11. 有两个均匀带电的同心带电球面，半径分别为R1和R2（R2?R，若大球面的面电荷密1）度为?，且大球面外的电场强度为零。求：（1）小球面上的面电荷密度；（2）大球面内各点的电场强度。
??1解:（1）电场具有球对称分布，以r为半径作同心球面为高斯面。由高斯定理?E?dS??qiS?0得
E?4?r?21?0?qi
?当r?R2时，E?0，?，所以 q?4R??4R?0i?21????22????（R22)? R1（2）当r?R1时，?qi?0，所以 E?0
?4当R，所以 qR?4Rr?Ri??1?21?2时，???2??2R?E??（2)2
r?0负号表示场强方向沿径向指向球心。
12. 一厚度为d的无限大的带电平板，平板内均匀带电，其体电荷密度为?，求板内外的场强。 解：电场分布具有面对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面与平板垂直，设两底面圆到
??1平板中心的距离均为x，底面圆的面积为?S。由高斯定理?E?dS??qi得
S?0??1E??S?E??S?0??qE?dS?i ?S?0当x?d时（平板内部），?，所以 q??2x??Si?2E??x ?0当x?dq??d??S（平板外部），?，所以 i?2E??d 2?0 41
13. 半径为R的无限长直圆柱体均匀带电，体电荷密度为?，求其场强分布。
解：电场分布具有轴对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面高为l，底面圆半径为r，应用高斯定理求解。
E?dS?E?2πrl?S2????01?qi
(1) 当r?R时，
q????rl，所以 ?iE?(2) 当r?R时，
?r 2?02q????Rl，所以 ?i?R2 E?
2?0r14.一半径为R的均匀带电圆盘，电荷面密度为?，设无穷远处为电势零点，求圆盘中心O点的电势。
解：取半径为r、dr的细圆环dq，则dq在O点产生的电势为 ?dS??2rd???dV?圆盘中心O点的电势为
dq?dr ?4??r2?00 V?dV????Rdr??02?02?0R
15. 真空中两个半径都为R的共轴圆环，相距为l。两圆环均匀带电，电荷线密度分别是??和
??。取两环的轴线为x轴，坐标原点O离两环中心的距离均为，如图所示。求x轴上任一点的
电势。设无穷远处为电势零点。
解：在右边带电圆环上取dq，它在x轴上任一点P产生的的电势为
2dq dV?224??x?l/2)?R0(右边带电圆环在P产生的的电势为
1 V?dV?dq??22?4??x?l/2)?R0(?R ?222?0(x?l/2)?R
42
同理，左边带电圆环在P产生的电势为
??R V??222?x?l/2)?R0(由电势叠加原理知，P的电势为
V?VV????11?R(?)
22222?0(x?l/2)?R(x?l/2)?R16. 真空中一半径为R的球形区域内均匀分布着体电荷密度为?的正电荷，该区域内a点离球心的距离为
12R，b点离球心的距离为R。求a、b两点间的电势差Uab 33解：电场分布具有轴对称性，以O为球心、作半径为r的同心球面为高斯面。由高斯定理
??1qi得 ?E?dS??S?0当r?R时，E?4?r?21?0???r3 ，所以
43E??r 3?0a、b两点间的电势差为
2??2R/3?r?RUr?? dr?ab??E?daR/33?018?0b17．细长圆柱形电容器由同轴的内、外圆柱面构成，其半径分别为a和3a，两圆
柱面间为真空。电容器充电后内、外两圆柱面之间的电势差为U。求：
（1）内圆柱面上单位长度所带的电量?； （2）在离轴线距离r?2a处的电场强度大小。 解：（1）电场分布具有轴对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面高为l，底面圆半径为r，
应用高斯定理求解。
E?dS?E?2πrl?S????01?qi
qi??l，所以 内、外两圆柱面之间，?E?? 2??0r内、外两圆柱面之间的电势差为
??3a??U?E?dr?dr?ln3 ??aa2??r2??003a
43
内圆柱面上单位长度所带的电量为
??2??0U ln3（2）将?代人场强大小的表达式得，E?在离轴线距离r?2a处的电场强度大小为
U rln3E?U
2aln318. 如图所示，在A，B两点处放有电量分别为+q,-q的点电荷，AB间距离为2R，现将另一正试验点电荷q0从O点经过半圆弧移到C点，求移动过程中电场力作的功。
解：O点的电势为
VO?C点的电势为
q4π?0R??q?0
4π?0RVC?电场力作的功为
q?qq ???4π?0?3R4π?0R6π?0R
A?q(VV)?0O?Cqqo
6π?R019．如图所示，均匀带电的细圆环半径为R，所带电量为Q（Q?0），圆环的圆心为O，一质量为m，带电量为q（q?0）的粒子位于圆环轴线上的P点处，P点离O点的距离为d。求：
?（1）粒子所受的电场力F的大小和方向；
?（2）该带电粒子在电场力F的作用下从P点由静止开始沿轴线运动，当粒子运动到无穷远处
时的速度为多大？
解：（1）均匀带电的细圆环在P点处产生的场强大小为（参见教材中均匀带电圆环轴线上的场强公式）
1QdE?，方向沿OP向右 x32224??0(R?d)粒子所受的电场力的大小
qQdF?qE?，方向沿OP向右 x32224??(R?d)0 44
（2）在细圆环上取dq，dq在P点产生的电势为
dV?P点的电势为
dq4??0r?dq4??0R?d22
1 V?dV? dq?422???d0R??Q4??0R?d22
由动能定理得，A ?q(V?0)?m??02122??
qQ2??0mR?d2
第7章 静电场中的导体和电介质 习题及答案
1. 半径分别为R和r的两个导体球，相距甚远。用细导线连接两球并使它带电，电荷面密度分别为?1和?明：
2。忽略两个导体球的静电相互作用和细导线上电荷对导体球上电荷分布的影响。试证
??12?r 。 R证明：因为两球相距甚远，半径为R的导体球在半径为r的导体球上产生的电势忽略不计，半径为r的导体球在半径为R的导体球上产生的电势忽略不计，所以
半径为R的导体球的电势为
?1?R2?1R?V1?
4π?0R4?0半径为r的导体球的电势为
?2?r2?2r?V2?
4π?0r4?0用细导线连接两球，有V1?V2，所以
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