2013年初二升初三
暑 期 补 习 教 材
2013年07月 （数学）
暑期专用教材
1 页 共75页，第
第一讲 一元二次方程
【学习目标】
1、学会根据具体问题列出一元二次方程，培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。 2、了解一元二次方程的解或近似解。
3、增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。
【知识要点】
1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为ax2?bx?c?0（a、b、
c、为常数，a?0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
（1）定义解释：①一元二次方程是一个整式方程；②只含有一个未知数；③并且未知数的最高次数
是2。这三个条件必须同时满足，缺一不可。
（2）ax2?bx?c?0（a、b、c、为常数，a?0）叫一元二次方程的一般形式，也叫标准形式。 （3）在ax2?bx?c?0（a?0）中，a，b，c通常表示已知数。
2、一元二次方程的解：当某一x的取值使得这个方程中的ax2?bx?c的值为0，x的值即是一元二次方程ax2?bx?c?0的解。
3、一元二次方程解的估算：当某一x的取值使得这个方程中的ax2?bx?c的值无限接近0时，x的值即可看做一元二次方程ax2?bx?c?0的解。
【经典例题】
例1、下列方程中，是一元二次方程的是
1y2①?y?0； ②2x2?x?3?0； ③2?3； ④ax2?bx；⑤x2?2?3x；
x43⑥x3?x?4?0； ⑦t2?2； ⑧x2?3x??0；⑨x2?x?2；⑩ax2?bx(a?0)
x例2、（1）关于x的方程(m－4)x2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程.
（2）如果方程ax2+5=(x+2)(x－1)是关于x的一元二次方程，则a__________. （3）关于x的方程(2m2?m?3)xm?1?5x?13是一元二次方程吗?为什么？
例3、把下列方程先化为一般式，再指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。
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（1）2x―x+1=0 (2)－5x+1=6x (3)(x+1)=2x (4)?3x2?4x??8
2
2
2
例4、（1）某校办工厂利润两年内由5万元增长到9万元，设每年利润的平均增长率为x，可以列方程得（ ）
A.5(1+x)=9 B.5(1+x)2=9
C.5(1+x)+5(1+x)2=9 D.5+5(1+x)+5(1+x)2=9
（2）某商品成本价为300元，两次降价后现价为160元，若每次降价的百分率相同，设为x，则方程为_____________.
例5、一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如下图所示，它的长为8 m，宽为5 m，如果地毯中央长方形图案的面积为18 m2，那么花边有多宽?（列出方程并估算解得值）
例6、如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m，如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米?
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【经典练习】
一、选择题
11、下列关于x的方程：①1.5x2+1=0；②2.3x2++1=0；③3.4x2=ax(其中a为常数)；④2x2+3x=0；
x3x2?1⑤ =2x；⑥(x2?x)2 =2x中，一元二次方程的个数是（ ）
5 A、1 B、2 C、3 D、4 2、方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是 A.x2－5x+5=0
B.x2+5x+5=0 C.x2+5x－5=0
D.x2+5=0
3、一元二次方程7x2－2x=0的二次项、一次项、常数项依次是 A.7x2,2x,0 C.7x2,0,2x
B.7x2,－2x，无常数项 D.7x2,－2x,0
4、若x=1是方程ax2+bx+c=0的解，则
A.a+b+c=1 B.a－b+c=0 C.a+b+c=0 D.a－b－c=0 二、填空题
1、将x(4x?3)?3x?1化为一般形式为__________，此时它的二次项系数是. __________，一次项系数是__________，常数项是__________。
2、如果(a+2)x2+4x+3=0是一元二次方程，那么a所满足的条件为___________. 3、已知两个数之和为6，乘积等于5，若设其中一个数为x，可得方程为_____________. 4、某高新技术产生生产总值，两年内由50万元增加到75万元，若每年产值的增长率设为x，则方程为___________.
5、某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐月上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设一、二月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为_____________. 三、解答题
1、某商场销售商品收入款：3月份为25万元，5月份为36万元，该商场4、5月份销售商品收入款平均每月增长的百分率是多少？
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【课后作业】
一、填空题
1、方程5(x2－2x+1)=－32x+2的一般形式是__________，其二次项是__________，一次项是__________，常数项是__________.
