三角函数与平面向量综合题的九种类型
题型一：三角函数与平面向量平行(共线)的综合
【例1】 已知A、B、C为三个锐角，且A＋B＋C＝π.若向量→p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)与向量→q＝(sinA－cosA，1＋sinA)是共线向量.
C－3B
（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）求函数y＝2sin2B＋cos的最大值.
2
题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合 【例2】
3?
已知向量→a＝(3sinα,cosα)，→b＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(，2π)，且→a⊥→b．
2
α?
（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos(＋)的值．
23
题型三. 三角函数与平面向量的模的综合
2?
【例3】 已知向量→a＝(cosα,sinα)，→b＝(cosβ,sinβ)，|→a－→b|＝5.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ)若－＜β＜0
525?
＜α＜，且sinβ＝－，求sinα的值.
213
题型四：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值 【例4】（2010年高考安徽卷）已知0????4，?为f(x)?cos(2x??8)的最小正周期，
2cos2??sin2(???)a?(tan(??),?1),b?(cos?,2),a?b?m，求的值．
4cos??sin??
?→练习：设函数f(x)＝→a·b.其中向量→a＝(m，cosx)，→b＝(1＋sinx，1)，x∈R，且f()＝2.（Ⅰ）求实数m的值；2（Ⅱ）求函数f(x)的最小值.
1
题型五：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题
【例5】 （浙江卷）如图，函数y?2sin(?x??),x?R（其中0???（Ⅰ）求?的值；
?2）的图像与y轴交于点（0，1）。
（Ⅱ）设P是图像上的最高点，M、N是图像与x轴的交点，求PM与PN的夹角。
题型六：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算
【例6】（山东卷）在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，tanC?37． （1）求cosC； （2）若CB?CA?5，且a?b?9，求c． 2
题型七：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算
【例7】（陕西卷）f(x)?a?b，其中向量a?(m,cos2x)，b?(1?sin2x,1)，x?R，且函数y?f(x)的图象经过点(?4,2)．
（Ⅱ）求函数y?f(x)的最小值及此时x值的集合。
（Ⅰ）求实数m的值；
题型八：结合向量平移问题，考查三角函数解析式的求法
?xπ?【例8】（湖北卷）将y?2cos???的图象向左平移π/4,向下平移2个单位，则平移后所得图象的解析式为
?36??x???xπ?Ａ．y?2cos????2 Ｂ．y?2cos????2
?34??34??xπ??xπ?Ｃ．y?2cos????2 Ｄ．y?2cos????2
?312??312?题型九：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题
【例9】（湖北卷）设向量a?(sinx,cosx),b?(cosx,cosx),x?R，函数f(x)?a?(a?b). （Ⅰ）求函数f(x)的最大值与最小正周期； （Ⅱ）求使不等式f(x)?
2
3成立的x的取值集. 2
【专题训练】 一、选择题
→1．已知→a＝(cos40?，sin40?)，→b＝(cos20?，sin20?)，则→a·b＝
A．1
B．3
2
1C．
2
D．
2 2
（ ）
πππ
2．将函数y＝2sin2x－的图象按向量(，)平移后得到图象对应的解析式是
222
A．2cos2x
B．－2cos2x
C．2sin2x
D．－2sin2x
→→→→→→
3．已知△ABC中，AB＝a，AC＝b，若a·b＜0，则△ABC是 A．钝角三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．任意三角形 D．75?
314．设→a＝(,sin?)，→b＝(cos?,)，且→a∥→b，则锐角?为
23
A．30?
B．45?
C．60?
（ ）
（ ）
（ ）
3?
5．已知→a＝(sinθ，1＋cosθ)，→b＝(1，1－cosθ)，其中θ∈(π，)，则一定有 （ ）
2
A．→a∥→b B．→a⊥→b C．→a与→b夹角为45°D．|→a|＝|→b| π6．已知向量→a＝(6，－4)，→b＝(0，2),→c＝→a＋?→b，若C点在函数y＝sinx的图象上,实数?＝
12
5A． 2
3B． 2
5C．－
2
3D．－
2
→→→
7．设0≤θ≤2π时，已知两个向量OP1＝(cosθ，sinθ)，OP2＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则向量P1P2长度的最大值是
（ ）
D．23
（ ）
A．2 B．3 C．32 8．若向量→a＝(cos?,sin?)，→b＝(cos?,sin?)，则→a与→b一定满足
A．→a与→b的夹角等于?－?
C．→a∥→b
B．→a⊥→b
D．(→a＋→b)⊥(→a－→b)
9．已知向量→a＝(cos25?,sin25?)，→b＝(sin20?,cos20?)，若t是实数，且→u＝→a＋t→b，则|→u|的最小值为 A．2
B．1
（ ） C．
2
2
1D．
2
→＝OA→＋?(AB→＋AC)→，?∈10．O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：OP(0,＋∞)，则直线AP一定通过△ABC的
A．外心 B．内心 C．重心 二、填空题
（ ） D．垂心
1
11．已知向量→m＝(sin?，2cos?)，→n＝(3,－).若→m∥→n，则sin2?的值为____________．
2
→＝(2cos?，2sin?)，OB→＝(5cos?，5sin?)，若OA·→OB→＝－5，则S△的值12．已知在△OAB(O为原点)中，OAAOB
为_____________.
