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课 题 教学目标 重点、难点 函数复习 掌握函数的概念（定义域，值域，解析式） 求函数值域是本节课的难点 教学内容 一、函数复习 1．函数的概念： 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。 注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； （2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x 2．映射的概念 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A?B”。 函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。 注意：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。 （2）“都有唯一”什么意思？ 包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思 3．常用的函数表示法 （1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式； （2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； （3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系 4．分段函数 若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数； 5．复合函数 若y=f(u)，u=g(x),x?(a，b)，u?(m,n)，那么y=f[g(x)]称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域 二．【典例解析】 题型一：函数概念 ?3x,x?1,例一：已知函数f(x)??若f(x)?2，则x? . ?x,x?1,?1
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题型二：判断两个函数是否相同 1．两个函数的相等： 函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。 例2．试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （1）f（x）=x2，g（x）=3x3； （2）f（x）= （3）f（x）= （4）f（x）=x2n?1x?0,?1|x|，g（x）=? x??1x?0;x2n?1，g（x）=（2n?1x）2n－1（n∈N*）； x?1，g（x）=x2?x； 题型三：函数定义域问题 2．求函数定义域一般有三类问题： （1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合； （2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义； （3）已知f(x)的定义域求f[g(x)]的定义域或已知f[g(x)]的定义域求f(x)的定义域： （1）已知f(x)的定义域为D，求f[g(x)]的定义域；（由g(x)?D求得x的范围就是） （2）已知f[g(x)]的定义域为D，求f(x)的定义域；（x?D求出g(x)的范围就是） 例3．求下述函数的定义域： 2x?x2?(3?2x)0； （1）f(x)?lg(2x?1)2
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例4．已知函数f?x?定义域为(0，2)，求下列函数的定义域： f(x2)?1(1) f(x)?23；(2)y?。 log1(2?x)22 点评：本例不给出f(x)的解析式，即由f(x)的定义域求函数f[g(x)]的定义域关键在于理解复合函数的意义，用好换元法；求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系，求其定义域，后面还会涉及到 题型四：函数值域问题 求函数值域的各种方法 函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的。其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域。 ①直接法：利用常见函数的值域来求 一次函数y=ax+b(a?0)的定义域为R，值域为R； 反比例函数y?k(k?0)的定义域为{x|x?0}，值域为{y|y?0}； x二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)的定义域为R， 2当a>0时，值域为{y|y?(4ac?b)}； 4a2当a<0时，值域为{y|y?(4ac?b)}。 4a 2②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：f(x)?ax?bx?c,x?(m,n)的形式； ③分式转化法（或改为“分离常数法”） ④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； ⑥基本不等式法：转化成型如：y?x?k(k?0)，利用平均值不等式公式来求值域； x3 ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。
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⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域 例5．求下列函数的值域： （1）y?3x?x?2；（2）y?3x?1； （4）y?x?41?x；； x?212323解：（1）（配方法）?y?3x2?x?2?3(x?)2??， 61212232∴y?3x?x?2的值域为[,??) 122?x2?6x?5；（3）y?改题：求函数y?3x?x?2，x?[1,3]的值域。 解：（利用函数的单调性）函数y?3x?x?2在x?[1,3]上单调增， ∴当x?1时，原函数有最小值为4；当x?3时，原函数有最大值为26 ∴函数y?3x?x?2，x?[1,3]的值域为[4,26]。 （2）求复合函数的值域： 2设???x?6x?5（??0），则原函数可化为y?22222?。 又∵???x?6x?5??(x?3)?4?4， ∴0???4，故??[0,2]， ∴y??x2?6x?5的值域为[0,2] 3x?12x?1的反函数为y?，其定义域为{x?R|x?3}， x?2x?3（3）（法一）反函数法： y?∴原函数y?3x?1的值域为{y?R|y?3} x?23x?13(x?2)?77， ??3?x?2x?2x?2（法二）分离变量法：y?∵77?0，∴3??3， x?2x?2∴函数y?3x?1的值域为{y?R|y?3}。 x?22（4）换元法（代数换元法）：设t?1?x?0，则x?1?t， ∴原函数可化为y?1?t?4t??(t?2)?5(t?0)，∴y?5， ∴原函数值域为(??,5] 注：总结y?ax?b?cx?d型值域， 2变形：y?ax?b?cx?d或y?ax?b?cx?d 22224
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题型五：函数解析式 1．求函数解析式的题型有： （1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法； （2）已知f(x)求f[g(x)]或已知f[g(x)]求f(x)：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式； （4）f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法； 例6．（1）已知f(x?)?x3?1x1，求f(x)； x3（2）已知f(?1)?lgx，求f(x)； （3）已知f(x)是一次函数，且满足3f(x?1)?2f(x?1)?2x?17，求f(x)； （4）已知f(x)满足2f(x)?f()?3x，求f(x)。 解：（1）∵f(x?)?x?2x1x11313f(x)?x?3x（x?2或x??2），∴。 ?(x?)?3(x?)3xxx22（2）令?1?t（t?1），则x?， xt?122∴f(t)?lg，f(x)?lg (x?1)。 t?1x?131x（3）设f(x)?ax?b(a?0)， 则3f(x?1)?2f(x?1)?3ax?3a?3b?2ax?2a?2b?ax?b?5a?2x?17， ∴a?2，b?7，∴f(x)?2x?7。 1x113把①中的x换成，得2f()?f(x)? ②， xxx31①?2?②得3f(x)?6x?， ∴f(x)?2x? xx（4）2f(x)?f()?3x ①， 点评：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数法；第（4）题用方程组法。 函数”是数学中最重要的概念之一，学习函数的概念首先要掌握函数三要素的基本内容与方法。由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的x的取值范围它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练。 题型六：函数图像①平移变换： 1. 水平平移：函数y?f(x?a)的图像可以把函数y?f(x)的图像沿x轴方向向左(a?0)或向右(a?0)平移|a|个单位即可得到； 5