例2.设连续函数变量X的分布函数为
（（
2
1）
）X
X的概落在区间
求
率密度f（（0.3，0.7）的
x概 ： ）; 率。
解（
例2 例2－ （1）
2
）
有
两
种
解
法
：
或者
－1 若
解： 2 若 求x~f(x)
解：
：
例2－3，若
解：
解
：
例（
1
3.）
x≤0
若时
，
f
（
x
）
=0
， ，
（2）0＜x＜1时
（
3
）
1≤x
时 ，
注2.分段函数要分段求导数，分段求积分。 例4.设某种型号电子元件的寿命X（以小时计）具有以下的概率密度。
现有一大批此种元件，（设各元件工作相互独立），问： （1）任取一只，其寿命大于1500小时的概率是多少？
（2）任取四只，四只元件中恰有2只元件的寿命大于1500的概率是多少？
（3）任取四只，四只元件中至少有1只元件的寿命大于1500的概率是多少？
解：（1）
（2）各元件工作相互独立，可看作4重贝努利试验，观察各元件的寿命是否大于1500
小时，令Y表示4个元件中寿命大于1500小时元件个数，则，所求概率为
（
3
）
所
求
概
率
为
3.2 均匀分布与指数分布
以下介绍三种最常用的连续型概率分布，均匀分布、指数分布和正态分布，本小节先介绍前两种。
定义2.若随机变量X的概率密度为
则称X服从区间[a,b]上的均匀分布，
简记为X~U（a,b）
容
易
求
得
其
分
布
函
数
为
均匀分布的概率密度f（x）和分布函数F（x）的图像分别见图2.3和图2.4
均匀分布的概率密度f（x）在[a,b]内取常数 ，即区间长度的倒数。
均匀分布的均匀性是指随机变量X落在区间[a,b]内长度相等的子区间上的概率都是相等的。 均匀分布的概率计算中有一个概率公式。
设
，
则
，则
使用这个公式计算均匀分布的概率很方便，比如，设
例5.公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，乘客在5分钟内任一时刻到达汽车站是等可能的，求乘客候车时间在1到3分钟内的概率。
解：设X表示乘客的侯车时间，则X~U（0,5），其概率密度为
所
求
概
率
为
定义3.若随机变量X的概率密度为
其中λ＞0为常数，则称X服从参数为λ的指数分布，
简记为
其
分
，
布
函
数
为
f（x）和
F（x）的图形分别见图
2.5
和图
2.6
指数分布常被用作各种“寿命”的分布，如电子元件的使用寿命、动物的寿命、电话的通话时间、顾客在某一服和系统接受服务的时间等都可以假定服从指数分布，因而指数分布有着广泛的应用。 例:若某设备的使用寿命X（小时）～E（0.001）求该设备使用寿命超过1000小时的概率。 解：∵λ＝0.001
∴
P
（
1000
＜
X
∴）
＝
P
（
1000
＜
X
＜
+∞
）
＝F（+∞）－F（1000）＝1－｛1－e-1｝=e-1=
（三）正态分布
定义4.若随机变量X的概率密度为
其中μ,σ为常数，－∞＜μ＜+∞，σ＞0，则称X服从参数为μ,σ的正态
2
2
分布，简记为X~N（μ,σ）
f
（
x
）
的
图
形
见
图
2.7
2
自考高数经管类概率论与数理统计课堂笔记
前 言
概率论与数理统计是经管类各专业的基础课，概率论研究随机现象的统计规律性，它是本课程的理论基础，数理统计则从应用角度研究如何处理随机数据，建立有效的统计方法，进行统计推断。 概率论包括随机事件及其概率、随机变量及其概率分布、多维随机变量及其概率分布、随机变量的数字特征及大数定律和中心极限定理。共五章，重点第一、二章，数理统计包括样本与统计量，参数估计和假设检验、回归分析。重点是参数估计。 预备知识 （一）加法原则 引例一，从北京到上海的方法有两类：第一类坐火车，若北京到上海有早、中、晚三班火车分别记作火1、火2、火3，则坐火车的方法有3种；第二类坐飞机，若北京到上海的飞机有早、晚二班飞机，分别记作飞1、飞2。问北京到上海的交通方法共有多少种。 【答疑编号：10000101针对该题提问】 解：从北京到上海的交通方法共有火1、火2、火3、飞1、飞2共5种。它是由第一类的3种方法与第二类的2种方法相加而成。 一般地有下面的加法原则： 办一件事，有m类办法，其中： 第一类办法中有n1种方法； 第二类办法中有n2种方法； …… 第m类办法中有nm种方法；