2、若关于x的方程(a?1)x2?3ax?5?0是一元二次方程，这时a的取值范围是________ 3、某地开展植树造林活动，两年内植树面积由30万亩增加到42万亩，若设植树面积年平均增长率为x，根据题意列方程_________. 二、选择题
1、下列方程中，不是一元二次方程的是 ( )
1A.2x2+7=0 B.2x2+23x+1=0 C.5x2++4=0 D.3x2+(1+x) 2+1=0
x2、方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是 ( ) A.x2－5x+5=0
B.x2+5x+5=0 C.x2+5x－5=0 D.x2+5=0
3、一元二次方程7x2?2x?1?5的二次项、一次项、常数项依次是 ( ) A.7x2,2x,1 B.7x2,－2x，无常数项 C.7x2,0,2x
D.7x2,－2x,-4
4、方程x2－3=(3－2)x化为一般形式，它的各项系数之和可能是 ( ) A.2
B.－2
C.2?3
D.1?2?23
5、若关于x的方程（ax+b）(d－cx)=m(ac≠0)的二次项系数是ac，则常数项为 ( ) A.m
B.－bd
C.bd－m
D.－(bd－m)
6、若关于x的方程a(x－1)2=2x2－2是一元二次方程，则a的值是 ( ) A.2
B.－2
C.0
D.不等于2
7、若x=-1是方程ax2+bx+c=0的解，则 ( ) A.a+b+c=1 B.a－b+c=0 C.-a+b+c=0
D.a－b－c=0
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第二讲 一元二次方程（配方法）
【学习目标】
2(x?m)?n(n?0)的方程。 1、会用开平方法解形如
2、理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程。
3、经历列解方程解决实际问题的过程，体会转化的数学思想，增强数学应用意识和能力。 【知识要点】
1、直接开平方法解一元二次方程：
（1） 把方程化成有一边是含有未知数的完全平方的形式，另一边是非负数的形式，即化成
(x?b)2?a(a?0)的形式
（2） 直接开平方，解得x1??b?a,x2??b?a
2、配方法的定义：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。
3、用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）利用配方法解一元二次方程时，如果ax2?bx?c?0中a不等于1，必须两边同时除以a，使
得二次项系数为1.
（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。 （3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方。 （4）用直接开平方法求出方程的根。 【经典例题】 例1、解下列方程： （1）x2=4
例2、配方：填上适当的数，使下列等式成立： （1）x+12x+
2
（2）(x+3)2=9
=(x+6)
2
（2）x+8x+ =(x+ )（3）x―12x+ =(x― )
2222
例3、用配方法解方程
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（1）3x+8x―3=0
2
（2）6x2?x?12?0
155（3）?x2?x??0 （4）x2?x?2?0
224
例4、请你尝试证明关于x的方程(m2?8m?20)x2?2mx?1?0，不论m取何值，该方程都是一元
二次方程。
例5、 一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系： h=15
t―5t2，小球何时能达到10m高？
【经典练习】
一、填空题
1、若x2=225，则x1=__________,x2=__________. 2、若9x2－25=0，则x1=__________,x2=__________. 3、填写适当的数使下式成立.
①x2+6x+______=(x+3)2 ②x2－______x+1=(x－1)2 ③x2+4x+______=(x+______)2
4、为了利用配方法解方程x2－6x－6=0，我们可移项得___________，方程两边都加上_________，得_____________，化为___________.解此方程得x1=_________，x2=_________.
5、将长为5，宽为4的矩形，沿四个边剪去宽为x的4个小矩形，剩余部分的面积为12，则剪去小矩形的宽x为_________.
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6、如图1，在正方形ABCD中，AB是4 cm，△BCE的面积是△DEF面积的4倍，则DE的长为_________. 7、如图2，梯形的上底AD=3 cm，下底BC=6 cm，对角线AC=9 cm，设OA=x， 则x=_________ cm.
图1
图2
二、选择题
1、方程5x2+75=0的根是 （ ）
A.5 B.－5 C .±5 D.无实根 2、方程3x2－1=0的解是 （ ）
A.x=±13
B.x=±3 C.x=±
33 D.x=±3 3、一元二次方程x2－2x－m=0，用配方法解该方程，配方后的方程为（A.(x－1)2=m2+1 B.(x－1)2=m－1 C.(x－1)2=1－m
D.(x－1)2=m+1
4、用配方法解方程x2+x=2，应把方程的两边同时（ ）
A.加14
B.加12
C.减14
D.减12
5、已知xy=9，x－y=－3，则x2+3xy+y2的值为（ ） A.27
B.9
C.54
D.18
三、计算题（用配方法解下列方程）
（1）x2?16 （2）(x?2)2?4
(3)x2+5x－1=0 (4)2x2－4x－1=0
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1(5) x2－6x+3=0 (6)x2－x+6=0
4
（7）x2?4x?3?0 （8）x2?12x?25?0
（9）3x2?1?6x （10）2x2?22x?1?0
四、解答题
两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多4 cm，大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少32平方厘米，求大小两个正方形的边长.
