αi1,αi2,?,αir,αi,(i?i1,i2,ir)线性相关.可见α1,α2,?,αs中的每个向量都可由
αi1,αi2,?,αir,线性表出.因此, αi1,αi2,?,αir,是α1,α2,?,αs的一个极大线性无关组.
15.用初等变换化下列矩阵为阶梯形,并判断其秩.
?17?001??12?34??02?31??53???????010?110203?43(1)??; (2)??;(3)??;(4)?54?100??15610??04?7?1?????????20?001?r?r?100???13??解 (1) ?010???010?,秩为3.
?100??001?????257575253143??94132?.
94134??3248??12?34?r?r?1234?r?r?1234???21??32??(2) ??1102???0336???0336?,秩为2.
r?r?15610?31?0336??0000???????(3)
?02?31?r?r?0?11?2?r?3r?0?11?2?r?3r?0?11?2??21??32????12?03?43?03?43?00?1?3?00?1?3??r3?4r1????, ???04?7?1??00?3?9??0000??04?7?1?????????秩为2.
?17?53?(4)
?54??20257575253143??17253143??17253143??????94132?r2?3r1?2013?r4?r3?2013? ???r3?r2?1002?3?3r1?394134?r015?r4?r????3248?30150000?????1002??1002??1002??r2?2r1??r2?r3??r1?r3?2013001?1025319???????,秩为3. ???17253143?r3?17r1?025319??001?1???????000000000000??????16.证明: 两个矩阵和的秩不超过这两个矩阵秩的和,即 R(A?B)?R(A)?R(B).
证 设A?(α1,?,αn),R(A)?r,α1,?,αr为一个极大线性无关组,
B?(β1,?,βn),R(B)?s,β1,?,βs为一个极大线性无关组, A?B?(r1,?,rn).
因为r1,?,rn可由α1,?,αn,β1,?,βn线性表出,从而也可由α1,?,αr,β1,?,βs线性表出.故
R?A?B??R(r1,?,rn)?R?α1,?,αr,β1,?,βs??r?s?R(A)?R(B).
17.设A与B可乘,且AB?0,证明: R(A)?R(B)?A的列数. 证法一 设A为m?n矩阵,B为n?l矩阵 由AB?0,有
?a11?a1n??b11?b1l??0?0??????????????????????? ?a??????m1?amn?m?n?bn1?bnl?n?l?0?0?m?l比较等式两边对应元素,有
?a11b11???a1nbn1?0?a11b12???a1nbn2?0?a11b1l???a1nbnl?0???,?,????,????. ?????ab???ab?0?ab???ab?0?ab???ab?0mnn1mnn2mnnl?m111?m112?m11l可见B的列向量组为上述l个齐次线性方程组的解向量,因此有 R(B)?n?R(A), 移项得R(A)?R(B)?n(A的列数).
证法二 设A为m?n矩阵,B为n?l矩阵, R(A)?r1,R(B)?r2,
?Er1A的标准形可写成?因为R(A)?r1,则
?0?Er1PAQ???00??,即存在可逆阵P,Q使得 0??Br1?m?0??1?, ?.又设QB???B?n?r??m?0?1???1则0?R(AB)?R(PAB)?R(PAQQB),
?Er1但PAQQB???0?10??Br1?m??Br1?m??1??QB?????, ??B0???n?r1??m??0??1可见R(Br1?m)?R(PAQQB)?0,
又因为R(Q?1B)?R(B)?r2,所以R(B?n?r??m)?r2,
1而B?n?r??m共n?r1行,因此n?r1?r2,即r1?r2?n或R(A)?R(B)?n.
1
习题 B
1.证明: α1,α2,?,αs(其中α1?0)线性相关的充要条件是至少有一个αi(1?i?s)可被
α1,α2,?,αi?1线性表出.
