专题一：椭圆问题中最值得关注的基本题型
[题型分析·高考展望] 椭圆问题在高考中占有比较重要的地位，并且占的分值也较多.分析历年的高考试题，在选择题、填空题、解答题中都有涉及到椭圆的题，所以我们对椭圆知识必须系统的掌握.对各种题型，基本的解题方法也要有一定的了解.
体验高考
x2y21.(2015·广东)已知椭圆＋2＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m等于( )
25mA.2 B.3 C.4 D.9 答案 B
解析 由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3.
x2y2
2.(2015·福建)已知椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x
ab4
－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离
5心率的取值范围是( ) A.?0，?
333?3
0，?C.?，1? D.?，1? B.??4??2?4?2??
答案 A
解析 设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形.
∵|AF|＋|BF|＝4， ∴|AF|＋|AF0|＝4， ∴a＝2. 设M(0，b)，则∴1≤b＜2. c
离心率e＝＝a故选A.
x2y2
3.(2016·课标全国丙)已知O为坐标原点，F是椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别
ab为C的左，右顶点.P为椭圆C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则椭圆C的离心率为( )
c2＝ a2a2－b2＝ a24－b2?3∈0，?， 42??
4b4
≥， 55
1123A. B. C. D. 3234答案 A
amam
解析 设M(－c，m)，则E?0，a－c?，OE的中点为D，则D?0，2?a－c??，又B，D，M三点共
????
mm1
线，所以＝，a＝3c，e＝.
32?a－c?a＋c
x221
4.(2015·浙江)已知椭圆＋y＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称.
22
(1)求实数m的取值范围；
(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点). 解 (1)由题意知m≠0，
1
可设直线AB的方程为y＝－x＋b.
m
?由?1
y＝－?mx＋b
x22
＋y＝1，2
消去y，
11?22b2得??2＋m2?x－mx＋b－1＝0.
1x224
因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋2＞0，①
m2m2mbmb
将线段AB中点M?m2＋2，m2＋2?
??1
代入直线方程y＝mx＋，
2m2＋2
解得b＝－，②
2m2由①②得m＜－
66或m＞. 33
2
166
(2)令t＝∈?－，0?∪?0，?，
m?22???
－2t4＋2t2＋
则|AB|＝t2＋1·1
t＋
2
2
32
，
t2＋
且O到直线AB的距离为d＝
. t2＋1
12
设△AOB的面积为S(t)， 11
所以S(t)＝|AB|·d＝
22
12
t2－?2＋2≤. －2??2?2
1
当且仅当t2＝时，等号成立.
2故△AOB面积的最大值为
2. 2
x2y23
5.(2016·北京)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB
ab2的面积为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值.
c31
(1)解 由已知＝，ab＝1.
a22
又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，c＝3. x22
∴椭圆C的方程为＋y＝1.
4(2)证明 由(1)知，A(2，0)，B(0，1). x20设椭圆上一点P(x0，y0)，则＋y20＝1. 4当x0≠0时，直线PA方程为y＝令x＝0得yM＝
－2y0
. x0－2
y0(x－2)， x0－2
2y0从而|BM|＝|1－yM|＝?1＋x－2?.
??0y0－1
直线PB方程为y＝x＋1，
x0令y＝0得xN＝
－x0
. y0－1
x0∴|AN|＝|2－xN|＝?2＋y－1?.
??0
x0?x0＋2y0－2? ?1＋2y0?＝?x0＋2y0－2?·∴|AN|·|BM|＝?2＋y－1?·???x0－2??y0－1??x0－2?0x0＋4y0＋4x0y0－4x0－8y0＋4??4x0y0－4x0－8y0＋8?＝?＝＝4.
x0y0－x0－2y0＋2???x0y0－x0－2y0＋2?当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2， ∴|AN|·|BM|＝4. 故|AN|·|BM|为定值.
2
2
高考必会题型
题型一 利用椭圆的几何性质解题
x2y21
例1 如图，焦点在x轴上的椭圆＋2＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，
4b2→→
P是椭圆上任意一点，求PF·PA的最大值和最小值.
解 设P点坐标为(x0，y0).由题意知a＝2， c1
∵e＝＝，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.
a2x2y2
所求椭圆方程为＋＝1.
43∴－2≤x0≤2，－3≤y0≤3.
→
又F(－1，0)，A(2，0)，PF＝(－1－x0，－y0)， →
PA＝(2－x0，－y0)，
121→→22
∴PF·PA＝x0－x0－2＋y20＝x0－x0＋1＝(x0－2). 44→→当x0＝2时，PF·PA取得最小值0， →→当x0＝－2时，PF·PA取得最大值4.
