37．由概率密度函数的性质知，A?0??11F(x)???arcsinx??21?1?,P{?0.5?X?0.5}?13
x??1?1?x?1 x?138．由分布函数的右连续性，有limF(x)?1?Asinx??2???A
2P{X??6}?12
239．由于X~N(160,?)?P{120?X?200}?2?(查表得：
40?1.28,??31.25
240?)?1?0.8
?40．由题意知，X~N(2,40),P{X?30}??(0.7)??(0.8)?1
?0.75804?0.78814?1?0.54618
设Y=“测量三次误差绝对值不超过30的次数”，Y~B(3,0.54618)
P{Y?1}?1?P{Y?0}?0.9065345
21?y02??41．(1)f(y)?????11?y02?1?y?1y?1?? (2)f(y)?????0?y?1其它
42．C?2 43．(1)A?12,B?1?,(2)P{?a2?X?a2}?13，
??(3)f(x)?????1a2?a?x?a?x2
0x?a44． X p 1 37642 x?11?x?22?x?3 3?x?4x?419643 7644 164 ?0?37?64?56?F(x)??64?63??64??145．证明略
46．P{X?40}?0.64，设Ai(i?1,2,3)=“第i颗炸弹落在铁路两旁40米内”
，则有P(Ai)?0.64,i?1,2,3,A?A1?A2?A3 A?“铁路被破坏”
P(A)?0.953
?1?(1?y)247．p)??Y(y?e8?2??0y?1
y?1
第三章
1．记xi?i(i?1,2,3),yj?j(j?1,2,3)?p11?P{X?x1,Y?y1}?0
p12?P{X?x1,Y?y2}?P{X?1}P{Y?2|X?1}?14?23?16，类似地可得其它的概
率，列表如下： X Y y1?1 y2?2 y3?3 x1?1 x2?2 x3?3 0 16112161616 0 11216 2．利用联合概率密度的性质可得k=1，P{X?Y?2}
12???x?y?2f(x,y)dxdy??0dy?2?yxydx?1324
3．二维随机变量(X,Y)的分布律为
X Y 0 0 18 1 2 3 1 3 38 38 0 18 0
0 4．(1)A?6,(2)P{0?X?1,0?Y?2}?(1?e?(1?e?2x)(1?e?3y)(3)F(x,y)??0??1?5．f(x,y)??2??0?2)(1?e?6)
x?0,y?0其它
0?x?1,0?y?2其它
?0?1?xy?2F(x,y)??x?1y?2??1x?0或y?00?x?1,0?y?20?x?1,y?2x?0,0?y?2x?1,y?2320
6．c?214,P{X?Y}??2(1?x)?0
?1?y/2,fY(y)??0?0?y?2其它7．fX(x)??0?x?1其它
8．A?3,fX?3x2(x)???00?x?1其它?32?(1?y),fY(y)??2?0?0?y?1其它
9．X与Y是相互独立
10．（1）X与Y是相互独立的；（2）求P{X?120,Y?120}?0.091 11．（1）X与Y不是相互独立的；（2）P{X?Y?1}??25e?5y12．f(x,y)???00?x?0.2,y?0其它14
,P{Y?X}?0.3679
?2z13．利用分布函数求概率密度fZ(z)???0x???8(x)??1?e?0?20?z?1其它
14．FXix?0，所以P{max[X,X,X,X,X]?4}
12345x?0?1?(1?e?2)5?0.517
15．证明：（略）
?1?13?2?z?10z?100z??2500?6??13??1?4000216．fR(z)???200z?10z?z??6??2500?30???0?z?1010?z?20其它
?z?17．fZ(z)??2?z?0?0?z?11?z?2其它
18．fZ19． 1?z?1(z)???2?0X0?z?11?z?2其它,fZ2?3??z(z)??2??00?z?1其它
