《线性代数(经济数学2）》课程习
题集
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习题
【说明】：本课程《线性代数(经济数学2）》（编号为01007）共有计算题1,计算题2,计算题3,计算题4,计算题5等多种试题类型，其中，本习题集中有[计算题5]等试题类型未进入。
一、计算题1
1023?10求余子式21. 设三阶行列式为D?1?1M11，M12，M13及代数余子式A11，A12，A13．
2. 用范德蒙行列式计算4阶行列式
11392717493431?515?12541664 D4?
3. 求解下列线性方程组：
?x1?a1x2?a12x3???a1n?1xn?1?2n?1?x1?a2x2?a2x3???a21xn?1 ?
?????x?ax?a2x???an?1x?1n2n3nn?1 其中 ai?aj(i?j,i,j?1,2,?,n)
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??x1?x2?x3?0?4. 问?? ?取何值时? 齐次线性方程组?x1??x2?x3?0有非零解？
?x?2?x?x?023?1?(1??)x1?2x2?4x3?0?5. 问?取何值时? 齐次线性方程组?2x1?(3??)x2?x3?0有非零解？
?x?x?(1??)x?023?1
二、计算题2
120?2?41?1101?2314111025365?8?220?14?56. 计算D?31?2的值。
7. 计算行列式D??231的值。
0101111018. 计算D?111的值。
1991199219939. 计算行列式199419951996的值。
199741251202119984207199910. 计算
1100的值。
11. 求满足下列等式的矩阵X。
??2??31?1??1???2X???1??14?1?3?? ?3?第 2 页 共 26 页
12. A为任一方阵，证明A?13. 设矩阵
?1 A????2?21TTA，AA均为对称阵。
?1?3? ?B??02???3?2100??1? ?1?? 求AB．
14. 已知
?1 A???1??1?2??1?3? ?B??3?1??2?1022?113??1? 2?? 求(AB)T和BTAT
15. 用初等变换法解矩阵方程 AX=B 其中
?1? A??0?1?12?1?1??1??2? B??1?20????1??1? 1??16. 设矩阵
?3??5 A??0??0??2?30000310??0? 4??2??求A?1
?1?17. 求A??1?1?1211??1?的逆。 3??18. 设n阶方阵A可逆，试证明A的伴随矩阵A*可逆，并求(A*)?1。 19. 求矩阵
?5??2A??0??0?210000110??0? ?2??1??第 3 页 共 26 页
的逆。 ?1?20. 求矩阵?3?5?24?4?1???2的逆。 ?1??
三、计算题3 21. 设矩阵
?1??0 A??2??1?1201213025?141???1? 3???1?? 求矩阵A的秩R(A)。
22. 求向量组?1,?2,?3,?4的秩。其中，?1?4?(3,2,?4)。
?(1,0,?1)，?2?(?2,3,1)，?3?(2,1,?1)，
23. 设向量组?1，?2，?3可由向量组?1，?2，?3线性表示。
??1??1??2??3???2??1??2??3 ??3???1??2??3
试将向量?1，?2，?3 由 ?1，?2，?3线性表示。
24. 问a取什么值时下列向量组线性相关？
a1?(a? 1? 1)T? a2?(1? a? ?1)T? a3?(1? ?1? a)T?
25. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组?
a1?(1? 2? ?1? 4)T? a2?(9? 100? 10? 4)T? a3?(?2? ?4? 2? ?8)T。
四、计算题4 26. 求线性方和组的解
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?x1?x2?2x3?3? ??x1?3x2?x3??1
?2x2?x3?2?27. 求解下列线性方程组
?x1?2x2?x3?3x4?x5?2? ?2x1?4x2?2x3?6x4?3x5?6
??x?2x?x?x?3x?412345?28. 当a、b为何值时，线性方程组
?x1?x2?x3?x4?x5?a??3x1?2x2?x3?x4?3x5?0 ?x?2x?2x?6x?b2345??5x?4x?3x?3x?x?22345?1有解，当其有解时，求出其全部解。
?x1?2x2?5x3?2x4?0?29. 求解齐次线性方程组?2x1?x2?3x3?5x4?0
?5x1?7x2?x4?0?30. 求非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系?