则
办
这
件
事
共
有
种
方
法
。
（二）乘法原则 引例二，从北京经天津到上海，需分两步到达。 第一步从北京到天津的汽车有早、中、晚三班，记作汽1、汽2、汽3 第二步从天津到上海的飞机有早、晚二班，记作飞1、飞2 问从北京经天津到上海的交通方法有多少种？ 【答疑编号：10000102针对该题提问】 解：从北京经天津到上海的交通方法共有： ①汽1飞1，②汽1飞2，③汽2飞1，④汽2飞2，⑤汽3飞1，⑥汽3飞2。共6种，它是由第一步由北京到天津的3种方法与第二步由天津到上海的2种方法相乘3×2=6生成。 一般地有下面的乘法原则： 办一件事，需分m个步骤进行，其中： 第一步骤的方法有n1种； 第二步骤的方法有n2种； …… 第m步骤的方法有nm种；
则办这件事共有种方法。
（三）排列（数）：从n个不同的元素中，任取其中m个排成与顺序有关的一排的方法数叫排列数，记作 排列数
或
。
如
：
的计算公式为：
例
（四）组合（数）：从n个不同的元素中任取m个组成与顺序无关的一组的方法数叫组
合数，记作
组合数
或。
的计算公式为
例 组合数有性质 （1）
，（2）
如：=45
，（3）
例如： 例一，袋中有8个球，从中任取3个球，求取法有多少种？ 【答疑编号：10000103针对该题提问】 解：任取出三个球与所取3个球顺序无关，故方法数为组合数 （种） 例二，袋中五件不同正品，三件不同次品（√√√√√×××）从中任取3件，求所取3件中有2件正品1件次品的取法有多少种？ 【答疑编号：10000104针对该题提问】 解：第一步在5件正品中取2件，取法有
二
（取（
种，种
） 有 ）
第步在3件次品中1件取法
由乘法原则，取法共有10×3=30（种）
第一章 随机事件与随机事件的概率 §1.1
随机事件
引例一，掷两次硬币，其可能结果有： ｛上上；上下；下上；下下｝ 则出现两次面向相同的事件A与两次面向不同的事件B都是可能出现，也可能不出现的。 引例二，掷一次骰子，其可能结果的点数有： ｛1，2，3，4，5，6｝ 则出现偶数点的事件A，点数≤4的事件B都是可能出现，也可能不出现的事件。 从引例一与引例二可见，有些事件在一次试验中，有可能出现，也可能不出现，即它没有确定性结果，这样的事件，我们叫随机事件。 （一）随机事件：在一次试验中，有可能出现，也可能不出现的事件，叫随机事件，习惯用A、B、C表示随机事件。 由于本课程只讨论随机事件，因此今后我们将随机事件简称事件。 虽然我们不研究在一次试验中，一定会出现的事件或者一定不出现的事件，但是有时在演示过程中要利用它，所以我们也介绍这两种事件。 必然事件：在一次试验中，一定出现的事件，叫必然事件，习惯用Ω表示必然事件。 例如，掷一次骰子，点数≤6的事件一定出现，它是必然事件。 不可能事件：在一次试验中，一定不出现的事件叫不可能事件，而习惯用φ表示不可能事件。 例如，掷一次骰子，点数>6的事件一定不出现，它是不可能事件。 （二）基本（随机）事件 随机试验的每一个可能出现的结果，叫基本随机事件，简称基本事件，也叫样本点，习惯用ω表示基本事件。 例如，掷一次骰子，点数1,2,3,4,5,6分别是基本事件，或叫样本点。 全部基本事件叫基本事件组或叫样本空间，记作Ω，当然Ω是必然事件。 （三）随机事件的关系 （1）事件的包含：若事件A发生则必然导致事件B发生，就说事件B包含事件A，记作。 例如，掷一次骰子，A表示掷出的点数≤2，B表示掷出的点数≤3。∴A=｛1，2｝，B=｛1，2，3｝。 所以A发生则必然导致B发生。 显然有 （2）事件的相等：若，且就记A=B，即A与B相等，事件A等于事件B，表示A与B实际上是同一事件。 （四）事件的运算
（1）和事件：事件A与事件B中至少有一个发生的事件叫事件A与事件B的和事件，记作：
或A+B