Y 0 0 12719 1 1929 2 1919 3 127 1 2 3
0 0 0 1912719 0 0 0 20．（1）P{X?Y?1}?0.9028；
?1?3???（2）F(x,y)???????xy?31122312x?x33112y?y12310xy220?x?1,0?y?20?x?1,y?2
x?1,0?y?2x?0,y?2其它1?2?y?,fY(y)??33?0?（3）fX8?2?2x?x(x)??3?0?0?x?1其它0?y?2其它
（4）X与Y不相互独立
?2?x(x)???00?x?1其它?1?y?,fY(y)??1?y?0?0?y?1?1?y?0其它21．fX
22．证明：
kkP{Z?k}?P{X?Y?k}??i?0P{X?i,Y?k?i}??i?0P{X?i}P{y?k?i}
概率论与数理统计
习题及题解
沈志军 盛子宁
第一章 概率论的基本概念
1．设事件A,B及A?B的概率分别为p,q及r，试求P(AB),P(AB),P(AB)及
P(AB)
2．若A,B,C相互独立，试证明：A,B,C亦必相互独立。
3．试验E为掷2颗骰子观察出现的点数。每种结果以(x1,x2)记之，其中x1,x2分别表示第一颗、第二颗骰子的点数。设事件A?{(x1,x2)|x1?x2?10}， 事件B?{(x1,x2)|x1?x2}。试求P(B|A)和P(A|B)
4．某人有5把钥匙，但忘了开房门的是哪一把，只得逐把试开。问：（1）恰好第三次打开房门锁的概率？（2）三次内打开的概率？（3）如果5把里有2把房门钥匙，则在三次内打开的概率又是多少？
5．设有甲、乙两袋，甲袋中装有n个白球、m个红球，乙袋中装有N个白球、M个红球。今从甲袋中任意取一个放入乙袋中，再从乙袋中任意取一个，问取到白球的概率是多少？
6．在时间间隔5分钟内的任何时刻，两信号等可能地进入同一收音机，如果两信号进入收音机的间隔小于30秒，则收音机受到干扰。试求收音机不受干扰的概率？
7．甲、乙两船欲停靠同一码头，它们在一昼夜内独立地到达码头的时间是等可能的，各自在码头上停留的时间依次是1小时和2小时。试求一船要等待空出码头的概率？
8．某仓库同时装有甲、乙两种警报系统，每个系统单独使用的有效率分别为0.92,0.93,
在甲系统失灵的条件下乙系统也失灵的概率为0.15。试求下列事件的概率：（1）仓库发生意外时能及时发出警报；（2）乙系统失灵的条件下甲系统亦失灵？
9．设A,B为两随机变量，试求解下列问题：
（1） 已知P(A)?P(B)?1/3,P(A|B)?1/6。求：P(A|B)； （2） 已知P(A)?1/4,P(B|A)?1/3,P(A|B)?1/2。求：P(A?B)。
10．先把长为l的木棍折断为两部分，再把较大的那一部分折断成两部分。试求所得三部分能成三角形的概率？
11．甲、乙、丙三人向同一飞机射击，假设他们的命中率都是0.4。又若只有一人命中时，飞机坠毁的概率为0.2；若恰有二人命中时，飞机坠毁的概率为0.6；若三人同时命中，则飞机必然坠毁。试求：（1）飞机坠毁的概率；（2）若飞机已经坠毁，则坠毁的飞机是因为恰有二人命中的概率？
12．今有９门高射炮独立地向一飞机射击，每门炮能击中飞机的概率为0.6。（１）同时各射一弹，试求飞机被击中的概率；（２）欲以99％以上的把握击中飞机，试问至少要布置多少门炮同时射击？
13．某工厂有职工4745名，每名职工生日在一年中某一天的概率为1/365，试求下列事件的概率：（１）恰有４名职工生日在同一天(A)；（２）至少有４名职工生日在同一天（B）？
14．假设飞机的每个发动机在飞行中出现故障的概率为1?p，且各发动机故障与否是相互独立的。如果至少有50%的发动机正常，飞机可成功飞行。问对于多大的p，４个发动机比２个发动机更为保险？
15．设事件A,B,C满足：
P(A)?P(B)?P(C)?1/4,P(AC)?1/8,P(AB)?P(BC)?0
试求A,B,C三事件至少有一发生的概率？
