第九章 教学参考资料
（一）本章学习重点及要求
1．杆件受到纵向（平行于杆轴）荷载的作用，这是杆件的拉压问题；杆件受到横向（垂直于杆轴）荷载的作用，这是梁的弯曲问题。
与此相似，薄板受到纵向（平行于板面）荷载的作用，这是平面应力问题；薄板受到横向（垂直于板面）荷载的作用，这就是薄板的弯曲问题。薄板的弯曲，可以认为是梁的弯曲的推广，是双向的弯曲问题。 但读者不可简单地将板的弯曲看成是纵、横梁弯曲的迭加。否则，这会重复板的弯曲理论发展史中的错误。
2．与平面问题和空间问题不同的是，除了前述的弹性力学的五个基本假定之外，在薄板弯曲问题中，根据其内力和变形的特征，又提出了3个计算假定，用以简化空间问题的基本方程，并从而建立了薄板的弯曲理论。这点与材料力学的解法相似。因此，常将薄板和壳体的理论归入高等材料力学。但由于其应用的数学工具较为复杂，所以这些内容又称为实用弹性力学。
3．薄板弯曲问题属于空间问题。薄板弯曲理论，是从空间问题的基本方程和条件出发，应用薄板的三个计算假定进行简化，并按位移法导出薄板弯曲问题的基本方程和边界条件的。最后归结的基本未知函数（挠度w）和相应的方程、边界条件都只含（x,y）两个自变量，因此，薄板弯曲问题也属于二维问题。 4．对于矩形薄板，基本的解法是纳维法和莱维法。
5．对于圆形薄板，类似于极坐标中的平面问题，可以建立相应的圆板弯曲问题的方程。对于轴对称圆板的弯曲问题，其中只包含一个自变量，其方程为常微分方程，它的通解已经求出。 （二）本章内容提要
1．薄板小挠度弯曲问题的基本方程和边界条件，是从空间问题的基本方程和边界条件出发，引用三个计算假定进行简化，并由按位移求解的方法导出的。 2．在薄板弯曲问题中，取挠度
为基本未知函数，它应满足：
区域内的弹性曲面微分方程
固定边边界条件
或简支边边界条件
或自由边边界条件薄板横截面上的内力公式为：
弯矩
扭矩
剪力
3．四边简支矩形板的重三角级数解（纳维解法）
4．两对边简支矩形板的单三角级数解（莱维解法）
其中
为特解，并由其余两边界的条件求出系数
5．薄板弯曲问题的差分法是： O点的差分公式为：
固定边边界条件（x边界O点） 简支边边界条件（x边界O点）6．圆形薄板弯曲问题的基本方程是：
其中
固定边边界条件
简支边边界条件
自由边边界条件
7．圆板轴对称弯曲的一般解是
其中
由边界条件确定。
（三）板的分类
不同厚度的板具有不同的内力和变形特征。按板的厚度，可以分为： 1．厚板—其板厚与板面尺寸之比，约为
即三个方向的几何尺寸接近于同阶大小。因此，
空间问题的各物理量也为同阶大小，均应考虑而不宜忽略。 2．薄板—大约为
又按抗弯刚度的大小分为：
小挠度薄板—这种板虽然薄，但仍有相当的抗弯刚度。它的特征是，（1）由于具有一定的刚度，其横向挠度
即符合小变形假定；（2）在中面位移中，w是主要的，而纵向位移u,v很小，可以不计；
（3）在内力中，仅由横向剪力计。
与横向荷载q成平衡，纵向轴力（平行于中面的内力）N的作用可以不
大挠度薄板—其抗弯刚度较小，因此，（1）挠度w与板厚不能忽略；（3）纵向轴力N 也应考虑入横向的平衡条件之中。 3．薄膜—大约为
由纵向轴力N与横向荷载q成平衡。 （四）薄板弯曲问题的变分法
为同阶大小；（2）在中面位移中，u,v
其抗弯刚度极小，相应的弯曲内力 主要
下面我们来介绍一下薄板弯曲问题的变分法。这也是解决实际问题的很有效的方法。 在薄板弯曲问题中，由于不计形变分量
因此形变势能为
（a）
将形变分量（式（9-4））和应变分量（式（9-5））代入上式，并注意w是(x,y)
的函数。对z进行积分，得出薄板的形变势能为
薄板在横向荷载作用下的外力功和外力势能为
因此，薄板弯曲问题的总势能极值条件是
求解薄板弯曲问题的里兹法是，首先设定挠度w的试函数，
使之预先满足位移边界条件（关于挠度及转角的条件），再满足里兹变分方程，
由上式可解出系数
。
求解薄板弯曲问题的伽辽金法是，令设定的挠度w 不仅满足位移边界条件，也满足应力边界条件（关于弯矩和总剪力的条件），即满足全部边界条件。然后再满足伽辽金变分方程，
其中体力
已转化为等效的面力，归入q元中。将
（书中式（9-5），（9-6））代入，对z
进行积分，得出薄板的伽辽金变分方程为
由上式解出系数
。
试用变分法求解其挠度。
例题3 四边固定的矩形薄板，受有均布荷载 解：薄板的固定边条件是
取挠度表达式为
上式已满足全部边界条件和对称性条件。若只取一项，
本题中全部为位移边界条件且已满足，可以应用伽辽金法求解。将
并考虑到
代入式（d），求出
对于正方形薄板，a=b,得出挠度解答为
最大挠度发生在x = y = 0点，
与精确解
（五）薄板弯曲问题和平面问题的比较
相比，大出5% 左右。
薄板弯曲问题和平面问题都是二维问题，可以比较如下。 基本未知函数 基本方程 边界条件 平面问题 应力函数 薄板弯曲问题 挠度 位移边界条件 应力边界条件 （(固定边) 混合边界一个位移边界条件，另一个为应力边界条件 条件 从上两表可见，两者的方程相似；但薄板弯曲问题的边界条件，特别是固定边和简支边，比平面问题的边界条件要简单的多，因此，薄板弯曲问题的解答也就比平面问题的解答多。 （六）应用叠加方法
应用叠加方法，可将莱维提出的单三角级数解用于解决各种边界条件的薄板问题(参见《弹性力学简明教程学习指导》)。
例如，对于图9-8的问题，二邻边为支边，另二邻边可表示为解答的叠加为四边简支矩形板，受q作用的解，可以用纳维解法或莱维解法求出：
，其中
分别为q=0，两对边简支，
而另外有一边为广义简支边（在边界上分别受弯矩的作用，其中表示）的解，应用莱维解法可求出。 由此得出解答，
，然后再由条件
均为未知，用待定系数
求出系数，从而得出解答。
又例如，图9-9的薄板，二邻边为支边，另二邻边为自由边，也可以按图示方法求解。令
分别见图9-9所示。其中
为四边简支板，受q作用的解，
分别对应
为q=0，两对边简支，而另外有一边为广义简支边（其中弯矩为0，而挠度为未知，分别用待定系数表示）的解，
应用莱维解法可求出
；
为两邻边简支，两邻边自由，在角点A受强迫位移 （未知）
作
用的解（参见习题9-3）。并叠加得到及角点条件
，求出
及
从而得出解答
然后再由条件。