第11模块 第9节
[知能演练]
一、选择题
1．某一离散型随机变量ξ的概率分布列如下表，且Eξ＝1.5，则a－b的值
ξ 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A.－0.1 B．0 C．0.1
D．0.2
解析：???0.1＋a＋b＋0.1＝1??
a＝0.4??0×0.1＋a＋2b＋3×0.1＝1.5 ???，
?
b＝0.4
故a－b＝0. 答案：B
2．随机变量X的分布列为
X 1 2 4 P 0.4 0.3 0.3 则E(5X＋4)等于
A．15 B．11 C．2.2
D．2.3 解析：∵EX＝1×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝2.2， ∴E(5X＋4)＝5EX＋4＝11＋4＝15. 答案：A
3．在正态分布N(0，1
9
)中，数值落在(－∞，－1)∪(1，＋∞)内的概率为
A．0.097 B．0.046 C．0.03
D．0.0026
解析：∵μ＝0，σ＝1
3
，
∴P(x<－1或x>1)＝1－P(－1≤x≤1)
＝1－P(μ－3σ≤x≤μ＋3σ)＝1－0.9974＝0.0026. 答案：D
( )
( )
( )
4．某次市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如下图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如下图曲线可得下列说法中正确的一个是
( )
A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体平均数最小
C．乙科总体的标准差及平均数都居中 D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同 解析：由正态曲线性质可得． 答案：A 二、填空题
5．设离散型随机变量X可能取的值为1,2,3,4.P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)．又X的均值EX＝3，则a＋b＝________.
解析：设离散型随机变量X可能取的值为1,2,3,4. P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，所以 (a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1， 即10a＋4b＝1，
又X的均值EX＝3，则(a＋b)＋2(2a＋b)＋3(3a＋b)＋4(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3，a1
＝，b＝0， 10
1
∴a＋b＝.
101
答案： 10
6．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．
解析：∵ξ服从正态分布(1，σ2)，∴ξ在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同均为0.4. ∴ξ在(0,2)内取值概率为0.4＋0.4＝0.8. 答案：0.8 三、解答题
7．某地区的一个季节下雨天的概率是0.3，气象台预报天气的准确率为0.8.某厂生产的产品当天怕雨，若下雨而不做处理，每天会损失3000元，若对当天产品作防雨处理，可使
产品不受损失，费用是每天500元．
(1)若该厂任其自然不作防雨处理，写出每天损失ξ的分布列，并求其平均值； (2)若该厂完全按气象预报作防雨处理，以η表示每天的损失，写出η的分布列． 计算η的平均值，并说明按气象预报作防雨处理是否是正确的选择？ 解：(1)设ξ为损失数，分布列为：
ξ P ∴Eξ＝3000×0.3＝900(元) (2)设η为损失数，则 P(η＝0)＝0.7×0.8＝0.56.
P(η＝500)＝0.3×0.8＋0.7×0.2＝0.38. P(η＝3000)＝0.3×0.2＝0.06. 分布列为：
η P 0 0.56 500 0.38 3000 0.06 0 0.7 3000 0.3 ∴Eη＝0＋500×0.38＋3000×0.06＝370 平均每天损失为370元． ∵370<900，
∴按天气预报作防雨处理是正确的选择．
8．设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，若以ξ和η分别表示取出次品和正品的个数．
(1)求ξ的分布列、期望值及方差； (2)求η的分布列、期望值及方差． 解：(1)ξ的可能值为0,1,2.
若ξ＝0，表示没有取出次品，其概率为：
3C062C10
P(ξ＝0)＝3＝；
C1211
2C192C10同理，有P(ξ＝1)＝3＝；
C12221C212C10P(ξ＝2)＝3＝.
C1222
∴ξ的分布列为
ξ P 0 6 111 9 222 1 22
6911
∴Eξ＝0×＋1×＋2×＝.
1122222
16191139915
Dξ＝(0－)2×＋(1－)2×＋(2－)2×＝＋＋＝.
21122222222888844(2)η的可能值为1,2,3，显然ξ＋η＝3. 1
P(η＝1)＝P(ξ＝2)＝，
229
P(η＝2)＝P(ξ＝1)＝，
226
P(η＝3)＝P(ξ＝0)＝.
11∴η的分布列为：
η P 15Eη＝E(3－ξ)＝3－Eξ＝3－＝. 2215
∵η＝－ξ＋3，∴Dη＝(－1)2Dξ＝.
44
1 1 222 9 223 6 11[高考·模拟·预测]
1．已知离散型随机变量X的分布列如下表．若EX＝0，DX＝1，则a＝________，b＝________.
解析：由题意得，a＋b＋c＋
1
＝1，① 12
11
∵EX＝0，∴－1×a＋0×b＋1×c＋2×＝0，即－a＋c＋＝0，②
126
12
∵DX＝1，∴(－1－0)2×a＋(0－0)2×b＋(1－0)2×c＋(2－0)2×＝1，即a＋c＝，③
12351
联立①②③解得a＝，b＝. 124
51
答案： 124
2．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________. 解析：由正态分布曲线的性质知，P(X≤μ)＝0.5. 答案：0.5
3．已知随机变量x～N(2，σ2)，若P(x
解析：由正态分布图象的对称性可得：P(a≤x<4－a)＝1－2P(x
4．袋中有3个黑球，1个红球．从中任取2个，取到一个黑球得0分，取到一个红球得2分，则所得分数ξ的数学期望Eξ＝________.
解析：由题得ξ所取得的值为0或2，其中ξ＝0表示取得的球为两个黑球，ξ＝2表示C21C111133取得的球为一黑一红，所以P(ξ＝0)＝2＝，P(ξ＝2)＝2＝，故Eξ＝0×＋2×＝1.
C42C4222
答案：1
5．一个盒子中装有分别标有数字1,2,3,4的4个大小、形状完全相同的球，现从中有放回地先后抽取2个球，抽取的球的标号分别为x1，x2，记ξ＝|x1－1|＋|x2－2|.
(1)求ξ取得最大值时的概率； (2)求ξ的分布列及数学期望．
解：(1)抽取的球的标号x可能为1,2,3,4，则x1－1分别为0,1,2,3；x2－2分别为－1,0,1,2. 因此ξ的所有取值为0,1,2,3,4,5.
1
当x1＝x2＝4时，ξ取得最大值5，此时P(ξ＝5)＝.
16
1
(2)当ξ＝0时，(x1，x2)的所有取值为(1,2)，此时P(ξ＝0)＝；
16
3
当ξ＝1时，(x1，x2)的所有取值为(1,1)，(1,3)，(2,2)，此时P(ξ＝1)＝；
161
当ξ＝2时，(x1，x2)的所有取值为(1,4)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，此时P(ξ＝2)＝；
41
当ξ＝3时，(x1，x2)的所有取值为(2,4)，(3,1)，(3,3)，(4,2)，此时P(ξ＝3)＝；
43
当ξ＝4时，(x1，x2)的所有取值为(3,4)，(4,1)，(4,3)，此时P(ξ＝4)＝.
16故ξ的分布列为：
ξ P 0 1 161 3 162 1 43 1 44 3 165 1 161311315Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.
16164416162
[备选精题]
6．甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分(无平局)，比赛进行到