αn?1?αn,αn?α1是线性相关,还是线性无关?并给出证明. 解 设有n个数k1,k2,?,kn,使
k1?α1?α2??k2?α2?α3????kn?1?αn?1?αn??kn?αn?α1??0,
则得方程组
?k1?kn?0?k?k?012???k2?k3?0 ??????kn?1?kn?0其系数行列式
100?001110?000Dn?011?000??????000?110000?011?1?(?1)n?1,
可见,当n为奇数时,Dn?2?0,方程组仅有零解,向量组线性无关, 当n为偶数时,Dn?0,方程组有非零解,向量组线性相关.
9.设αi?(ai1,ai2,?,ain)(i?1,2,?,n),证明:向量组α1,α2,?,αn线性相关的充分必要条件是det(aij)?0.
证 必要性:设α1,α2,?,αn线性相关,则存在不全为0的n个数k1,k2,?,kn,使
k1α1?k2α2???knαn?0,即有方程组
?a11k1?a21k2???an1kn?0?ak?ak???ak?0121222n2n ?*?????????a1nk1?a2nk2???annkn?0该方程组有非零解,故系数行列式Dn?0,即det(aij)?0,
充分性: 对于方程组(*)当det(aij)?0时,系数行列式Dn?0,所以有非零解,即存在不全为0的k1,k2,?,kn,使k1α1?k2α2???knαn?0成立,故α1,α2,?,αn线性相关.
10.设α1,α2,?,αn是一组n维向量.已知n维标准单位向量组e1,e2,?,en能由它们线性表出,证明: α1,α2,?,αn线性无关.
证 设αi?(ai1,ai2,?,ain)(i?1,2,?,n),则有
αi?ai1e1?ai2e2???ainen,
可见α1,α2,?,αn也能由e1,e2,?,en线性表出,从而两个向量组等价. 因为e1,e2,?,en线性无关,所以α1,α2,?,αn也线性无关.
11.设α1,α2,?,αn是一组n维向量.证明:它们线性无关的充分必要条件是:任一n维向量都可由它们线性表出.
证 必要性:设α1,α2,?,αn线性无关,β为任一n维向量,则α1,α2,?,αn,β必线性相关.(个数大于维数),因此β可由α1,α2,?,αn线性表出.
充分性:设任一n维向量β都可由α1,α2,?,αn线性表出.因此α1,α2,?,αn与e1,e2,?,en等
价,从而α1,α2,?,αn线性无关.
12.判断下列向量是否线性相关,并求出一个极大线性无关组.
TT(1)α1?(1,2,?1,4),αT2?(9,100,10,4),α3?(?2,?4,2,?8); TT(2) α1?(1,1,0),αT2?(0,2,0),α3?(0,0,3);
T(3) α1?(1,2,1,3),αT,?5,?6),αT,?3,?4,?7),αT,?1,0); 2?(4,?13?(14?(2,19?2??1?19???2100?4? ??082解 (1)A????1102??019???44?8???0?32?2??1??0??0???00??0??09?2??10?2????10??010?, ????00000???00??000?向量组的秩为2, α1,α2为一个极大线性无关组.
?100??100?????(2) A??120???020?
?003??003?????向量组的秩为3, α1,α2,α3为一个极大线性无关组.
12??1412??1412??14??????2?1?310?9?5?30?9?5?3??????? (3) A???1?5?4?1??0?9?5?3??0000????????3?6?70??0?18?10?6??0000?向量组的秩为2, α1,α2为一个极大线性无关组.
13.求一个秩是4的方阵,它的两个行向量是(1,0,3,0,0),(?1,?1,0,0,0). 解 所求方阵可写成
?1???1A??0??0?0?300?????1000??0100?,则A????0010????0000??0100000000?1300??300?100?
?010?000??显然R(A)?4.
14.已知α1,α2,?,αs的秩为r,证明: α1,α2,?,αs中任意r个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组.
证 设αi1,αi2,?,αir,为α1,α2,?,αs中任意r个线性无关的向量,因为向量组的秩为r,故