?x1?x2?5? ?2x1?x2?x3?2x4?1
?5x?3x?2x?2x?3234?131. 试用正交变换法将下列二次型化为标准形，并求出变换阵．
2 f(x1,x2,x3)?2x12?x2?4x1x2?4x2x3
32. 设矩阵
?1?A??0?1?0111??1? 2??求A的正交相似对角阵，并求出正交变换阵P。
33. 求一个正交变换将二次型f?2x12?3x22?3x33?4x2x3化成标准形。
34. 求一个正交变换将二次型f?x12?x22?x32?x42?2x1x2?2x1x4?2x2x3?2x3x4化成标准形。
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?2?35. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将对称阵??2?0??21?20???2化为对角阵。 ?0??五、计算题5 （略）……
答案
一、计算题1 1. 解： M11?1?11?123022302?4 A11?(?1)1?1M11?4，（3分）
M12??2 A12?(?1)1?2M12??2，（6分）
M13??5 A13?(?1)1?3M13?5，（8分）
2. 解： 对照范德蒙行列式，此处
a1=4，a2=3，a3=7，a4=-5 （3分） 所以有 D4?4?i?j?1?(ai?aj) （5分）
?(a2?a1)(a3?a1)(a4?a1)(a3?a2)(a4?a2)(a4?a3) ?(3?4)(7?4)(?5?4)(7?3)(?5?3)(?5?7) =10368 （8分）
3. 解：写出系数行列式D
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1a1a2???ana1a2an22a1a2ann?1n?1 D?1???1???2???n?1 （3分）
D为n 阶范德蒙行列式，据题设ai?aj(i?j) D??(ai?aj)?0 （5分）
1?i?j?n 由克莱姆法则知方程组有唯一解。 易知 D1?D,D2?0,...,Dn?0
?x1?1,x2?????xn?0 （8分）
4. 解 系数行列式为
? D?11111?????? （4分） 1?2? 令D?0? 得
??0或??1? （6分）
于是? 当??0或??1时该齐次线性方程组有非零解? （8分）
5. 解 系数行列式为
1???23??1411???1??21?3??1??0411?? D?21（4分）
?(1??)3?(??3)?4(1??)?2(1??)(?3+?) ?(1??)3?2(1??)2???3? （6分） 令D?0? 得
??0? ??2或??3?
于是? 当??0? ??2或??3时? 该齐次线性方程组有非零解? （8分）
二、计算题2 6. 解：
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（4分）
（8分）
（10分）
7. 解
（2分）
（4分）
（6分）
（8分） =-60（10分）
8. 解：
（5分）
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19911992199519981 （10分）
19931996（第3列减第2列）（3分） 19999. 解：对于行列式，使用性质进行计算。
有 199419971991?199419971991?19941997199219951998111（第2列减第1列）（6分） 111（由于2，3列对应相等）（8分） 11=0（10分）
4125142021?123424?123090172021?102?1401010. 解
1100c2?c31??????0c?7c10437104?110?123?102?14?(?1)4?3（5分）
0c2?c39?2??????0c1?1c231714 ?110?2?0?（10分） 1411. 解 将上述等式看成A?2X?B （2分）
由矩阵的加法及数乘矩阵的运算规律，得 A?B?2 ∴X?12X
(A?B)（4分）
=[?1?22??31?1?1???4???1??13?1?3??]（6分） ?3?第 9 页 共 26 页
=
1?6?22?2???404? （8分） ? =?3?11????202?（10分） ?12. 证：对称阵：
（20分）
（4分）
∴ 是对称阵. （6分）
（8分）
∴
是对称阵（10分）
13. 解 AB
（2分）
（8分）
（10分）
14. 解
（3分） ∴（6分）
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6分） （
而
（10分）
15. 解
（1分）
（3分）
（5分）
（7分）
（9分）
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∴ X=A-1
B
（10分）
16. 解：A3?21?5?3?1（2分）
A342?12?2 （4分）
A?11?1??32???32?1???53??????53? （6分） ??2? A?1?1?2?4??1?22???13????13?? （8分） ??22? 于是
??320?0??1 A?1?????530??0?A1A?1???001?? 2 （10分）
?2?????00?13??22??17. 解：
（3分）
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7分） （
∴ （10分）
18. 证： 因为A可逆，所以|A|≠0，（1分）
且A?1?1AA*
于是有 A*=|A|A-1 （3分）
对上式两边取行列式，并由方阵行列式性质（2）（注意|A|是一个数）得 |A*|=||A|A-1| =|A|n|A-1| （5分）
又因
|A|≠0 （∵A可逆，由定义知A可逆） ∴|A*|≠0
所以A*是可逆的． （6分）
因为
可知
?519. 解：令A1???2-1
-1
（8分）
（10分）
2??1?,A2??1??1?2??A1?，（2分）于是A??1??00?? A2? 则A?1?A1???00??A2??1?A1?1???00? （4分） ?1?A2??1?1 用伴随矩阵极易写出A1,A2
A1?1?1????2?2??（6分） 5? A2?11?1??3??1?12??3???1??1???32?3?? （8分） 1??3?第 13 页 共 26 页
?1?20. 解 A??3?5??A11? A*?A12??A?13 （10分）
24?4?1???1
?2? |A|?2?0? 故A存在? （2分）因为 ?1??A21A22A23A31???4??A32??13???A33????3213726140???1? （6分） ??2??所以 A?1??2?131?A*????2|A|??16?0??1??? （10分） 2??1??