【课后作业】
1、将下列方程两边同时乘以或除以适当的数，然后再写成(x+m)2=n的形式
1（1）2x2+3x－2=0 (2)x2+x－2=0
4
2、用配方法解下列方程
(1)x2+5x－5=0 (2)2x2－4x－3=0
(3) x2－3x-3=0 （4）2x2?7x?14?0
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第三讲 一元二次方程（公式法）
【学习目标】
1、学会一元二次方程求根公式的推导。
2、理解公式法，会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程。
3、经历一元二次方程的求根公式的探索过程，体会公式法和配方法的内在联系。
【知识要点】
1、复习用配方法接一元二次方程的步骤，推导出一元二次方程的求根公式：对于一元二次方程
b2b2?4acax?bx?c?0其中a?0，由配方法有(x?)?。
2a4a22?b?b2?4ac（1）当b?4ac?0时，得x?；
2a2（2）当b2?4ac?0时，一元二次方程无实数解。
2、公式法的定义：利用求根公式接一元二次方程的方法叫做公式法。 3、运用求根公式求一元二次方程的根的一般步骤：
（1）必须把一元二次方程化成一般式ax2?bx?c?0，以明确a、b、c的值； （2）再计算b2?4ac的值：
?b?b2?4ac①当b?4ac?0时，方程有实数解，其解为：x?；
2a2②当b2?4ac?0时，方程无实数解。
【经典例题】
例1、推导求根公式：ax2?bx?c?0（a?0）
例2、利用公式解方程：
（1） x2?2x?2?0 （2） 2x2?7x?4
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（3）?x2?4x?1?0 （4）x2?43x?10?0
例3、已知a，b，c均为实数，且a2?2a?1＋｜b＋1｜＋(c＋3)2＝0，解方程ax2?bx?c?0
例4、你能找到适当的x的值使得多项式A=4x2+2x－1与B=3x2－2相等吗？
例5、一元二次方程(m－1)x2＋3m2x＋(m2＋3m－4)＝0有一根为零，求m的值及另一根．
【经典练习】
1、用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是 （ ）
12?122?3?4?12?122?3?4A.x1、2= B.x1、2=
22?(?12)?(?12)2?4?3?412?122?3?4C.x1、2= D.x1、2=
22?32、方程x2+3x=14的解是 （ ） A.x=
3?65 2B.x=
3?23?3?65?3?23 C.x= D.x=
2223、下列各数中，是方程x2－(1+5)x+5=0的解的有 ( ) ①1+5 ②1－5 ③1 ④－5
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A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
5、若代数式x2－6x＋5的值等于12，那么x的值为( ) A．1或5
B．7或－1
C．－1或－5
D．－7或1
6、关于x的方程3x2－2(3m－1)x＋2m＝15有一个根为－2，则m的值等于( ) A．2
B．－
12 C．－2 D．
127、当x为何值时，代数式2x2＋7x－1与4x＋1的值相等?
9、用公式法解下列各方程
（1）x+6x+9=7 （2）12x2?7x?1?0
2
（3）x2?42x?8?0 （4）2x2?3x?5?0
（5）x2?x?1?0 （6）3x2?5x?1?0
（7）(2x?1)(x?3)?4 （8）4y2?(2?8)y?2?0
（9）2x2?3x?2?0 （10）?y?2??y?1??y?y?1??0
（11） 5x2?8x??1 （12）x2?2mx?3nx?3m2?mn?2n2?0
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【课后作业】
1、方程(x－5)2＝6的两个根是( ) A．x1＝x2＝5＋6
B．x1＝x2＝－5＋6
D．x1＝5＋6，x2＝5－6
C．x1＝－5＋6，x2＝－5－6
2、利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为__________，确定__________的值，当__________时，把a,b,c的值代入公式，x1，2=____________求得方程的解. 3、当x为何值时，代数式2x2＋7x－1与x2－19的值互为相反数?