点评 熟练掌握椭圆的几何性质是解决此类问题的根本，利用离心率和椭圆的范围可以求解范围问题、最值问题，利用a、b、c之间的关系和椭圆的对称性可构造方程.
x2y2
变式训练1 如图，F1、F2分别是椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，
abB是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若△AF1B的面积为403，求椭圆C的方程. 解 (1)由题意可知，△AF1F2为等边三角形， 1a＝2c，所以e＝. 2
(2)方法一 a2＝4c2，b2＝3c2， 直线AB的方程可为y＝－3(x－c)，
将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2， 833得B(c，－c)，
55
816所以|AB|＝1＋3·|c－0|＝c，
551
由S?AFB＝|AF1|·|AB|sin ∠F1AB
21183232
＝a·a·＝a＝403， 2525
x2y2解得a＝10，b＝53，所以椭圆C的方程为＋＝1.
10075方法二 设|AB|＝t，因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a， 由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t， 再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos 60°可得， 81
t＝a，由S?AFB＝|AF1|·|AB|sin ∠F1AB 521183232＝a·a·＝a＝403知，a＝10，b＝53， 2525x2y2所以椭圆C的方程为＋＝1.
10075题型二 直线与椭圆相交问题
x2y22
例2 (2015·课标全国Ⅱ)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，点(2，2)在C上.
ab2(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值. a2－b2242
(1)解 由题意得＝，2＋2＝1，
a2ab解得a2＝8，b2＝4.
x2y2
所以椭圆C的方程为＋＝1.
84
(2)证明 设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM). x2y2
将y＝kx＋b代入＋＝1，得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.
84故xM＝
x1＋x2－2kbb
＝2，yM＝k·xM＋b＝2. 22k＋12k＋1
yM1
于是直线OM的斜率kOM＝＝－，
xM2k1
即kOM·k＝－. 2
所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
点评 解决直线与椭圆相交问题的一般思路：将直线方程与椭圆方程联立，转化为一元二次方程，由判别式范围或根与系数的关系解决.求范围或最值问题，也可考虑求“交点”，由“交点”在椭圆内(外)，得出不等式，解不等式.
x2y23
变式训练2 椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，且过其右焦点F与长轴垂直的直线被椭
ab2圆C截得的弦长为2. (1)求椭圆C的方程；
(2)设点P是椭圆C的一个动点，直线l：y＝的最大值.
33
x＋与椭圆C交于A，B两点，求△PAB面积42
x2y23
解 (1)∵椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，
ab2c3
∴e＝＝，∴2c＝3a，即4c2＝3a2，
a2
又∵过椭圆右焦点F与长轴垂直的直线被椭圆C截得的弦长为2， 32a4c11
∴2＋2＝1，∴2＋2＝1， abab
2
即b2＝4，又a2－b2＝c2，
3
∴a2＝b2＋c2＝4＋a2，即a2＝16，
4x2y2
∴椭圆C的方程为＋＝1.
164(2)联立直线l：y＝33
x＋与椭圆C的方程， 42
?y＝43x＋23，得?xy?16＋4＝1
2
2
消去y，
整理可得7x2＋12x－52＝0，
26
即(7x＋26)(x－2)＝0，解得x＝2或x＝－，
7∴不妨设A(2，3)，B(－则|AB|＝
?2＋
2633，－)， 77
26233210?＋?3＋?＝19， 777
设过P点且与直线l平行的直线L的方程为y＝即△PAB的边AB上的高，只要L与椭圆相切， 就有L与边AB的最大距离，即得最大面积. 3x2y2
将y＝x＋C代入＋＝1，
4164
消元整理可得：7x2＋83Cx＋16C2－64＝0，
3
x＋C，L与l的距离就是P点到AB的距离， 4
令判别式Δ＝(83C)2－4×7×(16C2－64)＝－256C2＋28×64＝0， 解得C＝±
28×64
＝± 7. 256
|－7－∴L与AB的最大距离为
?3|2
219?27＋3?
，
19
32
?＋14
＝
219?27＋3?10110
∴△PAB面积的最大值为×19×＝(27＋3).
27197题型三 利用“点差法，设而不求思想”解题
x2y25例3 已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的一个顶点为B(0，4)，离心率e＝，直线l交椭圆于M，N
ab5两点.
(1)若直线l的方程为y＝x－4，求弦|MN|的长；
(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式. c5c21
解 (1)由已知得b＝4，且＝，即2＝，
a5a5a2－b21
∴2＝，解得a2＝20，
a5x2y2
∴椭圆方程为＋＝1.
