2014年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
数学（文科）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z满足z(1?i)?2i（i为虚数单位），则|z|=（ ）
A.1 B.2 C.2 D.3 【答案】C 【解析】：设Z=a+bi
则(a+bi)( 1+i)=2i| (a-b)( a+b)i=2i a-b=0 a+b=2 解得 a=1 b=1 Z=1+1i Z=1?1i=22
2.设全集为R，集合A?{x|x?9?0},B?{x|?1?x?5}，则A?(CRB)?( )
A.(?3,0) B.(?3,?1) C.(?3,?1] D.(?3,3)
【答案】C
【解析】 A?{x|?3?x?3},B?{x|?1?x?5}，所以A?(CRB)?x?3?x??1 3．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（ ）
??A.1111 B. C. D. 189612【答案】B
【解析】点数之和为5的基本事件有：（1,4）（4,1）（2,3）（3,2），所以概率为4
=1
369?a?2x,x?0(a?R)，若f[f(?1)]?1，则a?（ ） 4. 已知函数f(x)???x?2,x?011A. B. C.1 D.2 42【答案】A
【解析】f(?1)?2，f(2)?4a，所以f[f(?1)]?4a?1解得a?1 42sin2B?sin2A5.在在?ABC中，内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,，若3a?2b，则的
sin2A值为（ ）
117A.? B. C.1 D.
932【答案】D
2sin2B?sin2A2b2?a27?b??3?【解析】 ??2?1?2?1?????22sinAa2?a??2?6.下列叙述中正确的是（ ）
22A.若a,b,c?R，则\ax2?bx?c?0\的充分条件是\b2?4ac?0\ B.若a,b,c?R，则\ab2?cb2\的充要条件是\a?c\
C.命题“对任意x?R，有x2?0”的否定是“存在x?R，有x2?0” D.l是一条直线，?,?是两个不同的平面，若l??,l??，则?//?
【答案】D
【解析】当a?0时，A是正确的；当b?0时，B是错误的；命题“对任意x?R，有x2?0”的否定是“存在x?R，有x2?0”，所以C是错误的。所以选择D。
7.某人研究中学生的性别与成绩、学科 网视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，泽宇性别有关联的可能性最大的变量是（ ）
A.成绩 B.视力 C.智商 D.阅读量
【答案】D
52??6?22?14?10?52?82?【解析】??，
16?36?20?3216?36?20?32212
?2252??16?5?16?12?52??16?7?，??16?36?20?3216?36?20?32222252??24?8?8?12?52??12?8?，?32??16?36?20?3216?36?20?32?42
52??14?30?2?6?52??68?6?。分析判断?42最大，所以选择D。 ??16?36?20?3216?36?20?32228.阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）
A.7 B.9 C.10 D.11 【答案】B
【解析】当i?1时，S?0?lg1??lg3>-1, 33i?1?2?3,S??lg3?lg??lg5>-1,
55i?3?2?5,S??lg5?lg??lg7>-1
77i?5?2?7,S??lg7?lg??lg9>-1
99i?7?2?9,S??lg9?lg??lg11<-1
11所以输出i?9
x2y29.过双曲线C：2?2?1的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A.若以C的右焦
ab点为圆心、半径为4的圆经过A、O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（ ）
x2y2x2y2x2y2x2y2??1 B.??1 C.??1 D.??1 A.
4127988124【答案】A
【解析】以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过坐标原点O，则c=4.且CA?4.设右顶点为B?a,0?，C?a,b?，Q?ABC为Rt?,?BA2?BC2?AC2,??4?a??b2?16,又
2x2y2?1。 Qa?b?c?16。得16?8a?0,a?2,a?4,b?12,所以双曲线方程?41222222210.在同一直角坐标系中，函数y?ax?x?a与y?a2x3?2ax2?x?a(a?R)的图像不可2能的是（ ）
【答案】B
【解析】当a?0时，D符合；当a?0时，函数y?ax2?x?a1的对称轴为x?，对函数22ay?a2x3?2ax2?x?a，求导得y'?3a2x2?4ax?1??3ax?1??ax?1?，令y'?0,x1?11111介于两个极值点x1?,x2?.所以对称轴x?,x2?，之间，所以B
3aa2a3aa是错误的。所以选择B。
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11.若曲线y?xlnx上点P处的切线平行于直线2x?y?1?0,则点P的坐标是_______. 【答案】(e,e)
【解析】y?1?lnx?x?1?lnx?1 x 切线斜率K=2 则lnx0?1?2，lnx0?1 ，?x0?e ?f?x0??e 所以 P(e,e)
12.已知单位向量e1,e2的夹角为?,且cos??【答案】3
2【解析】a?a??3e1?2e2???3e1???2e2??12e1?e2?9?4?12cos??9
??????1,若向量a?3e1?2e2,则|a|?_______. 3????2???2?22
解得a?3
13. 在等差数列?an?中，a1?7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n?8时Sn取最大值，
则d的取值范围_________. 【答案】?1?d??7 8【解析】 因为a1?7?0，当且仅当n?8时Sn取最大值，可知d?0且同时满足
a8?0,a9?0，
?a8?7?7d?07所以，?，易得?1?d??
