重庆三峡学院 2012 至 2013 学年度第 二 期 高等数学II 课程期末考试 B层A卷 参考答案及评分标准
试题使用对象： 全校工科各院 系 2012 级 工科各专业 专业 班(本科)
一、 填空题（本题共15分，共5小题，每题各3分） 1、（3，-4，-7） 2、
x?2y?1z?34?? 3、4?x2?y2?81 4、? 5、?a3 3?573二、 单项选择题（本题共15分，共5小题，每题各3分） 1、B 2、D 3、D 4、B 5、A
三、 计算下列各题（本题共18分，共3小题，每题各6分）
1． 解：
?z?cosv?xsinv?3x2?9x2?ev?3x2……………………………（1分） ?x?cosv?3x3sinv?3x2ev?9x2………………………………………………（1分）
?cos(x3?y3)?3x3sin(x3?y3)?3x2e(x?y)?9x2；………………………（1分）
?z??xsinv?3y2?ev?3y2………………………………………………（1分） ?y33?3y2ev?3xy2sinv…………………………………………………………（1分）
?3y2e(x?y)?3xy2sin(x3?y3).………………………………………………（1分）
2． 解：积分区域可以表示为D? ?1?y?2? y2?x?y?2? ……………………………（1分）
于是
233??xyd???dy?D?12y?2y2xydx………………………………………………（1分）
2x?2??[y]ydy………………………………………………………………（1分） y2?1221??[y(y?2)2?y5]dy………………………………………………………（1分） 2?11?y443y6?52???y?2y???5.………………………………………………（1分） 2?436??18画出积分区域1分
2高等数学II考试试题B层A卷答案 共4页 第1页 教务处制
?x?y2,y从0单调地变到2，…………………（1分） 3． 解：曲线L的方程为??y?y所以
2?L(x2?y2)dx?xydy=?[(y4-y2)?2y?y2?y?1]dy…………（3分）
02??(2y5-y3)dy…………………………………………………………（1分）
0262452???………………………………………………………………（1分） 343四、 计算下列各题（本题共30分，共3小题，每题各10分）
1． 解: 设长方体的棱长分别为x,y,z. 则x?y?z?3l，………………（2分）
目标函数 V?xyz………………………………………………………（2分） 令 L?xyz???x?y?z?3l?…………………………………………（2分）
?Lx?yz???0??Ly?xz???0由? ?Lz?xy???0??L???x?y?z?3l??0解得
x?y?z?l（唯一驻点）…………………………………………（3分）
3由实际问题知长方体体积的最大体积一定存在，因此V?l,l,l??l即为所求. ………（1分）
2． 解：在柱面坐标系下各的变量的变化范围
?0???2cos???，………………………………………………………………（2分） ?0???2?0?z?a?原式=
????π20?z?d?d?dz??zdz?d??02aπ202cos?0?2d?………………………（5分）
4a2?38cos3?d??a2………………………………………………（3分）
93． 解：这里P?x? Q?y? R?z? ………………………………………………………(2分)
高等数学II考试试题B层A卷答案 共4页 第2页 教务处制
?P?Q?R?1,?1,?1?………………………………………(2分) ?x?y?z由高斯公式? 有
??xdydz?ydzdx?zdxdy????3dxdydz……………………………(4分)
??4 ?3???dxdydz?3??a3?4?a3.……………………………………(2分)
3?五、 应用题[注意：非机械工程学院的学生只做第1题，机械工程学院的学
生只做第2题]（本题共10分，共1小题，每题各10分）
n?1?1，R=1，………………………………………………………(2分) limnn???1． 解：???1(?1)n当x=-1时，?收敛；当x=1时?发散，∴收敛域为[?1,1)……………(2分)
nn?1nn?1xn设S(x)??，则
nn?1??xn???n?11，……………………………………………(2分) S?(x)??????x?1?xn?1?n?n?1xdtx??ln(1?x)，………………………………………(2分) S(x)??S?(t)dt??01?t0??11?1?111令x?，???????51?52?523?53n?1n?5?n?ln5………………………(2分) 42． 解：将f ( x )延拓成奇函数，于是有an=0，而…………………………………(1分)
bn??2???02?cosnx?…………………(3分) f(x)sinnxdx??1?sinnxdx????0???n?0?2?22[?cosn??1]?[1?(?1)n]………………………………………(1分) n?n?……………………………………………………………(1分)
?4?,n?1,3,5,??n???0,n?2,4,6,于是所求正弦级数为
高等数学II考试试题B层A卷答案 共4页 第3页 教务处制
f(x)?4?1sinx?sin3x????3?1sin(2k?1)x?2k?1???.……………(2分)
(0?x??).?0,x?0,?其和函数为f(x)??1,0?x??.……………………………………………(2分)
?0,x???六、 证明题（本题共12分，共2小题，每题各6分）
?0?x?2y，…(1分) f(x,y)dx得区域D1：??0?y?1y31．证明：由
?10dy?2y0由
?31dy?3?y0?0?x?3?y…………(1分) f(x,y)dx得区域D2：?1?y?3?2而D1与D2正好有公共线段y?1(0?x?2)，合并D1与D2后的
1y?x? = x2?x??y?3?x区域D为?2……(2分)
??0?x?2于是
y?x? = 3-x0123x?10dy?2y0f(x,y)dx+?dy?133?y0f(x,y)dx=?dx?x023?xf(x,y)dy.………………(1分)
2图形1分。
x2．解：由u??(u)??yP(t)dt两边分别对x、y求导得
?u?u?u?u???(u)??P(x)，???(u)??P(y)……………………………………………(1分) ?x?x?y?y解得
?uP(x)?u?P(y)??，，……………………………………………………………(1分) ?x1???(u)?y1???(u)?z?uP(x)?z?u?P(y)?f?(u)??f?(u)??f?(u)??f?(u)?，，………(2分) ?x?x1???(u)?y?y1???(u)再由z=f(u)得
左边=P(y)?z?zP(x)?P(y)?P(x)?P(y)f?(u)??P(x)f?(u)??0=右边. ……………(1分) ?x?y1???(u)1???(u)高等数学II考试试题B层A卷答案 共4页 第4页 教务处制