2016
则4x2＋5y2＝80与y＝x－4联立， 消去y得9x2－40x＝0，∴x1＝0，x2＝∴所求弦长|MN|＝1＋12|x2－x1|＝
40， 9
402
. 9
(2)如图，椭圆右焦点F的坐标为(2，0)，设线段MN的中点为Q(x0，y0)，
→→
由三角形重心的性质知BF＝2FQ，
又B(0，4)，∴(2，－4)＝2(x0－2，y0)，故得x0＝3，y0＝－2， 即得Q的坐标为(3，－2). 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4， x2y2x2y21122且＋＝1，＋＝1， 20162016以上两式相减得∴kMN＝
?x1＋x2??x1－x2??y1＋y2??y1－y2?
＋＝0，
2016
y1－y24x1＋x2466
＝－·＝－×＝，
5y1＋y25－45x1－x2
6
故直线MN的方程为y＋2＝(x－3)，
5即6x－5y－28＝0.
点评 当涉及平行弦的中点轨迹，过定点的弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程时，用“点差法”来求解.
x2y21变式训练3 已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)，焦点在直线x－2y－2＝0上，且离心率为. ab2(1)求椭圆方程；
(2)过P(3，1)作直线l与椭圆交于A，B两点，P为线段AB的中点，求直线l的方程. x2y2
解 (1)∵椭圆2＋2＝1(a>b>0)，
ab焦点在直线x－2y－2＝0上， ∴令y＝0，得焦点(2，0)，∴c＝2， c121
∵离心率e＝＝，∴＝，
a2a2解得a＝4，∴b2＝16－4＝12， x2y2
∴椭圆方程为＋＝1.
1612(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵过P(3，1)作直线l与椭圆交于A，B两点， P为线段AB的中点，
∴由题意，x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，
??xy
?16＋12＝1，
2222x2y211＋＝1，1612
∴
?x2－x1??x2＋x1??y2－y1??y2＋y1?
＋＝0，
1612
y2－y19＝－，
4x2－x1
∴kl＝
9
∴l的方程为y－1＝－(x－3)，
4即9x＋4y－31＝0.
高考题型精练
1.(2016·课标全国乙)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长1
的，则该椭圆的离心率为( ) 4
1123A. B. C. D. 3234答案 B
11解析 如图，由题意得，BF＝a，OF＝c，OB＝b，OD＝×2b＝b.
42
在Rt△OFB中，|OF|×|OB|＝|BF|×|OD|， 1
即cb＝a·b，代入解得a2＝4c2，
2c1
故椭圆离心率e＝＝，故选B.
a2
x2y2
2.已知椭圆＋＝1，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点A(1，1)为椭圆内一点，点P为椭圆
95上一点，则|PA|＋|PF1|的最大值是( ) A.6 B.6＋22C.6－2 D.6＋2 答案 D
解析 |PA|＋|PF1|＝|PA|＋2a－|PF2|≤2a＋|AF2|＝6＋2， 当P，A，F2共线时取最大值，故选D.
x2y2
3.已知椭圆＋＝1的右焦点为F，P是椭圆上一点，点A(0，23)，当△APF的周长最大时，
95直线AP的方程为( ) A.y＝－
3
x＋23 3
B.y＝3x＋23 3
C.y＝－3x＋23 答案 D
D.y＝3x＋23
x2y2
解析 椭圆＋＝1中a＝3，b＝5，c＝a2－b2＝2，
95
由题意，设F′是左焦点，则△APF周长＝|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2a－|PF′| ＝4＋6＋|PA|－|PF′|≤10＋|AF′|
(A，P，F′三点共线，且P在AF′的延长线上时，取等号)，
直线AP的方程为
xy＋＝1， －223
即y＝3x＋23，故选D.
x2y2
4.如果椭圆＋＝1的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是( )
369A.x－2y＝0 C.2x＋3y－14＝0 答案 D
解析 设这条弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
B.x＋2y－4＝0 D.x＋2y－8＝0
?
斜率为k，则?xy
?36＋9＝1，
2222x2y211＋＝1，369
两式相减再变形得
x1＋x2y1＋y2
＋k＝0， 369
1
又弦中点坐标为(4，2)，故k＝－，
2
1
故这条弦所在的直线方程为y－2＝－(x－4)，
2整理得x＋2y－8＝0，故选D.
x2y2
5.设F1、F2分别是椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点
ab在y轴上，若∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为( ) A.
3311
B. C. D. 3636
答案 A
解析 ∵线段PF1的中点在y轴上，
设P的横坐标为x，F1(－c，0)，∴－c＋x＝0， ∴x＝c，∴P与F2的横坐标相等， ∴PF2⊥x轴，
1∵∠PF1F2＝30°，∴|PF2|＝|PF1|，
22
∵|PF2|＋|PF1|＝2a，∴|PF2|＝a，
32a
|PF2|33
tan ∠PF1F2＝＝＝，
|F1F2|2c3ac3∴＝3，∴e＝＝. ca3
x2y2
6.过点M(0，1)的直线l交椭圆C：＋＝1于A，B两点，F1为椭圆的左焦点，当△ABF1周长
43最大时，直线l的方程为______________.