证 必要性:设α1,α2,?,αs线性相关(α1?0),则存在不全为0的s个数k1,k2,?,ks使
k1α1?k2α2???ksαs?0,设ki是k1,k2,?,ks中最后一个不为零的数,即ki?0,而ki?1???ks?0,则k1α1?k2α2???kiαi?0,因为α1?0,所以i?1,即1?i?s,(否则k1?0,k2???ks?0则k1α?0不能成立),于是αi??α1,α2,?,αi?1线性表出.
充分性:如果αi?k1α1???ki?1αi?1,则k1α1???ki?1αi?1?αi?0αi?1???αs?0,而
kk1α1???i?1αi?1,即αi可由kikik1,?,ki?1,?1,0,?,0不全为0,所以α1,α2,?,αs线性相关.
2.证明:一个向量组的任一线性无关组都可扩充为一个极大线性无关组. 证 设有向量组α1,α2,?,αn秩为s,αi1,αi2,?,αir是它的任意一个线性无关组,
如果r?s,则它就是α1,α2,?,αn的一个极大线性无关组.如果r?s,则α1,α2,?,αn的其余向量中一定可以选出向量αir?1,使αi1,αi2,?,αir,αir?1线性无关(否则与α1,α2,?,αn秩s?r矛盾),只要r?1?s,重复上述过程,直到r?i?s时为止.这样αi1,αi2,?,αir,αir?1,?,αis就是由αi1,αi2,?,αir扩充成的一个极大线性无关组.
3.已知两向量组有相同的秩,且其中之一可被另一个线性表出,证明:这两个向量组等价. 证 设A:α1,α2,?,αs;B:β1,β2,?,βt为两个秩为r的向量组, α1,α2,?,αr;β1,β2,?,βr分别为A,B极大线性无关组,设B可由A线性表出,则有
?β1,β2,?,βr??K?α1,α2,?,αr?T,
其中K为组合系数构成的r阶方阵,因为α1,α2,?,αr;β1,β2,?,βr线性无关,所以K可逆,
?α1,α2,?,αr??K?1?β1,β2,?,βr?,从而α1,α2,?,αr可由β1,β2,?,βr线性表出,从而可由
β1,β2,?,βt线性表出,又α1,α2,?,αs可由α1,α2,?,αr线性表出,所以α1,α2,?,αs可由β1,β2,?,βt线性表出,即A可由B线性表出,因此向量组A,B等价.
4.设向量组α1,α2,?,αs的秩为r,在其中任取m个向量αi1,αi2,?,αim,证明:
Rαi1,αi2,?,αim?r?m?s.
证 设αi1,αi2,?,αim的秩为t,从它的一个极大线性无关组(含t个向量)可扩充为
??α1,α2,?,αs的一个极大线性无关组(含r个向量),所扩充向量的个数为r?t个.但α1,α2,?,αs中除了αi1,αi2,?,αim外,还有s?m个向量,故r?t?s?m,即t?r?m?s.
5.设n?m阶矩阵A的秩为r,证明:存在秩为r的n?r阶矩阵P及秩为r的r?m阶矩阵Q,使A?PQ.
证 因R(A)?r,故可经有限次初等行变换和初等列变换化为标准形,即存在m阶可逆阵F和n阶可逆阵G,使得 GAF???Er?00??1?Er,即A?G??0??00??1?F, 0??G11G12??1?F11F12?记G???,F???,其中G11,F11均为r阶方阵,则
GGFF?2122??2122??1?EA?G?1?r?00??1?G11G12??Er???F??G0??21G22??00??F11F12???FF? 0??2122??G110??F11F12??G11F11G11F12??G11?????=?GFGF???G??F11F21?, G0FF2122??21??21??2122??2121记P???G11??1?,则P为n?r矩阵且R(P)?r(因G可逆,故其前r列线性无关), ?G21?Q??FF21?,则Q为r?m矩阵且R(Q)?r(因F?1可逆,故其前r列线性无关),而11A?PQ.