例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝；B=｛1，2，3｝ 则和事件A+B=｛1，2，3，5｝
显然有性质
①
②若，则有A+B=B
③A+A=A
（2）积事件：事件A与事件B都发生的事件叫事件A与事件B的积事件，记作：AB或A∩B
例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝；B=｛1，2，3｝，则AB=｛1，3｝ 显然有性质：
①
②若，则有AB=A ③AA=A （3）差事件：事件A发生而且事件B不发生的事件叫事件A与事件B的差事件，记作（A-B） 例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝；B=｛1，2，3｝，则A-B=｛5｝ 显然有性质： ① ②若，则有A-B=Φ ③A-B=A-AB
（4）互不相容事件：若事件A与事件B不能都发生，就说事件A与事件B互不相容（或互斥）即AB=Φ
例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝；B=｛2，4｝ ∴AB=Φ
（5）对立事件：事件A不发生的事件叫事件A的对立事件。记作
质
：
例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝，则
显
然
，
对
立
事①②③
件
有
性
注意：A与B对立，则A与B互不相容，反之不一定成立。 例如在考试中A表示考试成绩为优，B表示考试不及格。A与B互不相容，但不对立。 下面图1.1至图1.6用图形直观的表示事件的关系和运算，其中正方形表示必然事件或样本空间Ω。
图图图
1.11.21.3
表阴阴
示影影
事
部部件
分分
表表
事
示示
件
A A+B AB
图
图
1.5图
1.4
表1.6
阴示阴
影A影
部与部
分B分
表互表
示不示
相
A-B 容
事件的运算有下面的规律：
（1）A+B=B+A，AB=BA叫交换律 （2）（A+B）+C=A+（B+C）叫结合律 （AB）C=A（BC） （3）A（B+C）=AB+AC
（A+B）（A+C）=A+BC叫分配律
（4）
叫对偶律
例1，A，B，C表示三事件，用A，B，C的运算表示以下事件。 （1）A，B，C三事件中，仅事件A发生 【答疑编号：10010101针对该题提问】 （2）A，B，C三事件都发生 【答疑编号：10010102针对该题提问】 （3）A，B，C三事件都不发生 【答疑编号：10010103针对该题提问】 （4）A，B，C三事件不全发生 【答疑编号：10010104针对该题提问】 （5）A，B，C三事件只有一个发生 【答疑编号：10010105针对该题提问】 （6）A，B，C三事件中至少有一个发生 【答疑编号：10010106针对该题提问】
（解
（（（
5：
（234
）
1
）））
）
ABC
（6）A+B+C 例2.某射手射击目标三次：A1表示第1次射中，A2表示第2次射中，A3表示第3次射中。B0表示三次中射中0次，B1表示三次中射中1次，B2表示三次中射中2次，B3表示三次中射中3次，请用A1、A2、A3的运算来表示B0、B1、B2、B3 【答疑编号：10010107针对该题提问】
解（（
：
23
（
））
1
）
从F(x)的图像可知，F(x)是分段函数，y=F(x)的图形阶梯曲线，在X的可能取值-1,0,1,2处为F(x)的跳跃型间断点。
对于离散型随机变量X，它的分布函数F(x)在X的可能值
一般地，
跳 跃，跳跃值恰为该处的概率
处具有
，F(x)的图形是阶梯形曲线，F(x)为分段函数，分
段点仍是。
另一方面，由例2中分布函数的求法及公式（2.2.1）可见，分布函数本质上是一种累计概率。 一般地，若X的分布律是
则
有
X
的
分
布
函
数
为
*****
所公以，
式例
2：
中
X的分布函数
为
（二）分布函数的性质 分布函数有以下基 （1） 由于F(x) =P{X≤x}，所 （2）F(x)是不减函数，即对于任意的
本性质0≤F(x) 以0≤F(x)
有
： ≤1. ≤1.