4、用公式法解下列方程：
（1）x2?7x?1?0 （2）x(x?8)?0
（3）x2?x?2 （4）0.8x2?x?0.3
（5）3x2?1?2 （6）x2?7x
第四讲 一元二次方程（分解因式法）
【学习目标】
1、能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的多样性。 2、会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。 3、会根据题目的特点灵活的选择各种方法解一元二次方程。
【知识要点】
1、 分解因式法解一元二次方程：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的
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积时，可用解两个一元一次方程的方法来求得一元二次方程的解，这种解一元二次方程的方法称为分解因式法。
2、分解因式法的理论依据是：若a?b?0，则a?0或b?0 3、用分解因式法解一元二次方程的一般步骤： ①将方程的右边化为零；
②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，他们的解就是一元一次方程的解。
【典型例题】
例1、（1）方程(x?1)(x?2)?2(x?2)的根是__________ （2）方程(x?1)(x?2)(x?3)?0的根是__________ 例2、 用分解因式法解下列方程
（1）3x2?6x?0 （2）3(x?5)2?2(5?x)
（3） x2?2x?1?0 （4）4x2?8x??4
（5） (3x?2)2?(x?3)2?0 （6）49(x?3)2?16(x?6)2
15（7）x2?x?6?0 （8）(x－1)2－4(x－1)－21＝0．
42
例3、2－3是方程x2+bx－1=0的一个根，则b=_________，另一个根是_________.
ab例4、已知a2－5ab+6b2=0，则?等于 （ ）
ba111111A.2 B.3 C.2或3 D.2或3
232332例5、解关于x的方程：(a2－b2)x2+4abx＝a2－b2．
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例6、x为何值时，等式x2?x?2?2x2?3x?2?0
【经典练习】
一、填空题.
1、用因式分解法解方程9=x2-2x+1 (1)移项得 ；
(2)方程左边化为两个数的平方差，右边为0得 ； (3)将方程左边分解成两个一次因式之积得 ； (4)分别解这两个一次方程得x1 = ， x2= 。 2、（1）方程t(t＋3)＝28的解为_______．
(2)方程(2x＋1)2＋3(2x＋1)＝0的解为__________．
3、（1）用因式分解法解方程5（x+3）-2x（x+3）=0，可把其化为两个一元一次方程 和
求解。
（2）方程x2－16=0，可将方程左边因式分解得方程__________，则有两个一元一次方程____________或____________，分别解得：x1=__________,x2=__________.
4、如果方程x2-3x+c=0有一个根为1，那么c= ，该方程的另一根为 ， 该方程可化为（x -1）（x ）=0
5、已知x2－7xy+12y2=0，那么x与y的关系是_________.
6、小英、小华一起分苹果，小华说：“我分得苹果数是你的3倍。”小英说：“如果将我的苹果数平
方恰好等于你所得的苹果数。”则小英、小华分得的苹果个数分别是 。 二、选择题
1、方程3x2=1的解为（ ）
1A.±
3B.±3
1C. 3 D.±
3 32、2x(5x－4)=0的解是（ ）
4A.x1=2，x2=
55414B.x1=0，x2= C.x1=0，x2= D.x1=，x2=
4525
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3、下列方程中适合用因式分解法解的是（ ） A.x2+x+1=0
B.2x2－3x+5=0 C.x2+(1+2)x+2=0
D.x2+6x+7=0
4、若代数式x2+5x+6与－x+1的值相等，则x的值为（ ） A.x1=－1，x2=－5 B.x1=－6，x2=1 C.x1=－2，x2=－3
D.x=－1
5、已知y=6x2－5x+1，若y≠0，则x的取值情况是（ ）
A.x≠1且x≠1
B.x≠12 C.x≠163
D.x≠12且x≠13
6、方程2x(x+3)=5(x+3)的根是（ ）
A.x=5
B.x=－3或x=5522 C.x=－3 D.x=－2或x=3
7、用因式分解法解方程，下列方法中正确的是 A.(2x－2)(3x－4)=0 ∴2－2x=0或3x－4=0 B.(x+3)(x－1)=1 ∴x+3=0或x－1=1 C.(x－2)(x－3)=233 ∴x－2=2或x－3=3 D.x(x+2)=0 ∴x+2=0
8、方程ax(x－b)+(b－x)=0的根是 A.x1=b,x2=a
B.x111=b,x2=a C.x1=a,x2=b
D.x1=a2,x2=b2
9、若一元二次方程(m－2)x2+3(m2+15)x+m2－4=0的常数项是0，则m为（A.2
B.±2
C.－2
D.－10
三、解下列关于x的方程 (1)x2＋12x＝0；
2)4x2－1＝0；
(3)(x－1)(x＋3)＝12； (4)x2－4x－21＝0；
共75页，第