16．某地区气象资料表明，邻近的甲、乙两城市中的甲市全年雨天比例为12%，乙市全年雨天比例为９％，甲、乙两市至少的一城市为雨天比例为16.8%，试求下列事件的概率：（１）甲、乙两市同为雨天；（２）在甲市雨天的条件下乙市亦为雨天；（３）在乙市无雨的条件下甲市亦无雨？
17．某地以英文字母及阿拉伯数字组成７位牌照。试求下列事件的概率：（１）牌照的前２位是英文字母、后５位是阿拉伯数字（A）；（２）牌照中有２位是英文字母、另外５位是阿拉伯数字（B）？
18．甲、乙两个乒乓球运动员进行单打比赛，如果每赛一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，比赛既可采用三局两胜制，也可以采用五局三胜制，问采用哪种赛制对甲更有利？
19．平面上画有平行线若干、其间距交替地等于1.5厘米及8厘米。今任意地向平面投掷一半径为2.5厘米的圆片。试求该圆与任一平行线不相交的概率？
20．甲、乙两人相约于一小时内在某地会面，商定先到者等候10分钟，过时即可离去。试求他们能会到面的概率？
21．平面上画有距离为a(a?0)的平行线若干条。今向此平面任意投一长为l(l?a)的小针。试求小针与平行线之一相交的概率？
22．若A,B相互独立，则（1）A,B独立；（2）A,B独立；（3）A,B独立。
23．当掷五枚硬币时，已知至少出现两个正面，求正面数刚好是三个的条件概率？
24．掷三颗骰子，若已知没有两个相同的点数，试求至少有一个一点的概率？
25．设事件A,B的概率分别为
13和
12，试求下列三种情况下P(AB)的值：
18（1）A与B互斥；（2）A?B；（3）P(AB)?
26．将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球数的最大值分别为1，2，3的概率？
27．袋中有12个球，其中8个白球，4个黑球，现从中任取两个，求：（1）两个均为白球的概率？（2）两个球中一个是白的，另一个是黑球的概率？（3）至少有一个黑球的概率？
28．将10本书随意放在书架上，求：其中指定的5本书放在一起的概率？
29．甲、乙二班共有70名同学，其中女同学40名，设甲班有30名同学，而女生15名，求：在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率？
30．设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱、3箱、2箱，三厂产品的次品率依次为0.1,0.2,0.3，从这10箱中任取一箱，再从这箱中任取
一件产品，求：取得正品的概率？
31．某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一型号的螺钉，各车间的产量分别占该厂螺钉产品的25%，35%，40%，各车间成品中次品分别为各车间产量的5%，4%，2%，今从该厂的产品中任取一个螺钉经检查发现是次品，问它是甲、乙、丙三个车间生产的概率是多少？
32．有产品100件，其中10件次品，90件正品。现从中任取3件，求：其中至少有一件次品的概率？
33．100人参加数理化考试，其结果是：数学10人不及格，物理9人不及格，化学8人不及格，数学、物理两科都不及格的有5人，数学、化学两科都不及格的有4人，物理、化学两科都不及格的有4人，三科都不及格的有2人。问全部及格的有多少人？
34．两台机器加工同样的零件，第一台机器的产品次品率是0.05，第二台机器的产品次品率是0.02。两台机器加工出来的零件放在一起，并且已知第一台机器加工的零件数量是第二台机器加工出来的零件数量的两倍。从这些零件中任取一件，求：此零件是合格品的概率？如果任意取出一件，经检验是次品，求：它是由第二台机器生产的概率？
35．有枪8支，其中5支经过试射校正，3支未经过试射校正。校正过的枪，击中靶的概率是0.8；未经校正的枪，击中靶的概率是0.3。今任取一支枪射击，结果击中靶，问此枪为校正过的概率是多少？
36．某射手射击一发子弹命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3。求：该射手射击三发子弹而得到不小于29环成绩的概率？