8?a9?7?8d?0x2y214. 设椭圆C:2?2?1?a?b?0?的左右焦点为F1，F2，作F2作x轴的垂线与C交于
ab A，B两点，F1B与y轴交于点D，若AD?F1B，则椭圆C的离心率等于________.
【答案】 3 32b2【解析】 因为AB为椭圆的通径，所以AB?，则由椭圆的定义可知：
ab2AF1?2a? ，
a2b2b2b22c又因为AD?F1B，则AF1?AB，即?2a?，得2?，又离心率e?，结合
aaa3aa2?b2?c2
得到：e?3 3
15. x，y?R，若x?y?x?1?y?1?2，则x?y的取值范围为__________.
【答案】0?x?y?2
【解析】?x?x?1?1 y?y?1?1
要使x?x?1?y?y?1?2
只能x?x?1?y?y?1?2
x?x?1?1 y?y?1?1
?0?x?1 0?y?1
? 0?x?y?2
三、解答题：本大题共6小题，学 科网共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）
已知函数f?x??a?2cosxcos?2x???为奇函数，且f?2???????0，其中 ?4?a?R，???0，??.
（1）求a，?的值；
（2）若f?2?????????，求??，??，?sin???????的值.
53??4??2?????????a?1cos??????????a?1?sin??0 42????【解析】解;(1)f???,?sin??0,?a?1?0,?a??1??????????????2分 Q???0，Q函数f?x???a?2cos2x?cos?2x???为奇函数
?f?0???a?2?cos??cos??0??????????????4分
????2??????????????5分
(2)有（1）得f?x???1?2cos7分
?2cos2x????x?cos2nsi2????2??nsi4xgx??12x??????
412???Qf????sin??? ?sin????????????????8分
525?4?3???Q???，??，?cos?????????????????10分
5?2?????41334?33???????????sin?????sin?cos?cos?sin?????3?33525210??12分
17. （本小题满分12分）
3n2?n已知数列?an?的前n项和Sn?，n?N?.
2（1）求数列?an?的通项公式；
am成等比数列. （2）证明：对任意n?1，都有m?N?，使得a1，an，解析：（1）当n?1时a1?S1?1 当n?2时 an?Sn?Sn?1 检验 当n?1时a1?1 ?an?3n?2
3n2?n3?n?1??n?1???3n?2
222（2）使a1，an，am成等比数列. 则an2=a1am
??3n?2?=3m?2
2 即满足3m??3n?2??2?9n2?12n?6 所以m?3n2?4n?2
则对任意n?1，都有3n2?4n?2?N?
2am成等比数列. 所以对任意n?1，都有m?N?，使得a1，an，
18.（本小题满分12分）
已知函数f(x)?(4x2?4ax?a2)x，其中a?0. （1）当a??4时，求f(x)的单调递增区间; （2）若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8，求a的值. 【解析】解:（1）当a??4时，f?x???2x?4?2x?2?x?2?2x，
f?x?的定义域为?0,??? f'?x??4?x?2?x?令f'?x?2?x2=?x?2??5x?2? x?x??0得0?x?2,x?2 5所以当a??4时，f(x)的单调递增区间为?0,（2)f?x???2x?a?2?2?+?? ?和?2，5??x
2f'?x??2?2x?a?令f'?2x?a?x?2x??2x?a??10x?a?
2x?x??0，得x1??aa,x2?? 210Qa?0，?x1?x2?0
所以，在区间?0,-??a??a?'?,?-,???上，f?x??0，f(x)的单调递增； 10??2?在区间?-?aa?,-?上，f'?x??0，f(x)的单调递减； ?102?2又易知f?x???2x?a?①当??a?x?0，且f????0
?2?a?1时，即?2?a?0时，f(x)在区间[1,4]上的最小值为f?1?，由2f?1??4?4a?a2=8，得a??2?22,均不符合题意。
?a?af????0②当1???4时，即?8?a??2时，f(x)在区间[1,4]上的最小值为?2?，不符
2
合题意 ③当?a?4时，即a??8时，f(x)在区间[1,4]上的最小值可能为x?1或x?4处取到，而2f?1??8，
f?4??2(64?16a?a2)?8，得a??10或a??6（舍去），当a??10时，f(x)在区间[1,4]上单调递减，f(x)在区间[1,4]上的最小值f?4??8符合题意， 综上，a??10
19.（本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1?BC,A1B?BB1.
