第2章 质点动力学
一、基本要求
1．理解冲量、动量，功和能等基本概念；
2．会用微积分方法计算变力做功，理解保守力作功的特点；
3．掌握运用动量守恒定律和机械能守恒定律分析简单系统在平面内运动的力学问题的思想和方法。
二、基本内容
（一）本章重点和难点：
重点：动量守恒定律和能量守恒定律的条件审核、综合性力学问题的分析求解。 难点：微积分方法求解变力做功。 （二）知识网络结构图：
??动量????冲量基本物理量???功????能?
??动量定理?基本定理??动能定理????条件(合外力为0)??动量守恒定律???公式??守恒定律?)??能量守恒定律?条件(只有保守内力做功????公式??牛二定律 动量定理 变力做功 角动量定理（不要求） 动量守恒定律 动能定理 功能原理 机械能守恒定律 （三）容易混淆的概念： 1.动量和冲量
动量是质点的质量与速度的乘积；冲量是合外力随时间的累积效应，合外力的冲量等于动量增量。
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2.保守力和非保守力
保守力是做功只与始末位置有关而与具体路径无关的力，沿闭合路径运动一周保守力做功为0；非保守力是做功与具体路径有关的力。
(四)主要内容： 1．动量、冲量 动量：p?mv 冲量：I???t2t1?F?dt
2．动量定理：
???t2??质点动量定理：I??F?dt?P2?P ?m?v1t1??dP质点系动量定理：F?
dt3．动量守恒定律：
?当系统所受合外力为零时，即Fex?0时，或Finn??系统的总动量保持不变，即：P??mivi?C
i?1Fex
4．变力做功：
BW??A??B??F?dr??Fcos?dr（?为F与dr之间夹角)
A直角坐标系中：5．动能定理：
W??(Fxdx?Fydy?Fzdz) A B
（1）质点动能定理：
W?112mv2?mv12?Ek2?Ek122
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（质点所受合外力做功等于质点动能增量。）
W（2）质点系动能定理:
ex?W??Eki??Ekioini?1i?1nn
（质点系所受外力做功和内力做功之和等于质点系动能增量。）
6．保守力、势能、功能原理：
（1）保守力：做功只与始末位置有关，与经历的路径无关的力
（2）重力势能：
EP?mgh，地面为势能零点
EP?12kx2，弹簧原长处为势能零点
（3）弹簧的弹性势能：
（4）万有引力势能：（5）功能原理：WexEP??Gm'mr，m?与m相距无限远处r??为势能零点
?Wncin?E?E0
7．机械能守恒定律：
当作用于质点系的外力和非保守内力不作功（或只有保守内力做功）时，即：当
inWex?Wnc?0时，质点系的总机械能是守恒的：
E?E0
（五）思考问答：
问题1假使你处在摩擦可略去不计的覆盖着冰的湖面上，周围又无其他可资利用的工具，你怎样依靠自身的努力返回湖面呢？
答：此题应了解动量守恒定律。当系统所受外力可以忽略时，系统的动量保持不变。 当人处于摩擦可以略去不计的冰面上，周围又无其他可以利用的工具时，初始动量为零，可向背离湖岸的方向扔一自身携带的物体，从而使人获得朝向湖岸的动量。
问题2 质点的动量和动能是否与惯性系的选取有关？功是否与惯性系有关？质点的动量定理和动能定理是否与惯性系有关？请举例说明。 答：设一小车在水平面上，以速度u匀速运动，小车内有一
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?小球，相对于小车沿u的方向运动，如图所示。在小车和地面上分别建立惯性坐标系S?和S，则小球在S?系和S系中的速度分别为v和v，v?v??u。小球在S?系和S系中的加速度分别为a?和a，a??a。它在两坐标系的位移分别为x?和x，x?x??ut。
???????①由于小球的速度与S?系和S系有关，故动量P?mv与惯性系有关。
②显然，动能Ek=
