四、曲线运动 万有引力
教学目标
1．通过讨论、归纳：
（1）明确形成曲线运动的条件（落实到平抛运动和匀速圆周运动）； （2）熟悉平抛运动的分解方法及运动规律：理解匀速圆周运动的线速度、角速度、向心加速度的概念并记住相应的关系式；
mm（3）知道万有引力定律及公式F=G122的适用条件
r2．通过例题的分析，探究解决有关平抛运动、匀速圆周运动实际问题的基本思路和方法，并注意到相关物理知识的综合运用，以提高学生的综合能力．
教学重点、难点分析
1．本节的重点是引导学生归纳、总结平抛运动和匀速圆周运动的特点及规律．
2．本节描述物理规律的公式较多，理解、记忆并灵活运用这些规律是难点．必须充分发挥学生的主体作用，在学生自己复习的基础上，交流“理解、记忆诸多公式的方法、技巧”，是解决这一难点的重要手段之一．
教学过程设计
课前要求学生对本节知识的主要内容进行复习． 教师活动
1．引导、提出课题：物体在什么条件下做曲线运动？请举例说明．（必要时，提示学生不要局限于力学范围）
学生活动
分组讨论，代表发言：当物体受到的合外力的方向跟速度方向不在一条直线上时，物体将做曲线运动．
例如：物体的初速度不沿竖直方向且只受重力作用，物体将做斜抛或平抛运动．（如果将重力换成恒定的电场力，或者除重力外还受到电场力，但它们的合力跟初速度的方向不在一条直线上，物体的运动轨迹也是抛物线．通常称为类斜抛运动、类平抛运动．）
当物体受到的合力大小恒定而方向总跟速度的方向垂直，则物体将做匀速率圆周运动．（这里的合力可以是万有引力——卫星的运动、库仑力——电子绕核旋转、洛仑兹力——带电粒子在匀强磁场中的偏转、弹力——绳拴着的物体在光滑水平面上绕绳的一端旋转、重力与弹力的合力——锥摆、静摩擦力——水平转盘上的物体等．）
如果物体受到约束，只能沿圆形轨道运动，而速率不断变化——如小球沿离心轨道运动，是变速率圆周运动．合力的方向并不总跟速度方向垂直．
此外，还有其它的曲线运动．如：正交电磁场中带电粒子的运动——轨迹既不是圆也不是抛物线，而是摆线；非匀强电场中带电粒子的曲线运动等．
用心 爱心 专心
在各种各样的曲线运动中，平抛运动和匀速圆周运动是最基本、最重要的运动，我们应该牢牢掌握它们的运动规律．
2．问：怎样获得平抛的初速度呢？
答：水平力对物体做功（给物体施加水平冲量）；物体从水平运动的载体上脱离．
3．问：如何描述平抛运动的规律？
答：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．
位移公式：
12?x?vt;y?gt0?2? ?ygt?s?x2?y2;??arctan?arctan?x2v0?速度公式： ?vx?v0;vy?gt?vy?gt 22v?v?v;??arctan?arctanxy?tvxv0?4．问：向心加速度有几种表达式？各适用于什么情况？ 答：适用于匀速圆周运动和非匀速圆周运动的公式有：
v2an?；an?r?2；an?v??
r只适用于匀速圆周运动的公式有：
4?2an?2r；an?4?2?n2?r
T[小结]前三个公式是用瞬时量线速度v和角速度ω表示的，因而是普遍适用的．周期T和转速n不是瞬时量，后两个公式只适用于匀速圆周运动．
5．问：请叙述万有引力定律的内容．
答：任何两个物体之间都存在相互吸引的力．引力的大小跟两个物体质量的乘积成正比，跟它们之间距离的二次方成反比．
mm6、问：公式F=G122在什么情况下适用？
rmm
答：公式F=G122只适用于质点或质量分布均匀的球体，式中r是质点间
r
或球心间的距离．
7．问：解决天体（或人造卫星、飞船）做匀速圆周运动问题的主要依据是什么？
答：向心力由万有引力提供．即：F引=F向=man． 其中，an应根据具体情况选用不同的表达式．
用心 爱心 专心
8．请演算下题：质量为m=1000kg的人造卫星从位于地球赤道的卫星发射场发射到离地高为h=R0=6400km的轨道上环绕地球做匀速圆周运动．求：发射前卫星随地球自转的线速度和所需要的向心力；卫星在轨道上运行时的线速度和受到的向心力．
从演算的结果可以得出什么结论？ 学生演算．演算结果：
在地面上，v0=0.465km/s；F0=33.8N； 在轨道上，v=5.585km/s；F=2450N．
在地面上，物体随地球自转的向心力F0远小于地球对物体的引力．所以，一般计算可以不考虑地球自转的影响，而认为重力等于引力．物体随地球自转的线速度v0远小于卫星在地面附近环绕地球运行的速度——第一宇宙速度（7.9km/s）．
在轨道上，向心力等于引力．卫星的线速度随轨道半径的增大而减
小．（动能虽然小了，势能却增大了，所以卫星在较高的轨道上运行需要有更大的机械能．）
例题分析
[例1]宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L．若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为3L.，已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G．求该星球的质量M．
分析与解：
这是一道典型的综合运用平抛运动规律和万有引力定律的题．应该注意两点：（1）“抛出点与落地点之间的距离”不是“水平射程”；
Mm（2）“重力加速度”不是地面上的g=9.8m/s2，而应根据mg=g2求出g=G
RM。，由于抛出点的高度不变，所以两次运动的时间相同，竖直位移均等于R21y=gt2；水平位移分别为x1=x和x2=2x，由平抛运动的位移公式得到 2L2=x2+y2 (3L)2?(2x)2?y2
1解得y?
