石景山区2012—2013学年第一学期期末考试试卷
高三数学（理）
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1．设集合U??1,2,3,4?，A??1,2?,B??2,4?,则（CUA）?B?（ ）
A． ?1,2?
B． ?2，3,4?
Z2Z1C． ?3,4?
D．?1,2,3,4?
2. 若复数Z1?i, Z2?3?i,则
A． ?1?3i
?（ ）
B．2?i C．1?3i D．3?i
????????????3．AC为平行四边形ABCD的一条对角线，AB?(2,4),AC?(1,3),则AD?（ ）
A．(2,4) B．(3,7) C．(1,1) D．(?1,?1)
4. 设m,n是不同的直线，?,?是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若m//?,n??,m?n，则??? B．若m//?,n??,m?n，则?//? C．若m//?,n??,m//n，则?⊥? D．若m//?,n??,m//n，则?//? 开始 5．执行右面的框图，若输出结果为3， 则可输入的实数x值的个数为（ ） A．1 C．3 B．2 D．4 输入x x>2 是 否 y=x-12y=log2x 输出y
6．若从1,2,3,?,9这9个整数中同时取4个
不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（ ） A．60种 C．65种
B．63种 D．66种
7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ） A．
83 B．4 D．
432 2 3 2 1 3 侧（左）视图 C．2
正（主）视图 俯视图 8. 在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为?k?， 即?k???5n?kn?Z?，k?0,1,2,3,4．给出如下四个结论： ① 2013??3?； ② ?2??2?；
③ Z??0?∪?1?∪?2?∪?3?∪?4?；
④ 整数a,b属于同一“类”的充要条件是“a?b??0?”． 其中，正确结论的个数为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
?y?x，?9．已知不等式组?y??x，表示的平面区域S的面积为4，则a? ；
?x?a?若点P(x,y)?S，则z?2x?y 的最大值为 . 10．如右图，从圆O外一点P引圆O的割线PAB和PCD，
PCD过圆心O，已知PA?1,AB?2,PO?3，
B ?
A C O
P
D
则圆O的半径等于 ． 11．在等比数列{an}中，a1=12,a4=-4，则公比q= ；a1+a2+a3+L+an= ．
12． 在?ABC中，若a?2,?B?60?,b?7，则BC边上的高等于 ．
13．已知定点A的坐标为(1,4)，点F是双曲线
x24?y212?1的左焦点，点P是双曲线右支
上的动点，则PF?PA的最小值为 ．
121214. 给出定义：若m?< x?m+ (其中m为整数)，则m叫做离实数x最近的整数，记
作{x}，即{x}=m. 在此基础上给出下列关于函数f(x)=x?{x}的四个命题： ①y=f(x)的定义域是R，值域是(?11,]； 22②点(k,0)是y=f(x)的图像的对称中心，其中k?Z； ③函数y=f(x)的最小正周期为1； ④ 函数y=f(x)在(?13,]上是增函数． 22则上述命题中真命题的序号是 ．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）
已知函数f(x)?sin2x(sinx?cosx)cosx．
（Ⅰ）求f(x)的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求f(x)在区间???????6，?上的最大值和最小值． 4?
16．（本小题共14分）
如图1，在Rt?ABC中，?C?90?，BC?3，AC?6．D、E分别是AC、AB上的点，且DE//BC，将?ADE沿DE折起到?A1DE的位置，使A1D?CD，如图2． （Ⅰ）求证： BC?平面A1DC；
（Ⅱ）若CD?2，求BE与平面A1BC所成角的正弦值； （Ⅲ） 当D点在何处时，A1B的长度最小，并求出最小值．
17．（本小题共13分）
甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为111、、p，且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为. 234A1 A D C D C
E B
图1
E
B
图2
（Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率； （Ⅱ）求p的值；
（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X，求X的分布列和数学期望EX.
18．（本小题共13分）
已知函数f(x)=lnx?ax+1,a?R是常数．
（Ⅰ）求函数y=f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线l的方程； （Ⅱ）证明函数y=f(x)(x?1)的图象在直线l的下方； （Ⅲ）讨论函数y=f(x)零点的个数．
19．（本小题共14分）
已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为l:y=x+m交椭圆于不同的两点A、B．
32，且经过点M(4,1)，直线
（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）若直线l不过点M，求证：直线MA、MB的斜率互为相反数．
20．（本小题共13分）
定义：如果数列{an}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{an}为“三角形”数列．对于“三角形”数列{an}，如果函数y?f(x)使得bn?f(an)仍为一个“三角形”数列，则称y?f(x)是数列{an}的“保三角形函数”(n?N*)．
（Ⅰ）已知{an}是首项为2，公差为1的等差数列，若f(x)?kx(k?1)是数列{an}的
“保三角形函数”，求k的取值范围；
Sn是数列{cn}的前n项和，（Ⅱ）已知数列{cn}的首项为2013，且满足4Sn+1?3Sn?8052，
证明{cn}是“三角形”数列；
（Ⅲ）若g(x)?lgx是（Ⅱ）中数列{cn}的“保三角形函数”，问数列{cn}最多有多少项?