12mv与惯性系有关。 2??③由于W??F?dr，故S?系中W'??F'dx'，S系中W??Fdx;因为a??a,所以
F?ma?ma??F?,于是W??F'd(x'?ut')??F'dx'?u?F'dt'?W'?u?F'dt'，所以功
也与惯性系有关。
11111?12222??Ek?mv2?mv0?m?v'??'??m?v'0?u???mv'2?mv'0??u?mv?mv0?,222222?④设在惯性系S?中动能定理成立，即W'??E'k，则在惯性系W?W??u?F'dt'，S中，?112因为W'?mv'2?mv'0,u?F'dt'?u?mv'?mv'0?,所以W??EK,即质点的动能定理形式
22与惯性系无关。但数值仍与惯性系有关。问题3 把物体抛向空气中有哪些力对它做功？这些力是否都是保守力？
答：把物体抛向空气中，通常物体受到重力、空气阻力和浮力的作用。但是浮力作用很小而被忽略；重力对物体做功，是保守力。空气阻力方向与运动方向相反，对物体做负功，且做功与路径有关，所以空气阻力为非保守力。
问题4 在弹性碰撞中，有哪些量保持不变？在非弹性碰撞中，又有哪些量保持不变？ 答：在弹性碰撞中，动能不变，动量守恒；在非弹性碰撞中，动量守恒，动能不守恒。 问题5 动量的大小和方向与参考系有关吗？冲量的大小和方向与参考系有关吗？ 答：物体的质量与速度的乘积为某时刻物体的动量，因速度与参考系的选取有关，所以动量的大小和方向与参考系的选取有关。
冲量是描述力对时间积累的物理量，物体间相互作用力和作用时间与参考系的选取无关,因此冲量的大小和方向与参考系的选取无关。 问题6 动量定理的数学表达式是
?t2t1?????Fi?dt??miv?mv?ii1，如果 i2?t2t1t2????，则，为什么守恒条件是??Fi?dt?0?mivi2??mivi1?Fi?0，而不是
?i???F?dt?0？
t1答：动量守恒是指系统在运动过程中的每一时刻，系统内各质点动量的矢量和不变。如果
?t2t1???Fi?dt?0,系统在整个运动过程的冲量为零,只能说明系统初末两个状态的动量相等,
但不能保证系统在这段时间内的任一时刻的总动量都恒定不变。因此,这不是动量守恒的条件。
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??d??mivi??0。 我们知道，如果?Fi?0，则
dt此式表示系统总动量不随时间的变化而变化,保持一恒矢量(守恒),因此系统动量守恒的条件是合外力为零,即
?Fi?0。
三、解题方法
1．已知质点运动所受外力与时间函数式，求末速度或速度增量，应用动量定理求解。 2．已知质点运动所受外力与位置函数式，求末速度或速度增量，应用动能定理求解。 3．综合问题：碰撞
物体发生碰撞时：动量或角动量守恒。 完全弹性碰撞：动量守恒，机械能守恒； 非弹性碰撞：动量守恒，机械能有损失不守恒；
完全非弹性碰撞：动量守恒，机械能有损失不守恒，但碰撞后物体以同一速度运动。
四、解题指导
1．动量定理的应用
一质量为m?2kg的质点在力Fx??2?3t??N?作用下由静止开始运动，若此力作用在质点上的时间为2s，则该力在这2s内冲量的大小多少？质点在第2s末的速度大小为多少。 【分析】：此题是物体受变力作用求冲量大小，用冲量定义式来计算；求速度大小用动量定理来计算。
根据冲量定义：I???t2t1?2F?dt???2?3t??dt?10?Ns?
0???t2??根据动量定理：I??F?dt?P2?P ?m?v1t1 I?m(v2?v1)?v2?5?m/s?
2．变力做功的应用
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一长方形地下蓄水池，面积为100m，池水深1m，池中水面在地面下2m处，今需将池水全部抽到地面，抽水机应作功多少？
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