22【提示：1BH?1?H2?1?(rI)2??0rI】 002222?R28?2R418．麦克斯韦关于电磁场理论的两个基本假设是 ； 。
【位移电流假设和感生电场（涡旋电场）假设】
19．真空圆形板电容器极板的半径为R，两极板的间距为d。若以恒定电流I对电容器充电，求：位移电流密度为 。
【提示：由于两板间的位移电流就等于电路上的传导电流（见P323例），有：Id?I，而Id?∴I?jd??R2，有j?I】
d?R2?Sjd?dS，
8--5．反映电磁场基本性质和规律的麦克斯韦方程组的积分形式为:
????SD?dS?q…………………①；?E?dl????l?B?dS…………………②； S?t?D)?dS……………④。 ?tSB?dS?0…………………③；?H?dl???(j?lS试判断下列结论是包含或等效于哪一个麦克斯韦方程式的。将你确定的方程式用代号填在相应结论后的空白处。
（1）电荷总伴随有电场： ； （2）静电场是保守场： ； （3）磁感线是无头无尾的： ； （4）变化的磁场一定伴随有电场： ； （5）感生电场是有旋场： ； （6）变化的电场总伴随有磁场： ； （7）电场线的头尾在电荷上： 。
【提示：①；②；③；②；②；④；①。注：第（2）项更应该是
?El静?dl?0】
三、计算题
8-7．两相互平行相距为d的无限长的直导线载有大小相等方向 相反的电流，且电流均以
dI的变化率增长，若有边长为d的 dtIIdddd矩形线框与两导线共面，如图所示，求线框内的感应电动势。
8-10．如图，均匀磁场B垂直纸面向里，一根细铜棒OA以角速度
??????A??垂直磁场、绕定点O点转动，设OA=L，求铜棒的感应电动势
的大小和方向。
???o?L???8-13．如图，长直导线通有电流I，一金属棒AB与导线垂直运动， 速度为v，A端距导线距离为RA，B端距导线距离为RB，求 金属棒的感应电动势的大小和方向。
4．载有电流的I长直导线附近，放一导体半圆环MN与长直导 线共面，且端点MN的连线与长直导线垂直．半圆环的半径为R， 环心O与导线相距d．设半圆环以速度v平行导线平移，求半圆 环内感应电动势的大小和方向以及MN两端的电势的高低。
8-14．如图所示，通有电流I的长直导线附近放有一矩形导体线框， 该线框以速度v沿垂直于长导线的方向向右运动，设线圈长l，宽a， 求在与长直导线相距d处线框中的感生电动势。
6．直导线中通以交流电，如图所示， 置于磁导率为? 的介质中， 已知：I?I0sin?t，其中I0，?是大于零的常量.求：与其共面 的N匝矩形回路中的感应电动势。
8-17．一长圆柱状磁场半径为R，其磁场变化率
vIRAABRBIdMvO?RNdB为正常数， dt???并垂直纸面方向向里，求（1）圆柱内外感生电场的分布； （2）如
??????R????dB?0.01T/s，R?0.02m，求距圆柱中心 dtrr?0.05m处感生电场的大小和方向。
8-18．如图，半径为R的无限长圆柱空间内的均匀磁场变化率
?????dB为正常数，方向垂直纸面向里，在垂直磁场方向放置一根 dt长为L的金属棒AB。求AB棒上的感应电动势的大小和方向。
ARo????????BL9．如图所示，在半径为R的无限长直圆柱形空间内，
??存在磁感应强度为B的均匀磁场，B的方向平行于
圆柱轴线，在垂直于圆柱轴线的平面内有一根无限长 直导线，直导线与圆柱轴线相距为d，且d>R，已知
???????o?d???R??dB?0，为常量，求长直导线中的感应电动势的大小 dt和方向。
8-19．一截面为长方形的螺绕环，其尺寸如图所示， 共有N匝，求此螺绕环的自感。
8-23． 一圆形线圈A由50匝细线绕成，其面积为4cm2， 放在另一个匝数等于100匝、半径为20cm的圆形线圈 B的中心，两线圈同轴，设线圈B中的电流在线圈A所 在处激发的磁场可看作均匀的。求：（1）两线圈的互感； （2）当线圈B中的电流以50A/s的变化率减小时，线圈 A中的感生电动势。
hR2R1AB?