（1）求证：
；
（2）若AB?2,AC?3,BC?7，问AA1为何值时，三棱
柱ABC?A1B1C1体积最大，并求此最大值。 19.（1）证明：三棱柱ABC?A1B1C1中，
?AA1?BC ?BB1?BC，
又BB1?A1B
且
BC?A1B?C
?BB1?面BCA1，
又BB1∥CC1
?CC1?面BCA1，
又?AC1?面BCA1，
，所以AC?CC1.(4分) 1（2）设AA1?x，在Rt△A1BB1中，AB=A1B1-BB1=4?x 同理，A1C=AC11?CC1?3?x,在△A1BC中
2A1B2?AC?BC2x21 cos?BA1C= ??，222A1B?AC(4?x)(3?x)12222212?7x2 sin?BA1C=，（6分） 22(4?x)(3?x) 所以S△A1BC112?7x2?A1B?ACsin?BA1C?，（7分） 1?22x12?7x2 从而三棱柱ABC?A1B1C1的体积V?S?l?S△A1BC?AA1?(8分)
2（x-）+ 因x12?7x=12x?7x=-7224267236（10分） 7 故当x=424237即AA1=体积V取到最大值（12分） 时，时，777试题分析：本题第一小问考查了立体几何空间垂直关系，属于容易题，大部分考生可以轻松
解决，第二小问考查了棱柱体积的求法并且与解三角形和二次函数结合考查最值问题，有一定的综合性，属于中档题，解决该类问题关键在于合适的引入变量，建立函数模型，另外在计算过程中应谨慎小心，避免粗心。 20.（本小题满分13分 ） 如图，已知抛物线C:x2?4y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于A,B两点，过点B作
y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）.
（1）证明：动点D在定直线上；
（2）作C的任意一条切线l（不含x轴）与直线y交于点N2，证明：|MN2?2相交于点N1，与（1）中的定直线相
|2?|MN1|2为定值，并求此定值.
20（1）解：根据题意可设AB方程为y=kx+2,代入x=4y，得x2=4， （kx+2） 即x2-4kx-8=0，设A，B，则有：x1x2=-8，（2分） （x1，y1）（x2，y2）2?x=x2y? 直线AO的方程为y=1x；BD的方程为x=x2，解得交点D的坐标为?y1x2
y=x1?x1?（4分）
，注意到x1x2=-8及x12=4y1，则有y=
y1x1x2-8y1==-2，（5分） x124y1 因此D点在定直线y=-2上（x?2）（6分）
（2）依据题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y=ax+b(a?0) 代入x=4y得x2=4,即x2-4ax-4b=0，由?=0得16a?16b?0, （ax+b） 化简整理得b??a2，（8分）
故切线l的方程可写为y?ax?a.分别令y=2、y=-2得
22222N1,N2的坐标为N1(?a,2),N2(??a,?2)，（11分）
aa2222则MN2?MN1?(?a)2?42?(?a)2?8,
aa即MN2?MN1为定值8.（13分）
试题分析：本题考查了直线与抛物线的位置关系，对学生的分析和转化能力要求较高，解决
该类问题应抓住问题的实质，充分合理的运用已知条件是解决该题的关键。
22
21.（本小题满分14分）
将连续正整数1,2,?,n(n?N*)从小到大排列构成一个数123?n，F(n)为这个数的位数（如n?12时，此数为123456789101112，共有15个数字，f(12)?15），现从这个数
p(n)为恰好取到0的概率.
中随机取一个数字，（1）求
p(100)；
（2）当n?2014时，求F(n)的表达式；
（3）令g(n)为这个数字0的个数，f(n)为这个数中数字9的个数，h(n)?f(n)?g(n)，
S?{n|h(n)?1,n?100,n?N*}，求当n?S时p(n)的最大值.
21.解：（1）当n=100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取
到0的概率为p（100）=
11;（2分） 192?n,1?n?9,?2n?9,10?n?99,?(2)F(n)??（5分）
?3n?108,100?n?999,??4n?1107,1000?n?2014.（3）当n=b（1?b?9，b?N+）,g(n)=0；
当n=10k+b(1?k?9,0?b?9,k?N?,b?N)时，g(n)=k;
?0,1?n?9,? n=100时g(n)=11，即g(n)??k,n?10k?b,1?k?9,0?b?9,k?N?,b?N,（8分）
?11,n?100??0,1?n?8,?k,n?10k?b,1?k?9,0?b?9,k?Nb?N,??,同理有f(n)??（10分）
?n?80,89?n?98,??20,n?99,100由h（n）=f（n）-g（n）=1，可知n=9,19,29,29,49,59,69,79,89,90 所以当n?100时，S=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90当n=9时，p（9）=0，
??（11分）
当n=90，p（90）=
g(90)1=
F(90)19g(n)kk（13分） ??F(n)2n?920k?9当n=10k+9（1?k?8,k?N?,）时，p（n）=由y=
k关于k单调递增，故当当n=10k+9（1?k?8,k?N?,）时，
20k?98811P（n）的最大值为p（89）=，又＜,所以最大植为.（14分）
1691691919试题分析：本题为信息题，也是本卷的压轴题，考查学生认识问题、分析问题、解决问题的
能力，本题的命题新颖，对学生能力要求较高，难度较大，解决本题的关键首先
在于审清题意，搞清楚F(n)、p（n）的含义，这样就可以解决前两问，同时为第三问做好铺垫，第三问在前两问的基础上再加以深入，考查学生综合分析问题的能力。本题由易到难，层层深入，是一道难得的好题.