因为当
时，从
而
F(+∞)=1
，
即
，即
（3）F(-∞)=0，
从此，我们不作严格证明，读者可从分布函数的定义F(x) =P{X≤x}去理解性质（3）。 （4）F(x)右连续，即
证
明
略
。
例其
2 中
设随机变量λ>0
为
常
X数
的分布函数为，
求
常
数
a
与
b
的
值
。
解 又
，由分布函数的性质F(+∞)=1，知a=1；
由
F(x)
的
右
连
续
性
，
得
到
由此，得b= -1.
已知X的分布函数F(x)，我们可以求出下列重要事件的概率：
1°P{X≤b}=F(b). 2°P{a
证 1°∵ ∴ 2°P{a
F(x)=P{X≤x}
F(b)=P{X≤b}
X≤a} (a) F(b)
函数为
求
解例
4
例
求 解
：
求
0-1解
所
5
（
（1
解
分
布
的x
的
分布
函
数 ：
已
知
以
设X～F(x)=a+barctanx(-∞ a与b 2）P(-1 ） ∵ F(-∞)=0 ， F(+∞)=1 得 , （2 ） （ §2.3 连续型随 （一）连续型随机变量及其概率密度 机变量及概率密度 定义 若随机变量X的分布函数为 其中f(t)≥0。 就是说X是连续型随机变量，并且非负函数f(x)是连续型随机变量X的概率密度函数，简称概率密度。 由连续型随机变量及概率密度函数的定义知概率密度有下列性质 （1） （3） （a≤b） （ 2 ） 前面已曾经证明，由于连续型随机变量是在一个区间或几个区间上连续取值，所以它在任何一点上取值的概率为零，即 若X是连续型随机变量则有P(X=x)=0,其中X是任何一个实数。 ∴有 （4）f(x)≥0 证（1）在微积分中已知积分上限的函数 对上限x的导数 它说明分布函数是概率密度的原函数，并且证明连续型随机变量的分布函数F(x)是处处可导函数，所以连续型随机变量的分布函数F(x)处处连续。 因 （ （为 2 3F(x) ） ）是 f(x) ∵ 的 P(a 因此，对连续型随机变量X在区间上取值的概率的求法有两种： （1）若 F(x)已知，则P(a （2）若f(x)已知，则P(a 例 1 设 求 （2） 解（ 而 （ （ 1 ） c ） 时 ， p(x)=0, 2 ） 1 答：试验次数至少4次 例4，某射手射击目标4次，且知道至少击中一次的概率为命中率P。 【答疑编号：10010608针对该题提问】 解：P（至少射中1次）=1-P（射中0次） ，求该射手射击1次的 本章考核内容小结 （一）了解随机事件的概率的概念，会用古典概型的计算公式 计算简单的古典概型的概率 （二）知道事件的四种关系 （1）包含：表示事件A发生则事件B必发生 （2）相等： （3）互斥：与B互斥 （4）对立：A与B对立AB=Φ，且A+B=Ω （三）知道事件的四种运算 （1）事件的和（并）A+B表示A与B中至少有一个发生 性质：（1）若，则A+B=A（2）且（2）事件积（交）AB表示A与B都发生 ，则AB=B∴ΩB=B且 性质：（1）若 （2） （3）事件的差：A-B表示A发生且B不发生 ∴ ，且A-B=A-AB （4） 性质 表示A不发生 （四）运算关系的规律 （1）A+B=B+A，AB=BA叫交换律 （2）（A+B）+C=A+（B+C）叫结合律 （AB）C=A（BC） （3）A（B+C）=AB+AC叫分配律 （A+B）（A+C）=A+BC 叫对偶律 （4） （五）掌握概率的计算公式 （1）P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB） 