3π→→→→→→
13．已知向量m＝(1，1)向量n与向量m夹角为，且m·n＝－1.则向量n＝__________．
4
3
三、解答题
→14．已知向量→m＝(sinA,cosA)，→n＝(3,－1)，→m·n＝1，且A为锐角. (Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)求函数f(x)＝cos2x＋4cosAsinx(x∈R)的值域．
15．在△ABC中，A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量→m＝(1，2sinA)，→n＝(sinA，1＋cosA)，满?足→m∥→n，b＋c＝3a.(Ⅰ)求A的大小；(Ⅱ)求sin(B＋)的值．
6
16．△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，→m＝(2b－c，a)，→n＝(cosA，－cosC)，且→m⊥→n．
(Ⅰ)求角A的大小；
?
(Ⅱ)当y＝2sin2B＋sin(2B＋)取最大值时，求角B的大小.
6
17．已知→a＝(cosx＋sinx，sinx)，→b＝(cosx－sinx，2cosx)，
（Ⅰ）求证：向量→a与向量→b不可能平行；
??→（Ⅱ）若f(x)＝→a·b，且x∈[－,]时，求函数f(x)的最大值及最小值．
44
18．设函数f(x)?a?(b?c)，其中向量a?(sinx,?cosx),b?(sinx,?3cosx)，
c?(?cosx,sinx),x?R．
（Ⅰ）求函数f?x?的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）将函数y?f?x?的图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小
的d．
19．已知向量a?(sin?,1),b?(1,cos?),?（Ⅰ）若a?b，求?； （Ⅱ）求a?b的最大值．
4
?2????2．
【参考答案】三角函数与平面向量综合题的九种类型
【例1】【解】（Ⅰ）∵→p、→q共线，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA＋sinA)(cosA－sinA)， 33?则sin2A＝，又A为锐角，所以sinA＝，则A＝. 423
?
(π－－B)－3B
3C－3B13?
（Ⅱ）y＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos(－2B)＝1－cos2B＋cos2B＋sin2B
2232231????5????
sin2B－cos2B＋1＝sin(2B－)＋1.∵B∈(0，)，∴2B－∈(－，)，∴2B－＝，解得B＝， 2262666623ymax＝2.
→2、【解】 （Ⅰ）∵→a⊥→b，∴→a·b＝0．而→a＝（3sinα，cosα），→b＝(2sinα, 5sinα－4cosα)， ＝
4→故→a·b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0． 由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0．解之，得tanα＝－，或tanα
3
13?14＝．∵α∈（，2π），tanα＜0，故tanα＝（舍去）．∴tanα＝－． 2223
3?α3?4α1αα5α
（Ⅱ）∵α∈（，2π），∴∈（，π）．由tanα＝－，求得tan＝－，tan＝2（舍去）．∴sin＝，cos
2243222252
25＋1525α?α?α?25153
＝－，∴cos(＋)＝coscos－sinsin＝－×－×＝－
523232352521024→3、【解】 (Ⅰ)∵|→a－→b|＝5，∴→a2－2→a·b＋→b2＝，将向量→a＝(cosα,sinα)，→b＝(cosβ,sinβ)代入上式得
5543
12－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＋12＝，∴cos(α－β)＝. 55
34512??
(Ⅱ)∵－＜β＜0＜α＜，∴0＜α－β＜π，由cos(α－β)＝－，得sin(α－β)＝，又sinβ＝－，∴cosβ＝，
22551313
33∴sinα＝sin［(α－β)＋β］＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝.
654、【解答】因为?为f(x)?cos(2x?又a?b?cos??tan(???8)的最小正周期，故???．因为a?b?m，
?4)?2，故cos??tan(???4)?m?2．
2cos2??sin2(???)2cos2??sin(2??2?)?由于0???，所以
4cos??sin?cos??sin??1?tan?2cos2??sin2?2cos?(cos??sin?)??2cos???
cos??sin?1?tan?cos??sin??cos??tan(???4)?m?2．
???→练习解：（Ⅰ）f(x)＝→a·b＝m(1＋sinx)＋cosx，由f()＝2，得m(1＋sin)＋cos＝2，解得m＝1.
222??
(Ⅱ)由（Ⅰ）得f(x)＝sinx＋cosx＋1＝2sin(x＋)＋1，当sin(x＋)＝－1时，f(x)的最小值为1－2.
445、【解答】（I）因为函数图像过点(0,1)，所以2sin??1,即sin??1. 2 5