8-27．一无限长圆柱形直导线，其截面各处的电流密度相等，总电流为I。求：导线内部单位长度上所储存的磁能。
13．圆形板电容器极板的面积为S，两极板的间距为d。一根长为d的极细的导线在极板间沿轴线与极板相连，已知细导线的电阻为R，两极板间的电压为U?U0sin?t，求： （1）细导线中的电流；（2）通过电容器的位移电流；（3）通过极板外接线中的电流； （4）极板间离轴线为r处的磁场强度，设r小于极板半径。
电磁感应部分自主学习材料解答
一、选择题：
1.B 2.B 3.D 4. B 5. D 6.C 7.D 8.B 9.D 10.D 11.C 12.A 13.A 三、计算题
1．解：以最左边的直导线位置为坐标原点建立水平坐标， 由安培环路定律强度为：B??B?dl??l0I知两直导线电流在线框区域内任一位置r处产生的磁感应
?0I，方向?；
2?(r?d)2?r??0I利用????dId?d????B?dS有：??0dtdtS2?dt?3d2dd?(11?)dr r?dr??0ddI3?d4dI，电动势方向为逆时针方向。 (ln2?ln)?0(ln)2?dt22?3dt2．解：利用d??(B?v)?dl有：?OA?方向由A指向O，即O电势高。 3．解：由
?L0B?rdr?1B?L2 2?lB?dl??0I知：电流I在r处产生的磁感应强度为：B??0I，方向?； 2?r利用d??(B?v)?dl有：?AB??RBRA?0Iv?IvRdr?0lnB 2?r2?RA?0I，方向?； 2?r方向由B指向A，即A点电势高。 4．解：由
?lB?dl??0I知：电流I在r处产生的磁感应强度为：B?利用d??(B?v)?dl，而对于半圆环，相当于直线段MN产生的感应电动势，那么，
?MN??d?2Rd?0Iv?Ivd?2R，方向由N指向M，即M电势高。 dr?0ln2?r2?d5．解：利用安培环路定律
?B?dll??0I，有：2?x?B??0I，
x?a?Il?0Ilx?a?0I0???dx?ln即：B?，则通量为：， ?x2?x2?x2?x????Il1dxd?1dx??0(?)??v， ，而dt2?x?axdtdt当x?d时，有此时的的感应电动势：???0Il11(?)?v 2?dd?a解二：利用直导线切割磁感线的方法：??Blvsin?，有：
?2?B2lv，?1?NB1lv，而：???1??2，则：??NB1lv?NB2lv?6．解：首先利用安培环路定律，求出磁场强度分布。 则利用
?0Ilv11(?)。 2?dd?a?lH?dl??I有：2?x?H?I，H?I2?x，即：B??I?I0sin?t； ?2?x2?x其次，求出矩形回路的磁通量：??则：???N7．解：由
?d?ad?I0sin?t?Ilsin?td?a?ldx?0ln，
2?x2?dN?I0?ld?ad???lncos?t。 dt2?dEk?dl??d?及???B?dS， dt2?l（1）当0?r?R时，2?r?Ek1???rdBrdB，有：Ek1??； dt2dtdBdBR2dB当r?R时，2?r?Ek2???R，有：Ek2??；∵为正常数，∴感生电场
dtdt2rdt2的方向为逆时针方向。
0.022R2dB?0.01??4?10?5V/m，方向：逆时针。 （2）由Ek2??，有Ek2?2?0.052rdt8．解：连接OA、OB，考虑?OAB回路中产生的感应电动势即为 AB棒上的感应电动势。（∵OA、OB与E涡旋⊥）
?????d?由法拉第电磁感应定律：?感??N及???B?dS，
dtAo??????R??B考虑到?OAB的面积为S?OAB1?L??LR2??? 2?2?22L1?L?dB2那么，?感??LR????，
22dt??即：?ABdBL?L???R2???。方向由A指向B，即B电势高。 dt2?2??????R29．解：连接O点和直导线两端（均为∞远），
则△OAC的磁通量变化的有效面积为扇形，面积为半圆。 ∴回路△OAC中产生的感应电动势为：
??o??????感??d?1dB???R2?， dt2dtd??A?C而OA，OC不产生感应电动势，那么， 长直导线中的感应电动势的大小为：
????R2?12dB，方向A→C。 dt10．解：如果给螺绕环通电流，有环内磁感应强度：B?则???0NI2?r(R1?r?R2)
??SB?dS，有：???R2R1?0NI?NIhR2 ?h?dr?0ln2?r2?R1?0N2hR2利用自感定义式：L?，有：L?ln。
I2?R1?11．解：设B中通有电流I，则在A处产生的磁感应强度为：
B?NB?0I?NI?2??0B
4?RB2RBAB?（1）A中的磁通链为：?A?NABSA??0NANBI2RB?SA。则：M??AIB??0NANBSA2RB，
4??10?7?50?100?4?10?4?20??10?7?6.28?10?6H ∴M?2?0.2（2）∵
d?A?0NANBSAdI???6.28?10?6?50?3.14?10?4V,∴?A?3.14?10?4V dt2RBdt?0Ir1B2?0I2r212．解：在r?R时：B? ，又∵ wm?B?H ，∴wm??24； 22?R22?08?R取：dV?2?rldr?2?rdr (∵单位导线长l?1m)， 则： W??R0wm2?rdr??R0?0I2r3dr?0I2?。 44?R16?UU0?sin?t； RR13．解：（1）细导线中的电流：iR?（2）通过电容器的位移电流：id??SdqdU?C?CU0?cos?t?0U0?cos?t； dtdtdU0?Ssin?t?0U0?cos?t； Rd（3）通过极板外接线中的电流：i?iR?id?U0?r2?0Ssin?t??U0?cos?t， （4）由?H?dl??I有：2?r?H?lRSd∴H?U0?r sin?t?0U0?cos?t 。2?rR2d