特别情形①A与B互斥时：P（A+B）=P（A）+P（B） ②A与B独立时：P（A+B）=P（A）+P（B）-P（A）P（B） ③ 推广P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC） （2） 推广： 当事件独立时， P（AB）=P（A）P（B） P（ABC）=P（A）P（B）P（C） P（ABCD）=P（A）P（B）P（C）P（D） 与B，A与 ， 与 均独立 性质若A与B独立 （六）熟记全概率公式的条件和结论 若A1，A2，A3是Ω的划分，则有 简单情形 熟记贝叶斯公式 若 已知，则 （七）熟记贝努利重复试验概型的计算公式 本章作业 教材6-7页，习题1.1 1.（1）（2），2.（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7），4，5.（1）（2），6.（1）（2），7 12-13页，习题1.2 1，2，3，4，5，6，7，8.（1）（2）（3）（4），9，10.（1）（2）（3）（4）（5），11，12，13.（1）（2） 17-18页，习题1.3 2，3，4，5，6，7.（1）（2），8，9，10，11，12，13，14 22-23页，习题1.4 1.（1）（2）（3），2，3，4，5，6，7，8，9.（1）（2），10.（1）（2）（3）（4），11，12 24页自测题全部 第二章 随机变量及其变量分布 §2.1 离散型随机变量 （一）随机变量 引例一：掷骰子。可能结果为Ω={1,2,3,4,5,6}. 我们可以引入变量X,使X=1，表示点数为1；x=2表示点数为2；…，X=6，表示点数为6。 引例二，掷硬币，可能结果为Ω={正，反}. 我们可以引入变量X，使X=0，表示正面，X=1表示反面。 引例三，在灯泡使用寿命的试验中，我们引入变量X，使a 定义1：若变量X取某些值表示随机事件。就说变量X是随机变 量 。 习惯用英文大写字母X,Y,Z表示随机变量。 例如，引例一、二、三中的X都是随机变量。 （二）离散型随机变量及其分布律 定义2 若随机变量X只取有限多个值或可列的无限多个（分散的）值，就说X是离散型随机变量。例如，本节中的引例一、引例二的X是离散型随机变量。 定义3 若随机变量X可能取值为或 且有 （k=1,2,…,n,…） 有 其中，第一行表示X的取值，第二行表示X取相应值的概率。 就 说 公 式 或 （表 k=1,2,…,n,… ） 格 有 ； （ 2 ） 下 列 性 质 是X全部 值 所 。 以 是离散型随机变量x的（概率）分布律，记作 （ 分1 布） 律 由于事件可 反之，若一数列 例 1 设 能 取 互不相容。而且 具有以上两条性质，则它必可以作为某随机变量的分布律。 离 散 型 随 机 变 量 X 的 分 布 律 为 求常数c。 解 由分布律的性质知 1=0.2+c+0.5, 解得c=0.3. 例2 掷一枚质地均匀的骰子，记X为出现的点数，求X的分布律。 解 X的全部可能取值为1,2,3,4,5,6,且 则 X 的 分 布 律 为 在求离散型随机变量的分布律时，首先要找出其所有可能的取值，然后再求 出每个值相应的概率。 例3 袋子中有5个同样大小的球，编号为1，2.，3，4，5。从中同时取出3个球，记X为取出的球的最大编号，求X的分布率。 