淮海工学院2010年高等数学竞赛客观题模拟练习 一、一元微积分（A组考，B组考）
一、填充题（4?5?20）
1、 f(x)?3x?1，f[g(x)]?x，则g(x)?(x?1)3．
'ln(1?x4)1、lim??8．
x?01?cos(1?cosx)dlnx[f(ex)]=x,则f'(x)?2、已知：． dxx??ln213、?． dx?12006x(1?x2006)2、 f(x)?lnx2?1(x?0)在点x?_____1_____处，函数值随x增长的速度最快 3、 设?x?为最大取整函数，则
?20060[x]dx=2005003
33 24、 已知三个单位向量a,b,c满足a?b?c?0, 则 |a?b?b?c?c?a|?5、 点(1,2,3)在平面x?y?z?9上的投影坐标为(2,3,4)
设向量a,b所围成的平行四边形面积为2, 则 |(a?b)?(a?b)|? 4 ． 1、对函数f(x)?2?12?11x1x，点x?0是（ B ）
A 可去间断点 B跳跃间断点 C 第二类间断点 D 连续点
22、设y?f(x)对一切x满足y''?2y'?y?1,若f'(x0)?0，则y?f(x)在x0处（ C ）
A 某邻域内单调减 B 某邻域内单调增 C 取极小值 D 取极大值
m3、在计算xarcsinA m B n C m?n D mn 4、设D(x)是x到离x最近的整数之间的距离，则A
?nxdx（m,n为正整数）的过程中，所需分部积分法的次数为（ B ）
?10D(x)dx?（ B ）
111 B C D 1 842xyz5、设有直线??，则该直线必定（ A ）
04?3A 过原点且垂直于x轴 B 不过原点，但垂直于x轴 C 过原点且平行于x轴 D 不过原点，但平行于x轴 1、limx??2tan3x?（ D ）
tan5x5335 B ? C D 35532、设f(x)的某个原函数F(x)为奇函数，则f(x)必为（ B ）
A ?A 奇函数 B 偶函数 C 非奇非偶函数 D 既是奇函数又是偶函数
f(mh)?f(nh)?（ B ）
h?0h1111? D ? A m?n B m?n C
mnmnmn4、在计算?xlnxdx（m,n为正整数）的过程中，所需分部积分法的次数为（ B ）
3、已知：f'(0)?1,mn?0，则limA m B n C m?n D mn 5、直线L:x?2k?y?k?1z?2?与平面II:x?2y?z?0的位置关系为（ A ） 23A L?II B L//II C L?II D A或B
上式两端关于x求导，注意到g[f?x?]?x，有xf'?x???2x?1?f'?x??2f?x?-----------2 将f?0??1代入上式，解出f'?0???2．--------------------------------------------------------------1 ?x2y,x2?y2?0?221、设f(x,y)??x?y，则f(x,y)在点(0,0) …………………………（ D ）
?,x2?y2?0?0(A) 不连续；
(C) 可微； (B) 连续但偏导数不存在；
(D) 连续且偏导数存在但不可微.
