小波变换学习心得
第一章什么是小波变换 1从傅里叶变换到小波变换 1.1短时傅里叶变换
为了克服傅里叶变换中时域和频域不能兼容的缺点，短时傅里叶变换把一个时间信号变为时间和频率的二维函数，它能够提供信号在某个时间段和某个频率范围的一定信息。这些信息的精度依赖于时间窗的大小。短时傅里叶变换的缺点是对所有的频率成分，所取的时间窗大小相同，然而，对很多信号为了获得更精确的时间或频率信息，需要可变的时间窗。 1.2 小波变换
小波变换提出了变换的时间窗，当需要精确的低频信息时，采用长的时间窗，当需要精确的高频信息时，采用短的时间窗，图1.3 给出了时间域信号、傅里叶变换、短时傅里叶变换和小波变换的对比示意图。
由图1.3看出，小波变换用的不是时间-频率域。而是时间-尺度域，尺度越大，采用越大的时间窗，尺度越小，采用越短的时间窗，即尺度与频率成反比。 1.2连续小波变换
小波是一个衰减的波形，它在有限的区域里存在（不为零），且其均值为零。图1.4是一个Daubechies小波（db10）与正弦波的比较。
正弦波：随时间无限振动的光滑波形，小波变换：尖锐变化而且是无规则的波形。因此小波能更好的刻画信号的局部特性。 在数学上，傅里叶变换的公式为
F?????????f?t?e?j?tdt
连续小波变换（Continue Wavelet Transform）的数学表达式
CWTa,b??????f?t??a,b?t?dt
?12?a,b?t??a???
a??式中，a为尺度因子；b为平移参数。图1.6是小波变换的示意图。由图看出，??t?为小波；小波变换给出了在各个时刻信号是由哪些尺度的小波构成。
小波中的尺度因子的作用是将小波在保持完全相似条件下“拉伸”或者“压缩”，图1.7给吃了尺度因子的“拉伸”和“压缩”作用。
?t?b?
小波中的平移参数，是简单地将波形沿时间轴平移。
连续小波变换CWTa,b是参数a和b的函数。下面的五个步骤是获得CWTa,b的最简单方法。 第一步，选择尺度a一定的小波，把它与原始信号的开始一段进行比较。
第二步，计算CWTa,b，它表示这段信号与尺度a小波的相关程度。CWTa,b越大，二者越相似。这个结果依赖于所选择的小波的形状。（图1.8）
第三步，向右移动小波，然后重复第一步和第二步，直到处理完成全部的信号（图1.9）
第四步，增大小波的尺度因子（拉升），重复第一步到第三步。
第五步，对全部尺度因子重复第一步到第四步，得到的CWTa,b通常用灰度表示。图1.11是小波变换的灰度图例子。
1.3 离散小波变换
实际计算中不可能对全部尺度因子值和位移参数值计算CWTa,b值，加之实际的观测信号都是离散的，所以信号处理中都是用离散小波变换（DWT）。大多数情况下是将尺度因子和位
移参数按2的幂次进行离散。最有效的计算方法是S.Mallat于1988年发展的快速小波算法（又称塔式算法）。
对任一信号，离散小波变换第一步运算是将信号分为低频部分（称为近似部分）和离散部分（称为细节部分）。近似部分代表了信号的主要特征。第二步对低频部分再进行相似运算。不过这时尺度因子已改变。依次进行到所需要的尺度。图1.12给出了一个信号经过第一次运算后获得的近似部分和细节部分。
除了连续小波（CWT）、离散小波（DWT），还有小波包（Wavelet Packet）和多维小波。 第二章预备知识（傅里叶变换） 第三章连续小波变换 3.1 引言
小波变换采用改变时间-频率窗口形状的方法，很好地解决了时间分辨率和频率分辨率的矛盾，在时间域和频率域有很好的局部化性质。对信号中的低频成分，采用宽的时间窗，得到高的频率分辨率；对信号中的高频成分，采用窄的时间窗，得到低的频率分辨率。小波变换的这种自适应特性，使它在工程技术和信号处理方面获得广泛应用。 3.2 连续小波变换定义
设函数??t??L?R?，满足下述条件
2???t?dt?0（3.1）
R称??t?为基本小波（Prototype），引入尺度因子（伸缩因子）a和平移因子b，a和b满足：
a,b?R,且a?0
将基本小波进行伸缩和平移，得到下列函数族
?a,b?t??a???（3.2）
?a?称?a,b?t?为分析小波，系数a成立
?12?12?t?b?为归一化常数，它使得对所有尺度a和平移因子b，下式
?a,b?t????a,b?t?dt????t?dt（3.3）
RR222通常取???t?dt=1，（本式的意义就是能量守恒）
R2函数f?t??L?R?的连续小波变换（CWT）的定义为
2CWTa,b??????f?t??a,b?t?dt?a?12?R?t?b?f?t????dt（3.4）
?a?式中，?a,b?t?为?a,b?t?的共轭函数。 若基本小波??t?满足下述条件：
?R?????d???（3.5）
（小波变换中狄更斯条件？）
则连续小波变换CWTa,b存在逆变换，公式为
f?t??C??1??0??????1dadb?a,b?t?gCWTa,b２（3.6）
aaC???R?????d?（3.7）
称式（3.5）为容许条件（Admissibility Condition），称满足容许条件的小波为容许小波。
1>关于容许条件
（其中，L?R?应该为1阶导数）
12>关于尺度因子a
根据傅里叶变换的尺度定理
??t?????? ????a??a??
a尺度因子a越小，a越大，?a,b???的?a,b?t?的波形变窄，?a,b???的频谱向高频端扩展；波形越宽，?a,b?t?的频谱向低频段扩展，从而实现了时间-频率窗的自适应调节。
?t???