P(AB),P(A?B),P(A?B)及P(AB) 37．设A?B,P(A)?0.1,P(B)?0.5，试求：
38．已知P(A)?0.7,P(A?B)?0.3，求：P(AB)
39．某举重运动员在一次试举中能打破世界纪录的概率是p，如果在比赛中他试举三次，求：他打破世界纪录的概率？
40．工厂生产的某种产品的一级品率是40%，问需要取多少件产品，才能使其中至少有一件一级品的概率不小于95%？
41．假设每个人的生日在任何月份内是等可能的，已知某单位中至少有一个人的生日在一月份的概率不小于0.96，问该单位有多少人？
42．从5双不同尺码的鞋子中任取4只，问4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？
43．仪器中有三个元件，它们损坏的概率是0.1，并且损坏与否相互独立。当一个元件
损坏时，仪器发生故障的概率是0.25；当两个元件损坏时，仪器发生故障的概率是0.6；当三个元件损坏时，仪器发生故障的概率是0.95；当三个元件都不损坏时，仪器不发生故障。求：仪器发生故障的概率？
44．在套圈游戏中，甲、乙、丙每投一次套中的概率分别是0.1,0.2,0.3，已知三个人中某一个人投圈4次而套中一次，问此投圈者是谁的可能性最大？
45．在40个同规格的零件中误混入8个次品，必须逐个查出，求：正好查完22个零件时，挑全了8个次品的概率？
46．设事件A与B相互独立，两事件中只有A发生及只有B发生的概率都是
P(A)与P(B)
14，求
第二章 随机变量及其分布
1．一大楼装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻：（1）恰有2个设备被使用的概率？（2）至少有3个设备被使用的概率？（3）至多有3个设备被使用的概率？
2．设有一批产品共100件，其中有95件正品，5件次品。现从中随机地抽取10件，试以观察抽得的次品数为随机变量，写出其分布律，并求次品数X不超过3的概率？
3．设X的分布律为 X 0 1 2 p 0.3 0.6 0.1 求X的分布函数？
4．设随机变量X的分布函数为F(x)?A?Barctanx,(???x???)。试求：（1）系数A,B；（2）X落在（-1，1）内的概率？（3）X的概率密度？
5．设随机变量X服从??0.015的指数分布，试求：（1）P{X?100}； （2）若要P{X?x}?0.1，则x应在什么范围内？
42．P(A)?C5C4C2C2?C5C10412112?1321
43．设Ai?“仪器中有i个元件损坏”（i?0,1,2,3），B?“仪器发生故障” 显然，Ai,i?0,1,2,3构成完备事件组，由全概率公式得：P(B)=0.0728 44．设Ai=“投圈者是第i个人”（i?1,2,3），B?“投4次圈套中一次”
P(B)?0.3709,P(A1B)?0.262,P(A2B)?0.368,P(A3B)?0.370，可见丙的可能性最
大。
45．设A?“逐个不放回检查21次查出7个次”，B?“第22次检查出一个次品”
P(A)?C8C40?8C4021721?7?0.028728,P(BA)?119,P(AB)?0.001512
1246．可证：P(A)?P(B),P(A)?P(A)?214,?P(A)?12,P(B)?
第二章
1．设同一时刻被使用的供水设备数为随机变量X，则X~B(5,0.1)。于是 （1）P{X?2}?0.0729，（2）P{X?3}?0.0086,(3)P{X?3}?0.9995 2．X的分布律为 1 2 3 `4 5 X 0 P 0.5837 0.3394 0.0702 0.0064 0.0003 0.0000 P{X?3}?0.9997
?0??0.33．F(x)???0.9?1?x?00?x?11?x?2x?212,B?1,P{?1?x?1}?12
4．F(??)?1,F(??)?0?A?1?
f(x)??(1?x)2,(???x???)
