面积S的大小由基本小波??t?的性质决定，与参数a,b无关。由于时频窗口边长的变化，使得小波变换既满足了信号的不确定性原则，又提高了小波的时间频率分辨率。当a值小时，时频窗的时宽边短，而频宽边长，提高了对信号中高频成分的时间分辨率；当a值大时，时频窗的时宽边长，而频宽边短，提高了对信号中低频成分的频率分辨率。图3.1给出了?a,b?t?的时频窗口随尺度因子变化情况。
?在前面的讨论中已经指出，小波变换的物理本质是滤波器。由上面讨论的频率中心?a,b和频
?宽??可知，小波变换的滤波器的中心频率与带宽的比为常数，称为恒Q滤波器。
a,b???0????0??? aa??图3.2给出了小波变换恒Q滤波器的示意图
3.5 连续小波变换的性质
1>线性
连续小波变换是线性变换，即一个函数的连续小波变换等于该函数的分量的变换和。用公式表示如下：
则
CWT?CWT?CWT
122>时移性
3>时标定理
f?t??CWTa,b f?ct??CWTca,cb
4>微分运算
5>能量守恒
6>冗余度
连续小波变换是把以为信号变换到二维空间f?t??CWTa,b，因此小波变换中存在多余的信息，称为冗余度（Redundancy）。因而小波变换的逆变换公式不是唯一的。从分析小波
?a,b?t??a???角度看，?a,b?t?是一组超完备基函数，它们之间是线性相关的。
a??度量冗余度的量称为再生核K?a1,a2,b1,b2?
????1/2?t?b2??1?1/2?t?b1K?a1,a2,b1,b2??C?a???a2???dt ????a1??a2??12?t?b?再生核就是小波本身的小波变换。
再生核K?a1,a2,b1,b2?度量了小波变换二维空间里两点?a1,b1?与?a2,b2?之间的相关性大小。再生核K作用于小波变换CWTa,b仍得到CWTa,b。
CWTa,b?a?1/2???????0K?a,a`,b,b`?CWTa`,b`db`da`（3.24） 2a`将逆变换公式（3.6）代入式（3.4）即可证明式（3.24）
第四章离散小波变换
连续小波变换中，CWTa,b中的参数a和b都是连续变换的值。实际应用中，信号f?t?是离散序列，a和b也须离散化，成为离散小波变换，记为DWT（Discrete Wavelet Transform）。离散小波变换中的重要问题是是否存在逆变换。讨论这个问题涉及框架（Frame）理论。因此本章先简单介绍函数空间概念和框架理论的一些有关结果，然后介绍离散小波变换、二进小波变换和二进正交小波变换。 4.1 函数空间及框架概念 一函数空间
1. 预希尔伯特（Hilbert）空间
2. 巴纳赫（Banach）空间
3. 希尔伯特（Hilbert）空间
一个预希尔伯特（Hilbert）空间H，在其中定义内积为范数，即v?v,v赋范空间，若该赋范空间是完备的，则称为希尔伯特空间。
希尔伯特空间具有优良的性质，正交性是其中最重要的性质之一。 正交投影：
1/2，H成为一个
二框架概念
关键词：A、B称为框架边界；B为实数，保证f?变换是可逆的。若A=B，则称为紧致框架。
?f,?k?是连续的，常数A>0保证了