x?0y?02、设f(x,y)在点(0,0)的某邻域内连续，且满足 lim f(x,y)?f(0,0)??3
x2?1?xsiny?cos2y则f(x,y)在点(0,0)处 …（A）
(A) 取极大值； (B) 取极小值； (C) 无极值； (D) 不能确定是否有极值. 3、设在全平面上有fx?0，fy?0，则使f(x1,y2)?f(x2,y1)成立的条件是 …（ A ）. （A）x1?x2，y1?y2；（B）x1?x2，y1?y2；（C）x1?x2，y1?y2；（D）x1?x2，y1?y2. 1、u?ln(x2?y2?z2)在点(1,?2,1)处的函数值沿方向k(1,?2,1),k?0增长的速度最快
x2?y2?2x?4y?30?x2?y2?6x?2y?59的最小值为13
3、设变量x,y,t满足y?f(x,t),g(x,y,t)?0，若函数f,g具有一阶连续偏导数，
fg?ftgx则y'(x)?xt．
ftgy?gt2、z?xx34、已知f(0,0)?1,fx(x,y)?3xy,fy(x,)?,则f(x,y)?x3y?y4?1．
222??f(t)t22(?x2dx??x2dx)???f2(x)dx???0t021t123t123tf2(x)dx
2f(t)??{[tf2(t)?2]??f2(x)dx??f2(x)dx}--------------------------1
0t3t41V'??(1?3)[tf'(t)?f(t)]f(t)-------------------------------------------2
3t令g(t)?tf'(t)?f(t)----------------------------------------------------------------------------------1
t23由g'(t)?f\t)?0知g(t)于[0,2)上单调递增，-----------------------------1 于是，t?0时，有g(t)?g(0)?0--------------------------------------------------------------1 令S'?0，得唯一驻点t?1-------------------------------------------------------------------------1 由极值的第一充分条件易知t?1，即k?2时，--------------1 V?V1?V2达到最小．
4例13（8分）、就参数k，讨论曲线y?4lnx?k与y?4x?lnx交点的个数．
13tt4解：令lnx?t即x?e，考虑方程4e?t?4t?k?0 ①--------------------------1
令f?t??4et?t4?4t?k，-------------------------------------------------1 则f??t??4et?t3?1 及 f???t??4et?3t2?0②-------------------------1
????故f?t?有唯一驻点t?0，由②可知f?0??4?k是f?t?的最小值．-------------------1 又注意到limf?t????-----------------------------------------------------1
t??当4?k时，方程①有两解，曲线有两个交点．----------------------------------1 当4?k时，方程①有一解，曲线有一个交点．----------------------------------1 当4?k时，方程①无解，曲线没有交点．--------------------------------------1
1?1有且仅有一个根，求k的取值范围. 2x11解：设f(x)?kx?2?1，当k?0,f'(x)?k?3?0，f(x)为减函数-----------------2
xxf(x)=??，limf(x)?0，故k?0满足题意-----------------------------------------2 又lim?例14（8分）、设当x?0时，方程kx?x?0x???2，由f''(x)?0知其为极小点，------------2 k23时有且仅有一个根， 若f(x0)?0,原方程或无解或有两解，仅当f(x0)?0,k?923.-------------------------------------------------------2 综上所述，k的取值范围为k?0及k?91n??例15（10分）、求使得不等式e?(1?)对所有的正整数n都成立的最小的数?.
n111n??? -----------------------------------------------------2 解：由e?(1?) 解得??11nln(1?)nnxln(1?x)?11x1?x?,x?0，f'(x)?令f(x)?[ln(1?x)?] -----------2 22ln(1?x)xxln(1?x)1?xx1?x?1?x2?0， 记g(x)?ln(1?x)?，由x?0得g'(x)?31?x(1?x)2于是f'(x)?0从而x?0，f(x)单调减---------------------------------------------------------------3
1111注意到limf(x)?，有x?0，f(x)?，则f()?，
x?022n211而f()??，故?最小值为.---------------------------------------------------------------------------3
n212例16（8分）、设x1?0,xn?1?(3xn?3)，（n?1,2,3?），求limxn.
n??4xn当k?0，令f'(x)?0，得唯一驻点x0?3解： xn?1?又
xn?1xn1224-----------------4 (xn?xn?xn?3)?4xn?xn?xn??2则数列有下界，
4xnxn12故数列单调减少，易得limxn?42.-----------------------4 ?(3?4)?1，
n??4xn1?xn?1?xn2例17（10分）、设数列{xn}、{yn}满足0?x1??，xn?1?sinxn，yn???
?xn?(n?1,2,3,?)，请问{xn}、{yn}收敛吗？若收敛，求limxn,limyn；若发散，说明理由.
n??n??答： ?x2?sinx1,?0?x2?1,则n?2，0?xn?1?sinxn?xn,{xn}单减有下界------2 根据单调有界定理知{xn}收敛，--------------------------------------------------1
0----------------2 令limxn?A，在xn?1?sinxn两边取极限得A?sinA，有limxn?n??n???sint?t2 先考虑 lim???et?0t??故limyn?en???161sintlim2lnt?0tt1 ?esint?1limt2t?0t?elimt?0sint?tt3?elimt?0cost?13t2?e--------------3
?16，从而{yn}收敛.-------------------------------------------------2
例18（8分）、f(x)?arctanx在[0,b]上由拉格朗日中值定理得中值?，求limb?0?2b2.