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(5)3x＋2x－1＝0； (6)10x－x－3＝0；
(7)4(3x+1)2-9=0 (8) 5(2x-1)=(1-2x)(x+3)
22
【课后作业】
一、选择题
1、已知方程4x2-3x=0，下列说法正确的是（ ）
3A.只有一个根x= B.只有一个根x=0
433C.有两个根x1=0,x2= D.有两个根x1=0,x2=-
442、如果(x-1)(x+2)=0，那么以下结论正确的是（ ） A.x=1或x=-2 B.必须x=1 C.x=2或x=-1 D.必须x=1且x=-2 3、若方程(x-2)(3x+1)=0，则3x+1的值为（ ）
A. 7 B. 2 C. 0 D. 7 或0 4、方程5x(x＋3)＝3(x＋3)解为( )
A．x1＝，x2＝3 B．x＝ C．x1＝－，x2＝－3 D．x1＝，x2＝－3 5、方程(y－5)(y＋2)＝1的根为( ) A．y1＝5，y2＝－2
B．y＝5
C．y＝－2
D．以上答案都不对
35353535二、用因式分解法解下列方程：
(1)t(2t－1)＝3(2t－1)； (2)y2＋7y＋6＝0；
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(3)y－15＝2y (4)(2x－1)(x－1)＝1．
2
第五讲 判别式和根与系数的关系
【学习目标】
1、 使学生会运用根与系数关系解题。
2、 对一元二次方程以及其根有更深刻的了解，培养分析问题和解决问题的能力。
【知识要点】
1、一元二次方程的判别式：??b2?4ac
?b?b2?4ac（1）当b?4ac?0时，方程有两个不相等的实数根，x?。
2ab（2）当b2?4ac?0时，方程有两个相等的实数根，x1?x2??。
2a2（3）当b2?4ac?0时，方程无实数解。 2、一元二次方程根与系数关系的推导：
对于一元二次方程ax2?bx?c?0其中a?0，设其根为x1,x2，由求根公式
bc?b?b2?4ac，有x1?x2??，x1?x2? x1?x2?aa2a3、常见的形式：
（1）(x1?x2)2?(x1?x2)2?4x1x2 （2）x1?x2?(x1?x2)3?3x1x2(x1?x2) （3）x1?x2??(x1?x2)2?4x1x2
33【典型例题】
例1 当m分别满足什么条件时，方程2x2-(4m+1)x +2m2-1=0,
（1）有两个相等实根；（2）有两个不相实根；（3）无实根；(4)有两个实根.
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例2、已知方程x2?2x?c?0的一个根是3，求方程的另一个根及c的值。
例3、已知方程x2?5x?6?0的根是x1和x2，求下列式子的值： （1）x1?x2 + x1x2 （2）
例4、已知关于x的方程3x2-mx-2=0的两根为x1 ，x2，且
例5、已知关于x的方程（1）x2?(1?2a)x?a2?3?0有两个不相等的实数根，且关于x的方程（2）
x2?2x?2a?1?0没有实数根，问a取什么整数时，方程（1）有整数解？
22x1x2? x2x11122
??3 ，求 ①m的值；②求x1+x2的值. x1x2
【经典练习】
一、选择题
1、方程x2?kx?1?0的根的情况是（ ）
A 、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、 没有实数根 D、 与k的取值有关
2、已知关于x的一元二次方程(k2?1)x2?(k?1)?0的两根互为倒数，则k的取值是( ). A、?2 B、2 C、 ?2 D、0
3、设方程3x2?5x?q?0的两根为x1和x2，且6x1?x2?0,那么q的值等于( ).
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A、?212 B、-2 C、 D、?
9394、如果方程x2?mx?1的两个实根互为相反数，那么m的值为（ ） A、0 B、－1 C、1 D、±1
?b?5、已知ab≠0，方程ax?bx?c?0的系数满足???ac，则方程的两根之比为（ ）
?2?22A、0∶1 B、1∶1 C、1∶2 D、2∶3 二、填空题
21、已知方程x?3x?4?0的两个根分别是x1和x2，则x1?x2= _____，x1x2= _____
2、已知方程x2?ax?b?0的两个根分别是2与3，则a? ，b? 3、已知方程x2?3x?k?0的两根之差为5，k= 4、（1）已知方程x2-12x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m= （2）方程 4x2?2mx?5?0的一个根是另一个根的5倍，则m= ； 5、以数2?1,2?1为根构造一个一元二次方程 三、简答题
1、讨论方程(1?m2)x2?4(m?1)x?4?0的根的情况并根据下列条件确定m的值。（1）两实数根互为倒数；（2）两实数根中有一根为1。
2、求证：不论k取什么实数，方程x2(k?6)x?4(k?3)?0一定有两个下相等的实数根？
3、已知方程x2?3x?c?0的一个根是2，求另一个根及c的值。
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∴A、M、N在一条直线上
例5、如图1，OC平分?，P是OC上一点，D是OA上一点，E是OB上一点，且PD=PE，求证：AOB。 ?PDO??PEO?180?