(解题中可用以下数据 :lg2?0.301,lg3?0.477,lg2013?3.304)
石景山区2012—2013学年第一学期期末考试
高三数学（理科）参考答案
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分． 题号 1 2 3 4 答案
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
题号 答案 9 2；6 10 6 5 C 6 A 7 B 8 C B A D C 11 -2；2n-112 -1213 9 14 ①③ (9题、11
题第
332一空2分,第二空3分) 三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）
（Ⅰ）因为cosx?0，所以x?k?+?2,k?Z.
所以函数f(x)的定义域为{x｜x?k?+f(x)?sin2（xsinx?cosx）cosx?2,k?Z} ?????2分
=2xsin2n ?２sinx?six+cx?osxsin2 + ?2sin(x2?4-?) 1 ?????5分
T?? ?????7分
7??????2x-?（Ⅱ）因为??x?，所以- ?????9分 124464???当2x-?时，即x?时，f(x)的最大值为2； ?????11分
444当2x-?4?-?2时，即x???8时，f(x)的最小值为-2+1. ???13分
16．（本小题共14分）
（Ⅰ）证明： 在△ABC中，?C?90?,DE//BC,?AD?DE
?A1D?DE.又A1D?CD,CD?DE?D,?A1D?面BCDE.
由BC?面BCDE,?A1D?BC.
BC?CD,CD?BC?C,?BC?面A1DC. ??????????4分
（Ⅱ）如图,以C为原点，建立空间直角坐标系． ????????5分 D(2,0,0),E(2,2,0),B(0,3,0),A1(2,0,4)．
A1 z 设n?(x,y,z)为平面A1BC的一个法向量，
????????因为CB?(0,3,0),CA1?(2,0,4) 所以??3y?0?2x?4z?0x E D C ，
令x?2，得y=0,z=?1. y B 所以n?(2,0,?1)为平面A1BC的一个法向量． ????????7分 设BE与平面A1BC所成角为?． ????则sin?=cos?BE?n??45?5?45．
45所以BE与平面A1BC所成角的正弦值为（Ⅲ）设D(x,0,0),则A1(x,0,6?x)，
A1B?(x-0)?(0-3)?(6-x-0)222． ???????9分
?22x-12x?45 ???????12分
当x=3时,A1B 的最小值是33．
即D为AC中点时, A1B的长度最小,最小值为33． ???????14分 17．（本小题共13分）
记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件A1,A2,A3，依题意有
P(A1)?12,P(A2)?13,P(A3)?p,且A1,A2,A3相互独立.
（Ⅰ）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为
1?P(A1?A2)?1?12?23?23. ???????3分
（Ⅱ）设“三人中只有甲破译出密码”为事件B，则有
P(B)?P(A1?A2?A3)＝
12?23?(1?p)?1?p3， ???????5分
所以
1?p3?14，p?14. ????????7分
（Ⅲ）X的所有可能取值为0,1,2,3. ????????8分
所以P(X?0)?14，
P(X?1)?P(A1?A2?A3)?P(A1?A2?A3)?P(A1?A2?A3)
?14?12?13?34?12?23?14?1124，
P(X?2)?P(A1?A2?A3)?P(A1?A2?A3)?P(A1?A2?A3)
?12?13?34?12?23?1214??1312??1413??12414?14， P(X?3)=P(A1?A2?A3)＝X分布列为： X P . ????????11分 0 141124 1 112414 2 13 12441312 ????????12分
所以，E(X)?0?2．（本小题共13分） （Ⅰ）f?(x)=1x?a ???????1分
14?1??2??3?124?. ??????13分
f(1)=?a+1，kl=f?(1)=1?a，所以切线 l 的方程为
y?f(1)=kl(x?1)，即y=(1?a)x． ???????3分
（Ⅱ）令F(x)=f(x)?(1-a)x=lnx?x+1，x>0，则
F?(x)=1x?1=1x(1?x)， 解F?(x)=0得x=1.
x F?(x) F(x) (0 , 1) 1 (1 , ??) ?? ↗ 0 最大值 ↘ ???????6分
F(1)<0，所以?x>0且x?1，F(x)<0，f(x)<(1?a)x，
即函数y=f(x)(x?1)的图像在直线 l 的下方． ???????8分
（Ⅲ）令f(x)=lnx?ax+1=0，a= 令 g(x)=lnx+1xlnx+1x)?= .