解：由拉格朗日中值定理得arctanb?1，即?2?b?arctanb------------------3
arctanbb1??2故limb?0?2b2?limb?arctanbb?arctanb?lim?limb?0b?0b2arctanbb?0b31?11?b2?1.------------------5
33b2二、一元微积分（A组考，B组考）
?(x2?y2)xy,(x,y)?(0,0)例1（8分）、证明：f(x,y)??在(0,0)连续.
0,(x,y)?(0,0)?证明：令limf(x,y)?A，则A?ex?0y?0x?0,y?0limxyln(x2?y2)------------------------------------2
12(x?y2)|ln(x2?y2)|-----------------------------------2 2122222222?lim(x?y)|ln(x?y)|?0----2 tlnt?0因lim(x?y)ln(x?y)?lim，
x?0,y?02x?0t?0?y?0而0?|xyln(x?y)|?22由夹逼定理知：A?e?1?f(0,0),原题得证. -----------------------------------2 例2（8分）、设?(x,y)连续，?(x,y)?x?y?(x,y)，讨论?(x,y)在(0,0)处的可微性．
0x?(x,0)，且lim?(x,0)??(0,0)--------------------------------------------2
x?0x?0xx
若?(0,0)?0，因lim不存在，故?x(0,0)不存在，从而?(x,y)在(0,0)处不可微-----1
x?0x
若?(0,0)?0，则?x(0,0)?0，同理?y(0,0)?0--------------------------------------------------1
解：?x(0,0)?lim因0?故limx?yx?y222?x?yx?y?lim(x,y)?022?2x2?y2，有limx?yx?y22x?yx?y22(x,y)?0?0-----------------------------2
??(x,y)x?y2(x,y)?0?(x,y)?0，即?(x,y)在(0,0)处可微．--------------2
例3（8分）、设
解：
，
，试确定常数 ，使
.
-------------------------------2
-------------------------------3
由
，可得
.----------3
例4（8分）、设u(x,y)二阶偏导数连续，且uxx?uyy?0， u(x, 2x)?x，ux(x, 2x)?x2， 求uxx(x, 2x)，uxy(x, 2x)，uyy(x, 2x)（ux表示u对x的一阶偏导数，其他类推）.
12这两个等式,对x求导得uxx(x,2x)?2uxy(x,2x)?2x, uyx(x,2x)?2uyy(x,2x)??x.-------------2
解：等式u(x,2x)?x两端对x求导,得ux(x,2x)?2uy(x,2x)?1，?uy(x,2x)?(1?x2)--------3
由已知条件得uxx?uyy,uxy?uyx, 故解得uxx?uyy??例5（8分）、设z?解：z?45x， uxy?x . ---------3 33?10xy?tf(t)dt,0?x,y?1，若f(t)为连续函数，求zxx?zyy.
1xy?xy0(xy?t)f(t)dt??(xy?t)f(t)dt--------------------------------------2
xy0xy0?xy[?zx?y[?f(t)dt??f(t)dt]??tf(t)dt??tf(t)dt------------------------1
xyxy011xyf(t)dt??f(t)dt] ---------------------------------------------2
xy1zxx?2y2f(xy)，由对称性知zyy?2x2f(yx)---------------------------------2
故zxx?zyy?2(x?y)f(xy). ---------------------------------------------1 例6（10分）、已知f?u?具有二阶导数，且f?(0)?1， y?y(x)由y?xey?1?1所确定，
22dzd2z. 设z?f(lny?sinx)，求x?0,2x?0dxdxy?1解：在y?xe?1中, 令x?0 得y(0)?1 . ------------------------------------1
y?1y?1y?1而由y?xe?1两边对x求导得 y??e?xey??0---------------------------1
y??ey?1y??xey?1y?2?xey?1y???0-------------------------1
将x?0,y?1代入上面两式得 y?(0)?1,y??(0)?2. ------------------------------2 dzy??(?cosx)f?(lny?sinx)，-----------------------------------------------1 dxyd2zy?y??y?y?22 2?(?cosx)f??(lny?sinx)?(?sinx)f?(lny?sinx)--------------2 2dxyydzd2z?1.---2 y??(0)?2，f?(0)?1代入上面两式得将y(0)?1，y?(0)?1，x?0?0,2x?0dxdx再对x求导得 y???ey?1
例7（10分）设f?u?在?0,???内二阶可导，z?f若f?1??0,f??1??1,求f?u?的函数解析式.