解 X的取值为3,4,5，由古典概型的概率计算方法，得 （三个球的编号为1,2,3） 成 （有一球编号为4，从1，2，3中任取2个的组合与数字4搭配3 个 ） 则 （有一球编号为5，另两个球的编号小于5） X 的 分 布 律 为 例4 已知一批零件共10个，其中有3个不合格，今任取一个使用，若取到不合格零件，则丢弃掉，再重新抽取一个，如此下去，试求取到合格零件之前取出的不合格零件个数X的分布率。 解 X的取值为0，1，2，3，设表示“第i次取出的零件是不合格的”，利用概率乘法公式可计算，得 故 X 的 分 布 率 为 在实际应用中，有时还要求“X满足某一条件”这样的事件的概率，比如 等，求法就是把满足条件的所对应的概率 如 在 例P{X=1, P{X≤1}= P{X>1}= P{1≤X<2.5}= 例 5 2或中3,，或在求5} 掷 得 奇 数 点 的 概 率 相加可得，， 即 为 ， ， ， ， 分 布 律 为 =P{X=1}+ 例 P{X=3}+ 4 P{X=1}=P{X=3}=P{X=2}= P{X=5}= 中 P{X=0}+ P{X=2}+ P{X=1}+ 若 X 的 求（1）P(X<2), （2）P(X≤2), （3）P(X≥3), （4）P(X>4) 解（1）P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)=0.1+.02=0.3 (2) P(X≤2)= P(X=0)+P(X=1) +P(X=2)=0.1+0.2+0.2=0.5 (3) P(X≥3)= P(X=3)+P(X=4) =0.3+0.2=0.5 (4)∵{x>4}=Φ ∴P{x>4}=0 （三）0-1分布与二项分布 下面，介绍三种重要的常用离散型随机变量，它们是0-1分布、二项分布与泊松分布。 定义4 若随机变量X只取两个可能值：0,1,且P{X=1}=p, P{X=0}=q，其中0 律为 在n重贝努利试验中，每次试验只观察A是否发生，定义随机变量X如下： 因为 ，所以X服从0-1分布。0-1分布 是最简单的分布类，任何只有两种结果的随机现象，比如新生儿是男是女，明天是否下雨，抽查一产品是正品还是次品等，都可用它来描述。 例6 一批产品有1000件，其中有50件次品，从中任取1件，用{X=0}表示取到次品，{X=1}表示取到正品，请写出X的分布律。 解 定义5 若随机变量X的可能取值为0,1,…,n，而X的分布律为 ; 其中 ，则称X服从参数为n,p的二项分布， 简记为X～B（n,p）。 显然，当n=1时，X服从0-1分布，即0-1分布实际上是二项分布的特例。 在n重贝努利试验中，令X为A发生的次数，则 ; 即X服从参数为n,p的二项分布。 二项分布是一种常用分布，如一批产品的不合格率为p，检查n件产品，n件产品中不合格品数X服从二项分布；调查n个人，n个人中的色盲人数Y服从参数为n,p的二项分布，其中p为色盲率；n部机器独立运转，每台机器出故障的概率为p，则n部机器中出故障的机器数Z服从二项分布，在射击问题中，射击n次，每次命中率为p，则命中枪数X服从二项分布。 例7 某特效药的临床有效率为0.95，今有10人服用，问至少有8人治愈的概率是多少？ 解 设X为10人中被治愈的人数，则X～B(10，095)，而所求概率为 ，试求P{Y≥1}. 对 该 题 提 问， 】 即 例8 设X～B（2,p），Y～B（3,p）。设 【解 答 疑 编 号 ：， 10020111知 针 再由 此由 得 可 . 得 例9 考卷中有10道单项选择题，每道题中有4个答案，求某人猜中6题以上的概率。 解： 已知猜中率 ，用X表示猜中的题数 则 在计算涉及二项分布有关事件的概率时，有时计算会很繁，例如n=1000,p=0.005时要 计算就很困难，这就要求寻求近似计 算的方法。