=?lnxx2，g?(x)=(lnx+1x1?(lnx+1)x2，
则g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+?)上单调递减，
当x=1时，g(x)的最大值为g(1)=1.
所以若a>1，则f(x)无零点；若f(x)有零点，则a?1．??????10分
若a=1，f(x)=lnx?ax+1=0，由（Ⅰ）知f(x)有且仅有一个零点x=1.
若a?0，f(x)=lnx?ax+1单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知f(x)有且仅有一个零点（或：直线y=ax?1与曲线y=lnx有一个交点）.
若0 >0，由幂函数与对数函数单调性比较知，当x充分大时f(x)<0，即f(x)1a,+?)有且仅有一个零点；又因为f(1e)=?ae<0，所以f(x)在单调递 在单调递减区间(1增区间(0，)有且仅有一个零点. a综上所述，当a>1时，f(x)无零点； 当a=1或a?0时，f(x)有且仅有一个零点； 当0 19．（本小题共14分） （Ⅰ）设椭圆的方程为 xa22?16a2yb22?1，因为e?1b2322，所以a?4b， 222又因为M(4,1)，所以 x2??1，解得b?5,a?20， 故椭圆方程为 20?y25x2?1． ???????4分 （Ⅱ）将y?x?m代入 20?y25?1并整理得5x?8mx?4m?20?0， 2222?=(8m)-20(4m-20)>0，解得?5?m?5． ???????7分 （Ⅲ）设直线MA,MB的斜率分别为k1和k2，只要证明k1?k2?0． 设A(x1,y1)，B(x2,y2)， 8m5?则x1?x2??,x1x2?y2?1x2?44m?205?2． ???????9分 k1?k2?y1?1x1?4(y1?1)(x2?4)?(y2?1)(x1?4)(x1?4)(x2?4)分子?(x1?m?1)(x2?4)?(x2?m?1)(x1?4)?2x1x2?(m?5)(x1?x2)?8(m?1)?2(4m?20)52 ?8m(m?5)5?8(m?1)?0所以直线MA、MB的斜率互为相反数． ???????14分20．（本小题共13分） （Ⅰ）显然an?n?1,an?an?1?an?2对任意正整数都成立，即{an}是三角形数列。 因为k?1，显然有f(an)?f(an?1)?f(an?2)??， 由f(an)?f(an?1)?f(an?2)得kn?kn?1?kn?2 1-521?2525解得 所以当k?(1,x1?)时， f(x)?k是数列{an}的保三角形函数. ???????3分 （Ⅱ）由4sn?1?3sn?8052，得4sn?3sn?1?8052， ?3??3cn?0，所以cn?2013???4?n?1两式相减得4cn?1 ???????5分 经检验，此通项公式满足4sn?1?3sn?8052. 显然cn?cn?1?cn?2, （）+2013(）?因为cn?1?cn?2?2013443n3n?12116?2013（34）n?1?cn, 所以{cn}是三角形数列. ???????8分 ?3?（Ⅲ）g(cn)?lg[2013???4?n?1?3?]=lg2013+(n-1)lg??, ?4?所以{g(cn)}单调递减. 由题意知，lg2013+(n-1)lg?由①得（n-1）lg由②得nlg3434?3??>0①且lgcn?1?lgcn?lgcn?2②, 4??>-lg2013，解得n?27.4, >-lg2013，解得n?26.4. 即数列{bn}最多有26项. ???????13分 【注：若有其它解法，请酌情给分．】 ?3?（Ⅲ）g(cn)?lg[2013???4?n?1?3?]=lg2013+(n-1)lg??, ?4?所以{g(cn)}单调递减. 由题意知，lg2013+(n-1)lg?由①得（n-1）lg由②得nlg3434?3??>0①且lgcn?1?lgcn?lgcn?2②, 4??>-lg2013，解得n?27.4, >-lg2013，解得n?26.4. 即数列{bn}最多有26项. ???????13分 【注：若有其它解法，请酌情给分．】