?x?y22??2z?2z1满足2?2?2， 2?x?yx?y?zx?zy?f??u?,?f??u?-------------------------------------------------------------------------1 ?xu?yux2u?22?2zx2xy?f???u?2?f??u?2u?f???u?2?f??u?3------------------------------------------2 2?xuuuu?2zy2x2同理2?f???u?2?f??u?3-------------------------------------------------------------------------1
?yuu1?2z?2z1代入2?2?2得uf??(u)?f?(u)?，即[uf'(u)]'?(lnu)'----------------------3
u?x?yulnuc11?f?(u)??，由f?(1)?1,得c1?1,于是f(u)?ln2u?lnu?c2,-------------------1
uu21由f(1)?0,得c2?0故f(u)?ln2u?lnu.---------------------------------------------------------1
2解：
例8（10分）、已知函数z?f(x,y) 的全微分dz?2xdx?2ydy，并且f(1,1)?2．求
y2?1}上的最大值和最小值. f(x,y)在椭圆域D?{(x,y)x?42解：于是 z?f(x,y)?x2?y2?C，-------------2 dz?2xdx?2ydy?d(x2?y2?C)，再由f(1,1)?2，得 C=2, 故 f(x,y)?x2?y2?2.--------------------------------1 令fx?2x?0,fy??2y?0得可能极值点为(0,0)，且f(0,0)?2-------------------1
y2?1上的情形： 再考虑其在边界曲线x?42y2?1)，-----------------------------1 令拉格朗日函数为L(x,y)?f(x,y)??(x?4??Lx?2(1??)x?0,?1?解 ?Ly?(?2??)y?0, --------------------------------------------------1
2??2y2?1?0?x??4得可能极值点为(0,?2)，(?1,0) ，且f(0,?2)??2, f(?1,0)?3，-----------------2
2y2?1}内的最大值为3，可见z?f(x,y)在区域D?{(x,y)x?最小值为-2.---------2 42例9（10分）、当x?0,y?0,z?0时, 求函数u?lnx?2lny?3lnz在条件
x2?y2?z2?6r2上的最大值, 并证明对任意的正实数a,b,c成立不等式
?a?b?c?abc?108??.
6??解: 令F(x,y,z)?lnx?2lny?3lnz??(x2?y2?z2?6r2)--------------------1
1?F?(1)?xx?2?x?0??F?2?2?y?0(2)?yy有?------------------------------------2
?3(3)?Fz??2?z?0z?2222?(4)?x?y?z?6r?0236由(1),(2),(3), 得y2?2x2,代入(4),得 x?r,可知最大值为u(r,z2?3x2------------------------------------------2
y?2r,z?3r及P(r,2r,3r)-------------------------1
?lnr?2ln(2r)?3ln(3r)?ln(63r6)------------------1
62r,3r)2222462?x?y?z6即 lnx?2lny?3lnz?ln(63r)，亦即 xyz?(63)??6????-------2 ??a?b?c?令x?a,y?b,z?c, 于是abc?108??.--------------------------2
6??222236
三、空间解析几何（A组考，B组不考）
?1??????b. 例1（8分）、设非零向量a,b，求证：lim(|a?tb|?|a|)?prjat?0t?2a?tb?(a?tb)?a?at(b?b)?2t(a?b)2a?b解：左 ?lim?lim??右.--------8
t?0t?0ta?tb?at(a?tb?a)2a????例2（8分）、在已知平面?：x?y?z?1?0内，求一直线l通过已知直线L：?与已知平面?的交点且垂直于已知直线L.
?y?z?1?0
?x?2z?0?x?y?z?1?0?解：联立方程组?y?z?1?0,易得L与?之交点P(0,?1,0)----------------------------------2
?x?2z?0?L的方向向量为s?(0,1,1)?(1,0,2)?(2,1,?1)，------------------------------------------------------2 可求得过P点且与已知直线L垂直的平面?方程为2x?y?z?1?0.-----------------------2
由题意知，所求直线l应为平面?与平面?的交线，其方程为??x?y?z?1?0. ---------2
?2x?y?z?1?0?2x2?y2?z?4例3（8分）、(1)求空间曲线?：?2 在xoy面的投影曲线L的方程； 2?x?y?z?0(2)求以L为准线，母线与向量s=(1,0,?1)平行的柱面方程.