5．(1)P{X?100}?e
?1.5?0.22,(2)?0.015x?ln0.1?x?153.5
0??116．F(x)??(x1?x2?arcsinx)?2??1?????7．F(x)??2x???2??0x2???x??1?1?x?1x?1
x?00?x?12?2x?11?2x?0
1?x?2x?20?x?1其它,(3)P{0.3?X?1.3}?1?0.09?0.91
8．(1)k?1,(2)f(x)???2x?9．(1)f(x)??25??00?x?5其它,(2)P{3?X?6}?1625
?1xe?211?110．k?;P{0?X?1}?(1?e)?0.316;F(x)??122?1?e?x2?x?0
x?011．(1)827;(2)49
12．（1）Y?2X?1的分布律为 -1 Y 1 12（2）Y?(X?1)的分布律为
Y 1 143 165 1127 512 P 13．Y?sinX的概率密度为
??fY(y)?????21?y02?1?14．（1）fY(y)??y?0?15．随机变量Y?cosX的概率密度为
??fY(y)?????21?y022??(lne?16．(1)fY(y)??y2??0???(2)fY(y)????22?02
1??(y?1)/4e?17．fY(y)??2?(y?1)?0?218．设功率W?2I的概率密度为fW(w)，I的概率密度为fI(i)，则据题意有
P20 161 134 12 0?y?1其它
?1?y1?y?e?e2,(2)fY(y)??2?0其它?y?0y?0
0?y?1其它2
y)/2y?0y?0
e?y/2y?0y?0
y?1y?1
?1??1/2fI(i)??11?9?0??121/2?()(w)??8w?0?13f(y9?i?11其它，所以
fW162?w?242其它1/3
19．fY(y)?)y?2/3,y?0
?1??3y?2/3??eyfY(y)??3?0?y?0y?0
?13?y?ye20．两周的需要量的概率密度为：f(y)??6?0??15?z?ze三周的需要量的概率密度为：f(z)??120?0??1?00?y?1其它y?0y?0
z?0z?0
21．fY(y)??
22．P{|X|?3}=0.8414, c=5 23．P{X?k}?2k?136k?1,k?1,2,3,4,5,6
?1?24．P{X?k}????4?34,k?1,2,?.
25．（1）常数c为6；（2）P{0?X?0.5}=1/4；（3）X的分布函数为
0??23F(x)??3x?2x?1?x?00?x?1x?1
26．在30秒内1次呼唤也没有接到的概率为0.6040 27．射击次数的分布律为：P{X?k}?pqk?1,(k?1,2,3,?),q?1?p
28．由题设知，X的可能取值是0，1，2 服从超几何分布，它的概率分布为
P{X?k}?C2C3C52k3?k(k?0,1,2)
29．设X=“射击30次打中目标的次数”，由题设知，X~B(30,0.8)，
至少打中目标两次的概率是
P{X?2}?1?P{X?0}?P{X?1}?1?24.2?(0.2)29
30．设X=“到第一次击中目标为止所用射击次数”，则由题意知
P{X?k}?pqk?1(k?1,2,?,q?1?p)(q?0.2,p?0.8)
所求概率为P{X?5}?0.99968 31．C?2,P{0.5?X?4}?8081
23,P{Y??1}?13732．Y?cos(?X)的分布律为 P{Y?1}?
k33．设X=“此商品月销售件数”，则由题设知P{X?k}?k!e?7(k?0,1,2,?)
设N?“月初进货件数”，则不脱销的概率是P{X?N}?0.999
?N?16，则，月初进货件数不少于16件能使不脱销概率不小于0.999
34．设k?k0时P{X?k0}为最大，则有
P{X?k0}P{X?k0?1}P{X?k0?1}P{X?k0}?1?k0?np?p
?1?k0?np?p?1
则有：(n?1)p?1?k0?(n?1)p 一般地，当(n?1)p为正整数时
k0?(n?1)p或[(n?1)p?1] 当(n?1)p为非正整数时 k0?[(n?1)p]
35．X的可能取值是1,2,3,?在一次投掷中，2骰子都不出现6点的概率是
q?2536 在1次投掷中至少有1颗骰子出现6点的概率是p?1?q
k?1由题意知，服从几何分布，P{X?k}?pq(k?1,2,?)