三、计算题3
21. 解：对A作初等行变换，将它化为阶梯形，有
（2分）
（4分）
（6分）
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（8分）
最后阶梯形矩阵的秩为3，所以R(A)=3 （12分） 22. 解：把排成
的矩阵A（2分）
这是一个\下三角形\矩阵
（12分）
（8分）
23. 解：由上视为 的线性方程组，解出 来。
（2分）
（6分）
（10分）
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11??????1212?2?11?所以 ??2??2??3（12分）
22????1??1?313?22?24. 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A? （2分）由
a1a?11?1?a(a?1)(a?1)（8分） a |A|?11知? 当a??1、0、1时? R(A)?3? 此时向量组线性相关? （12分）
25. 解 由
9?1?2100 (a1, a2, a3)????110?4?4?2??1???4r0?~?2??0???8??098219?32?2??1??0r0?~?0??0??0??09100?2??0?? （7分） 0??0?知R(a1? a2? a3)?2? 因为向量a1与a2的分量不成比例? 故a1? a2线性无关? 所以a1? a2是一个最大无关组? （12分）
四、计算题4 26. 解：
（3分）
（6分）
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方程有解
（9分）
（12分）
视 x3为自由未知量，方程组有无数多个解（即解不唯一）（15分）
27. 解：
（3分）
（6分）
到此，r(A)?r(A)?3?n?5 ,导出组基础解系含5－2=3个基础解向量．导出组有2 个自由未知量．由最后的矩阵看取x2,x3为自由未知量．（8分） 写出同解方程组并把自由未知量移到等号右端（等号右端自由未知量以表示）得：
x1?3?2k1?k 2x2?0?k1
x3?k2 x4??1 x5?2（12分）
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?x1??x2 即 ?x3??x4??x5??3???2??1????????01??????0????0??k?0??k?1?（15分）
12??????????1??0??0?????????0??0???2?28. 解：
（3分）
时
（5分）
方程组有解（无穷多解）。（7分）
得一般解： 补齐
（10分）
用解向量形式表出为：
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（15分）
29. 解
?1?A??2?5?21?72?3?172?3121?3210210210010?5?302??（1分） 5?（第1行乘-2，-5分别加到第2，3行）
1???5725?57?17?5?177?5?17?44?5?171?501?5012??（2分） 1?（第2行乘-6加到第3行）
?9??2??（3分） 1?（第2行与第3行交换）
?15??2??（4分） ?15?（第2行乘3加到第3行）
1??2??1）（5分） ?15?（第3行乘?44?44??2??（6分） ?15?（第3行乘17加到第2行）
1??2??（7分） 2?（第2行乘-2加到第1行）
1???2??2?（第3行乘5加到第1行）（8分） 1???1???0?0??1???0?0??1???0?0??1???0?0??1? ??0?0??1???0?0??1???0?0?第 19 页 共 26 页
?1???0?0?0100013??2?（9分） 1??因为R(A)?3，n?r?4?3?1，且左上角化成了三阶单位方阵，所以基础解系中应
含有一个解向量．（10分）
与原方程同解的方程组有
?x1?0x2?0x3?3x4?0??0x1?x2?0x3?2x4?0（12分） ?0x?0x?x?x?01234?即
?x1??3x4??x2??2x4（15分） ?x??x4?330. 解 对增广矩阵进行初等行变换? 有
?1?B?2??5?1130120225??r1 ~?3???1? 0??0?0101?10001?8??13?（3分） ?2?? 与所给方程组同解的方程为
?x1??x3?8??x2? x3?13?（6分） ?x? 2?4 当x3?0时? 得所给方程组的一个解??(?8? 13? 0? 2)T? （9分） 与对应的齐次方程组同解的方程为
?x1??x3??x2? x3?（12分） ?x?0?4 当x3?1时? 得对应的齐次方程组的基础解系??(?1? 1? 1? 0)T? （15分）
31. 解
（2分）
（4分）
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