答案 x＋y－1＝0
解析 设右焦点为F2(1，0)，则|AF1|＝4－|AF2|，|BF1|＝4－|BF2|， 所以|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝8＋|AB|－(|AF2|＋|BF2|)， 显然|AF2|＋|BF2|≥|AB|，
当且仅当A，B，F2共线时等号成立，
所以当直线l过点F2时，△ABF1的周长取最大值8， 此时直线方程为y＝－x＋1，即x＋y－1＝0.
x2y2
7.(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝
abb
与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________. 2
答案
6 3
x2y2
＋＝1，a2b2?
解析 联立方程组?b
y＝?2，B?－
解得B、C两点坐标为
?
3b??3a，b?，又F(c，0)，
a，，C22?2??2
3b3b→→
则FB＝?－a－c，?，FC＝?a－c，?，
2?2??2?2→→
又由∠BFC＝90°，可得FB·FC＝0，代入坐标可得： 32b2
c－a＋＝0，
44
2
①
又因为b2＝a2－c2. c22代入①式可化简为2＝，
a3c
则椭圆离心率为e＝＝a
26＝. 33
x2y2→→
8.P为椭圆＋＝1上的任意一点，AB为圆C：(x－1)2＋y2＝1的任一条直径，则PA·PB的取值
98范围是________. 答案 [3，15]
解析 圆心C(1，0)为椭圆的右焦点， →→→→→→PA·PB＝(PC＋CA)·(PC＋CB)
→→→→→→→＝(PC＋CA)·(PC－CA)＝PC2－CA2＝|PC|2－1，
→
显然|PC|∈[a－c，a＋c]＝[2，4]， →→→2
所以PA·PB＝|PC|－1∈[3，15].
9.设椭圆的中心为原点O，焦点在x轴上，上顶点为A(0，2)，离心率为(1)求该椭圆的标准方程；
(2)设B1(－2，0)，B2(2，0)，过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程. x2y2
解 (1)设椭圆的标准方程为2＋2＝1(a>b>0)，
abc2b24∵＝5，∴1－2＝， a5a5b21
即2＝，又∵b2＝4，∴a2＝20， a5
x2y2
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
204(2)由题意知直线l的倾斜角不为0， 故可设直线l的方程为：x＝my－2. 代入椭圆方程得(m2＋5)y2－4my－16＝0， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则y1＋y2＝
4m16
，y1·y2＝－2， 2m＋5m＋5
2
5. 5
→→
又B2P＝(x1－2，y1)，B2Q＝(x2－2，y2)，
→→所以B2P·B2Q＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2
16?m2＋1?16m216m2－64＝(m＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16＝－－2＋16＝－2，
m2＋5m＋5m＋5
2
→→
由PB2⊥QB2得B2P·B2Q＝0， 即16m2－64＝0，解得m＝±2，
∴直线l的方程为x＝±2y－2，即x±2y＋2＝0.
10.(2016·课标全国乙)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过点B作AC的平行线交AD于点E. (1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过点B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.
解 (1)因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.
又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.
x2y2
由题设得A(－1，0)，B(1，0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：＋＝1(y≠0).
43
(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2). y＝k?x－1?，??22由?xy得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0. ??4＋3＝1
4k2－128k2则x1＋x2＝2，xx＝，
4k＋3124k2＋312?k2＋1?
所以|MN|＝1＋k|x1－x2|＝.
4k2＋3
2
1
过点B(1，0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)，
k点A到m的距离为
2
， k2＋1
4k2＋3
. k2＋1
11＋2.
4k＋3
所以|PQ|＝2
?2?2＝44－
?k2＋1?
2
1
故四边形MPNQ的面积S＝|MN||PQ|＝12
2
可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12，83).
当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12. 综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12，83).
x2y2
11.(2015·安徽)设椭圆E的方程为2＋2＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点
abB的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为(1)求椭圆E的离心率e；
(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点， 证明：MN⊥AB.
2ab?(1)解 由题设条件知，点M的坐标为??3，3?， 又kOM＝
5b5，从而＝. 102a10
5
. 10
c25
进而a＝5b，c＝a2－b2＝2b，故e＝＝. a5
aba5b→
，－?，可得NM＝?，?， (2)证明 由N是AC的中点知，点N的坐标为?2??2?66?→
又AB＝(－a，b)，
151→→
从而有AB·NM＝－a2＋b2＝(5b2－a2).
666由(1)的计算结果可知a2＝5b2， →→
所以AB·NM＝0，故MN⊥AB.