3L1M??G2?t2 所以
R3223LR2M? 23Gt[例2]如图1-4-1所示，用细绳一端系着的质量为M=0.6kg的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m=0.3kg的小球
用心 爱心 专心
B，A的重心到O点的距离为0.2m．若A与转盘间的最大静摩擦力为f=2N，为使小
2
球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围．（取g=10m/s）
分析与解：
要使B静止，A必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度．A需要的向心力由绳拉力和静摩擦力合成．角速度取最大值时，A有离心趋势，静摩擦力指向圆心O；角速度取最小值时，A有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心O．
对于B，T=mg
2对于A，T?f?Mr?12，T?f?Mr?2
[例3]一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多）．在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）．A球的质量为m1，B球的质量为m2．它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0．设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1、m2、R与v0应满足的关系式是______．
分析与解：
这是一道综合运用牛顿运动定律、圆周运动、机械能守恒定律的高考题． A球通过圆管最低点时，圆管对球的压力竖直向上，所以球对圆管的压力竖直向下．若要此时两球作用于圆管的合力为零，B球对圆管的压力一定是竖直向上的，所以圆管对B球的压力一定是竖直向下的．
由机械能守恒定律，B球通过圆管最高点时的速度v满足方程 112m2v2?m2g?2R?m2v0 （1） 22根据牛顿运动定律
2v0对于A球 N1?m1g?m1 （2）
Rv2对于B球 N2?m2g?m2 （3）
R2v0解得 (m1?m2)?(m1?5m2)g?0
R用心 爱心 专心
[例4]质量为m的小球，由长为l的细线系住，细线的另一端固定在A点，ABL是过A的竖直线，E为AB上的一点，且AE=,过E作水平线EF，在EF上钉一铁钉
2D，如图1-4-2所示．若线能承受的最大拉力是9mg，现将悬线拉至水平，然后由静止释放，若小球能绕钉子在竖直平面内做圆周运动，求钉子位置在水平线上的取值范围．不计线与钉碰撞时的能量损失．
分析与解：
L设ED=x，则细线碰到钉子后，做圆周运动的半径r=L－x2?()2，此半
2径必须满足两个临界条件
小球通过该圆的最低点时， 细线拉力F≤9mg （1）
小球通过该圆的最高点时，
小球的速度v/≥rg （2）
1L根据机械能守恒定律，mv2?mg(?r) （3）
221Lmv/2?mg(?r) （4） 22v2由牛顿运动定律，F?mg?m （5）
rLLL联立解（1）、（3）、（5）得r≥，即L?x2?()2≥，
6622L所以x≤
3用心 爱心 专心
联立解（2）、（4）得r≤故x的取值范围是
LLL7，即1?x2?()2≤，所以x≥L 336227L≥x≥L 36[例5]如图1-4-4所示，在XOZ（Z轴与纸面垂直）平面的上、下方，分别有磁感应强度为B1、B2的匀强磁场．已知B2=3B1，磁场方向沿Z轴指向纸外．今有一质量为m、带电量为q的带正电的粒子，自坐标原点O出发，在XOY平面（纸面）内，沿与X轴成30°方向，以初速度v0射入磁场．问：
（1）粒子从O点射出到第一次通过X轴，经历的时间是多少？并确定粒子第一次通过X轴的点的坐标．
（2）粒子从O点射出到第六次通过X轴，粒子沿X轴方向的平均速度是多少？并画出粒子运动的轨迹示意图．
分析与解：
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的圆心位置，可根据几何知识确定．
如右图1-4-5所示，粒子从O点出发，在磁场B1中顺时针绕行60°弧，第一次通过X轴的位置在X轴上的P点，圆心在O1点，半径为R1：
mv0v2?m（1）B1qv0?m，所以半径R1?，周期T1?，因为
qB1qB1R1T?πm?OO1P?600?，所以OP?R1，从O到P点的时间t1?1?
663qB1mvP点坐标为（0,0,0)
qB120用心 爱心 专心
联立解（2）、（4）得r≤故x的取值范围是
LLL7，即1?x2?()2≤，所以x≥L 336227L≥x≥L 36[例5]如图1-4-4所示，在XOZ（Z轴与纸面垂直）平面的上、下方，分别有磁感应强度为B1、B2的匀强磁场．已知B2=3B1，磁场方向沿Z轴指向纸外．今有一质量为m、带电量为q的带正电的粒子，自坐标原点O出发，在XOY平面（纸面）内，沿与X轴成30°方向，以初速度v0射入磁场．问：
（1）粒子从O点射出到第一次通过X轴，经历的时间是多少？并确定粒子第一次通过X轴的点的坐标．
（2）粒子从O点射出到第六次通过X轴，粒子沿X轴方向的平均速度是多少？并画出粒子运动的轨迹示意图．
分析与解：
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的圆心位置，可根据几何知识确定．
如右图1-4-5所示，粒子从O点出发，在磁场B1中顺时针绕行60°弧，第一次通过X轴的位置在X轴上的P点，圆心在O1点，半径为R1：
mv0v2?m（1）B1qv0?m，所以半径R1?，周期T1?，因为
qB1qB1R1T?πm?OO1P?600?，所以OP?R1，从O到P点的时间t1?1?
663qB1mvP点坐标为（0,0,0)
qB120用心 爱心 专心