【经典练习】
一、 填空题
1、∠AOB的平分线上一点M ，M到 OA的距离为1.5 cm，则M到OB的距离为_________. 2、如图1，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________.
图1 图2 图3
3、图2，在△ABC中,∠C=90°,AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm，则BC=____ cm. 4、图3，已知AB、CD相交于点E，过E作∠AEC及∠AED的平分线PQ与MN，则直线MN与PQ的关系是_________. 二、选择题
1、给出下列结论，正确的有（ ）
①到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；②角的平分线与三角形平分线都是射线；③任何一个命题都有逆命题；④假命题的逆命题一定是假命题
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A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2、下列结论正确的有（ ）
①如果(x－1)(x－2)=0，那么x=1；②在△ABC中，若∠B是钝角，则∠A、∠C一定是锐角；③如果两个角相等，那么两个角互为对顶角；④如果在一个角内的点，到这个角的两边距离相等，那么这个点在角的平分线上 A.1个 B.2个
C.3个
D.4个
3、已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，则D到AB的距离为（ ） A.18
B.16
C.14
D.12
4、两个三角形有两个角对应相等，正确说法是（ ） A.两个三角形全等 B.两个三角形一定不全等
C.如果还有一角相等，两三角形就全等 D.如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等 5、下列命题中是真命题的是
A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等 B.相等的角是对顶角 C.余角相等的角互余
D.两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等
6、如图4，OB、OC是∠AOD的任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON=α，∠BOC=β，则表示∠AOD的代数式为（ ） A.2α－β
B.α－β C.α+β
D.2α
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图4 图5
7、如右上图5，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF ，②△BDF≌△CDE， ③D在∠BAC的平分线上，以上结论中正确的是 （ ） A.只有① 三、解答题
1、如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB.
B.只有② C.只有①和②
D.①，②与③
2、已知，如图，过菱形ABCD的顶点C作CF?AD,CE?AB,分别交AB、AD的延长线于E、F.试说明CE=CF
【课后作业】
一、填空题
1、如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF. 2、如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP__________∠CAP.
3、如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=3，则PE=__________.
（1）
（2）
（3）
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4、已知，如图4，∠AOB=60°,CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，若CD=CE，则∠COD+∠AOB=__________度.
5、如图（5），已知MP⊥OP于P，MQ⊥OQ于Q，S△DOM=6 cm2，OP=3 cm，则MQ=__________cm.
图4
图5
二、解答题
已知：如下图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，求：D到AB边的距离.
第十二讲 等腰、等边三角形
【学习目标】
1、运用等腰三角形的性质定理及其推论证明与等腰三角形有关的角相等或线段相等。 2、运用等边三角形的性质定理及其推论证明与等边三角形有关的角相等或线段相等。 3、进一步掌握推理证明的方法，拓发展演绎推理能力，培养思维能力。
【知识要点】
1、等腰三角形性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）
2、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简述为“三线合一” 3、等边三角形的性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于600。 4、等腰三角形、等边三角形的判定定理：
（1）有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称为：等角对等边） （2）有一个角等于600的等腰三角形是等边三角形。
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（3）在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 （4）三个角都相等的三角形是等边三角形 5、等腰三角形中的特殊线段：
（1）两底角的平分线；（2）两要上的高；（3）两腰上的中线；（4）底边上的高上的任一点向两腰所引的垂线段对应相等。 【典型例题】
例1、如图，在△ABC中，AB = AC，AD⊥AC∠BAC = 100°。求∠1、∠3、∠B的度数。
A123BDC例2、如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，D是△ABC的边BC上的一点，连接AD、BE。求证：AD = BE。
例3、如图，?ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD = CE。求证：
例4、已知：如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，交AB、AC于D、E。求证：△ADE 是等边三角形
BEDCAABDEC是等腰三角形。
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