?2x2?y2?z?4解：（1）对?2，消z,得投影柱面方程x2?2y2?4，-------------------1 2?x?y?z?0?x2?2y2?4故投影曲线L的方程为? -----------------------------------------------------------2
z?0?(2) 在所求柱面取M(x,y,z),由题意必有M0(x0,y0,0)?L,使得
M0M//s---------2
?x02?2y02?4?22有?x?x0y?y0z 化简得柱面方程(x?z)?2y?4.------------------------3
???0?1?1例4（8分）求以直线x?y?z为对称轴，半径R?1的圆柱面方程. 解：在圆柱面上任取一点M(x,y,z)，过点M(x,y,z)且垂直于轴的平面为
(X?x)?(Y?y)?(Z?z)?0--------------------------------------------------------------------------2
轴方程的参数式为X?t,Y?t,Z?t代入平面方程得t?故该平面和轴的交点为M1(x?y?z ------------------------1 3x?y?zx?y?zx?y?z,,)--------------------------------------1 333则M0M1的长等于半径R?1------------------------------------------------------------------------------1 故由距离公式得(2x?y?z)2?(?x?2y?z)2?(?x?y?2z)2?9.----------------3
y?bz?c,)?0的所有切平面都通过定点. x?ax?a''''FuFv(b?y)Fu?(c?z)Fv'''证明：由题意知，Fx?，Fy?，Fz?，
x?ax?a(x?a)2 故曲面过任一点(x,y,z)切平面的法线向量可选为
例5（8分）设F(u,v)可微，求证：曲面F(n?{(b?y)Fu?(c?z)Fv,(x?a)Fu,(x?a)Fv} …（4'）
注意到向量{a?x,b?y,c?z}?n …（2） 而(x,y,z)在曲面上，故(a,b,c)也在曲面上，原题得证. …（2）
例6（8分）求证：在曲线x?t4,y?t2,x?t的切线中，与平面x?y?z?1平行的切线有且仅有一条.
3证明：曲线的切向量为(4t,2t,1)，若其与(1,1,1)垂直，则4t?2t?1?0----------------2 32令f(t)?4t?2t?1，则f'(t)?12t?2?0，且limf(t)???,limf(t)???,-----3
t???t???''''''3知4t?2t?1?0在(??,??)内有且仅有一个非零根------------------------------1
342又t(4t?2t?1)?(t?t?t)?0，则此根不满足x?y?z?0，故原命题成立.------2
3例7（8分）若点M0(x0,y0,z0)是光滑曲面F(x,y,z)?0上与原点距离最近的点，试证:过点M0的法线必定通过坐标原点.
?minf(x,y,z)?x2?y2?z2证明：考察条件极值问题?-----------------------------1
F(x,y,z)?0?构造辅助函数L(x,y,z,?)?f(x,y,z)??F(x,y,z)，-------------------------------1 按题意f(x,y,z)在点M(x0,y0,z0)达到条件极小值，必满足
Lx(M0)?2x0??Fx(M0)?0,Ly(M0)?2x0??Fy(M0)?0,Lz(M0)?2x0??Fz(M0)?0于是向量(x0,y0,z0)与曲面F(x,y,z)?0在点M0处的法向量(Fy,Fy,Fy)0平行，-------5 故曲面F(x,y,z)?0在点M0处的法线通过通过原点.------------------------------1
222例8（8分）求函数f(x,y,z)?340?x?2y?3z在点M0(?3,3,?2)处沿n的方向导
数，其中n为f(x,y,z)?1过M0处的内法向量.
2?2222解： gradf(M0)?(fx,fy,fz)0??[(40?x?2y?3z)3(x,2y,3z)]M0?(2,?4,4)-3
3令F(x,y,z)?39?x2?2y2?3z2 ,则n可取(2,?4,4),----------------------------2
????f?故 M0?gradf(M0)?en?gradf(M0)?6.-----------------------------------3
?n例9（8分）设x?y2?z3?3确定了隐函数z?z(x,y)，求该隐函数在点(1,1)处方向导数的最大值M．
解：当(x,y)?(1,1)时，z?1------------------------------------------------------------------------------1
设F(x,y,z)?x?y2?z3?3-----------------------------------------------1 则Fx?1,故M?12Fy?2x,Fz?3z2 ,于是zx(1,1)??,zy(1,1)??----------------3
3322zx(1,1)?zy(1,1)?5．-------------------------------------------3 3