下面我们给出一个n很大、p很小时的近似计算公式，这就是著名的二项分布的 泊松逼近。有如下定理。 泊松（Poisson）定理 设λ>0是常数，n是任意正整数，且 ，则对于 任意取定的非负整数k，有 证 明 略 。 由泊松定理，当n很大，p很小时，有近似公式， 其中λ=np. 在实际计算中，当n≥20,p≤0.05时用上述近似公式效果颇佳。 似 例10 一个工厂中生产的产品中废品率为0.005，任取1000件，计算： （1）其中至少有两件是废品的概率； （2）其中不超过5件废品的概率。 解 设X表示任取得1000件产品中的废品中的废品数，则X～B(1000,0.005)。利用近 公式近似计算，λ=1000×0.005=5. （1） （ 2 ） （四）泊松分布 定义6 设随机变量X的可能取值为0,1,…,n,…，而X的 分布律为 p(λ) 其中λ>0，则称X服从参数为λ的泊松分布， 简记为X～ 即若X～p(λ)，则有 例11 设X服从泊松分布，且已知P{X=1}= P{X=2}，求P{X=4}. 解 设X服从参数为λ的泊松分布，则 由 已 知 ， 得 解得λ=2，则 §2.2 随机变量的分布函数 （一）分布函数的概念 对于离散型随机变量X，它的分布律能够完全刻画其统计特性，也可用分布律得到我们关心的事件，如 等事件的概率。而对于非离散型的随机变理， 就无法用分布率来描述它了。首先，我们不能将其可能的取值一一地列举出来，如连续型随机变量的取值可充满数轴上的一个区间(a,b)，甚至是几个区间，也可以是无穷区间。其次，对于连续型随机变量X，取任一指定的实数值x的概率都等于0，即P{X=x}=0。于是，如何刻画一般的随机变量的统计规律成了我们的首要问题。 定义1 设X为随机变量，称函数F(x)=P{X≤x},x∈(-∞,+ ∞) 为X的分布函数。 注意，随机变量的分布函数的定义适应于任意的随机变量，其中也包含了离散型随机变量，即离散型随机变量既有分布律也有分布函数，二者都能完全描述它的统计规律性。 例1 若X的分布律为 求(1)F(1), (2)F(2.1), (3)F(3), (4)F(3.2) 解 由分布函数定义知F(x)=P(X≤x) ∴(1)F(1)=P(X≤1)=P(X=0)+ P(X=1)=0.3 (2)F(2.1)= P(X≤2.1)=P(X=0)+ P(X=1) + P(X=2)=0.6 (3)F(3) = P(X≤3)=P(X=0)+ P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)=0.2+0.1+0.3+0.3=0.9 (4)F(3.2)= P(X≤3.2)=1- P(X>3.2)=1- P(X=4) =1-0.1=0.9 例2 设离散型随机变量X的分布律为 求X的分布函数 【答疑编号：10020205针对该题提问】 解 当x<-1时，F(x)=P{X≤x}=P(X<-1)=0 当-1≤x<0时，F(x)=P{X≤x}=P{X= -1}=0.2 当0≤x<1时，F(x)=P{X≤x}=P{X= -1}+ P{X=0}=0.2+0.1=0.3 当1≤x<2时，F(x)=P{X≤x}=P{X= -1}+ P{X=0}+ P{X=1}=0.2+0.1+0.3=0.6 当x≥2时，F(x)=P{X≤x}=P{X= -1}+ P{X=0}+ P{X=1}+ P{X=2}=0.2+0.1+0.3+0.4=1 则X的分布函数F(x)为 F(x) 的 图象见图2.1 。