所以函数f(x)的最小正周期为T? （II）由（I）知，当2x?即x?k??2???. 2?4?2k???2,
?8(k?Z)时，f(x)取最大值2?1.
因此函数f(x)取最大值时x的集合为{x|x?k??17．解：（I）由题意可得，
?8,k?Z}
x2y??，所以x?1,y?3. 183654 （II）记从高校B抽取的2人为b1,b2，从高校C抽取的3人为c1,c2,c3，则从高校B，
C抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有
(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c1),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3)共10种.
设选中的2人都来自高校C的事件为X，则X包含的基本事件有(c1,c2)
3. 103故选中的2人都来自高校C的概率为.
10(c1,c3),(c2,c3)共3种，因此P(X)?18．解：（I）如图，因为C1D1//B1A1，所以?MA1B1为异面直线A1M与C1D1所成的角.
因为A1B1?平面BCC1B1，所以?A1B1M?90? 而A1B1?1,B1M?B1C12?MC12?2,故
tan?MA1B1?B1M?2, A1B1即异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值是2. （II）由A1B1?平面BCC1B1，BM?平面BCC1B1，
得A1B1?BM. 由（I）知B1M?
①
2,又BM?BC2?CM2?2,B1B?2,所以
②
B1M2?BM2?B1B2,从而BM?B1M.
又A1B1?B1M?B1,再由①，②得BM?平面A1B1M，而BM?平面ABM，因此
平面ABM⊥平面A1B1M.
19．解（I）设边界曲线上点P的坐标为(x,y)，则由|PA|?|PB|?10知，点P在以A，B
为焦点，长轴长为2a=10的椭圆上，此时短半轴长b?52?42?3.
x2y2??1. 所以考察区域边界曲线（如图）的方程为
259
（II）易知过点P1,P2的直线方程为4x?3y?47?0.因此点A到直线P1P2的距离为、
d?|?16?47|42?(?3)2?31. 5设经过n年，点A恰好在冰川边界上，则利用等比例数列求和公式可得
0.2(2n?1)31?.
2?15解得n=5，即经过5年，点A恰好在冰川边界线上.
20．解：表4为
它的第1，2，3，4行中的数平均数分别是4，8，15，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列.
将这一结论推广到表n(n?3)，即
表n(n?3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列. 简证如下（对考生不作要求）
首先，表n(n?3)的第1行1，3，5，…，2n-1是等差数列，其平均数为
1?3???(2n?1)?n;其次，若表n的第k(1?k?n?1)行a1,a2,?,an?k?1是等差
n数列，则它的第k?1行a1?a2,a2?a3,?,an?k?an?k?1也是等差数列，由等差数列的性质知，表n的第k行中的数的平均数与第k+1行中的平均数分别是
a1?an?k?1a1?a2?an?k?an?k?1,?a1?an?k?1. 22由此可知，表n(n?3)各行中的数都成等差数列，且各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列.
（II）表n的第1行是1，3，5，…，2n-1，其平均数是
1?3?5???(2n?1)?n.
n由（I）知，它的各行中的数的平均数从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列（从而它的第k行中的数的平均数是n?2数为bn?n?2n?1. 因此
k?1），于是，表n中最后一行的唯一一个
bk?2(k?2)2k?1k?2 ??k?1kk?2bkbk?1k?2?(k?1)?2k(k?1)?2?2(k?1)?k11??.(k?1,2,3,?,n)
k(k?1)?2k?2k?2k?3(k?1)?2k?2故
b3bb1111?4???n?2?(?)?(?)?? ?2?2?10b1b2b2b3bnbn?11?22?22?23?211111?]???4?.
n?2n?3(n?1)?2n?21?2?2(n?1)?2n?2(n?1)?2n?2?[21．解（I）f(x)的定义域为(0,??)
f'(x)??aa?1(x?a)(x?1)?1?? 2xxx2 （1）若?1?a?0,则当0?x??a时,f'(x)?0;
时,f'(x)?0; 当?a?x?1时,f'(x)?0.故f(x)分别在(0,?a),(1,??)上单调递增， 当x?1在（-a，1）上单调递减.
（2）若a??1,仿（1）可得f(x)分别在（0，1），(?a,??)上单调递增，在（1，-a）
上单调递减.
（II）存在a，使g(x)在[a,?a]上为减函数.
事实上，设h(x)?(?2x3?3ax2?6ax?4a2?6)ex(x?R)，则
h'(x)?[?2x3?3(a?2)x2?12x?4a2]ex.
再设m(x)??2x3?3(a?2)x2?12ax?4a2(x?R)， 则当g(x)在[a,?a]上单调递减时，
h(x)必在[a，0]上单调递减，所以h'(a)?0.
由于e?0，因此m(a)?0.而m(a)?a2(a?2)， 所以a??2，此时，显然有
xg(x)在[a,?1]上为减函数，当且仅当f(x)在[1?a]上为减函数， h(x)在[a,1]上为减函数，且h(1)?e?f(1).
由（I）知，当a??2时,f(x)在[1,?a]上为减函数 又h(1)?e?f(1)?4a?13a?3?0??3?a??. 不难知道，?x?[a,1],h'(x)?0??x?[a,1],m(x)?0. 因'(x)??6x?6(a?2)x?12a??6(x?2)(x?a), 令m'(x)?0,则x?a,或x??2. 而a??2，于是
（1）当a??2时，若a?x??2,则m'(x)?0；
若?2?x?1,则m'(x)?0.
因而m(x)在(a,?2)上单调递增，在（-2，1）上单调递减. （2）当a=-2时，m'(x)?0,m(x)在（-2，1）上单调递减.
综合（1）、（2）知，当a??2时，m(x)在[a,1]上的最大值为
22①
14②
m(?2)??4a2?12a?8.
所以?x?[a,1],m(x)?0?m?(?2)?0??4a?12a?8?0?a??2.③
2又对x?[a,1],m(x)?0只有当a=-2时在x=-2取得，亦即h'(x)?0只有当a=-2时在x=-2取得.
因此，当a??2时，h(x)在[a,1]上为减函数，从而由①，②，③知，?3?a??2. 综上所述，存在a，使g(x)在[a,?a]上为减函数，且a的取值范围为[-3，-2].