36．设X=“100个工作小时内发生故障次数”，X~B(100,0.001)
P{X?2}?0.9998496
，当
15.已知随机变量X的分布函数为F(x)?A?Barctanx，则A? ，
B? ，P{X?1}? ，概率密度f(x)? 。
16.已知随机变量X~N(2,9)且P{X?C}?P{X?C}，则C? 。
?e?y17.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)???00?x?y其他
则X的边缘密度fX(x)? ，P{X?Y?1}? 。
18.已知Z?lnX服从正态分布，Z?lnX~N(?,?)，则E(X)? 。
19.若X1,X2,?,Xn是正态总体N(?,?)的容量为n的简单随机样本，则其均值为
X?1n22?nXi服从 。
i?1
20.设(X,Y)~N(?1,?2,?1,?2,?)，则(X,Y)的协方差矩阵为 ，
X,Y相互独立当且仅当 。
22
21.设随机变量X,Y相互独立，且D(X)?3,D(Y)?5，则D(2X?Y)? 。
22.设随机变量X~N(?3,1),Y~N(2,1),且X与Y相互独立，Z?X?2Y?7，则
Z~ 。
23.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)??12?cxy?00?x?1,0?y?1其他
则c? ，P{X?
}? 。
24.随机变量X~B(n,p),E(X)?2.4,D(X)?1.44,则此二项分布中参数
n? ，p? 。
25.设X与Y是两个相互独立的随机变量，且X在[0,2]上服从均匀分布，Y服从参数为2的指数分布，则E(XY)= ，D(X?2Y)? 。
26.投掷n枚骰子，则出现的点数之和的数学期望是 。
27.设随机变量X服从标准正态分布，Y?X?2n(n为正整数)，则X与Y的相关系数
XY= 。
28.设随机变量X与Y相互独立，且E(X)?E(Y)?0,D(X)?D(Y)?1,则
E[(X?Y)]? 。
2
29.设随机变量X~N(?1,?1),Y~N(?2,?2),且X与Y相互独立，则
(1)X?Y~ ，(2)22X?Y2~ 。
30.设随机变量X与Y相互独立，X~N(?1,?1),Y~N(?2,?2)，则
X?Y的概率密度函数是 。
22
31.设随机变量X与Y相互独立，其概率密度分别为
fX?2x(x)???00?x?1其他?e?(y?5),fY(y)???0y?5y?5
则E(XY)? 。
32.设随机变量X1,X2,X3相互独立，其中X1服从[0,6]上的均匀分布，X2服从正态分布N(0,4)，X3服从参数为??3的泊松分布，令Y?X1?2XE(Y)? ，D(Y)? 。
2?3X3， 则
33.设随机变量X的数学期望与方差分别为?与?，则由契比雪夫不等式，有
2P{X???3?}? 。
34.设X1,X2,?Xn是来自总体X的容量为n的简单随机样本，E(X)??,
1nnD(X)?8,X??i?1Xi，则由契比雪夫不等式得到P{X???4}? 。
?n表示事件A出35.设每次试验中事件A出现的概率为p，现独立重复进行n次试验，
现的次数，利用中心极限定理得P{a??n?b}? 。
36.设X1,X2,?Xn是来自正态总体N(?,?)的容量为n的样本，X为样本均值，则
X服从 。
237.设X1,X2,?Xn是来自正态总体N(?,?)的容量为n的样本，X为样本均值，则
nn2?i?1(Xi??)22?~ ，i?1(Xi?X)22??~ 。
38.设总体X~N(?,?)，且?已知，设X1,X2,?Xn是来自X的容量为n的样本，
X为样本均值，总体均值?的置信度为1??的置信区间 ??22X??是???n,X??????，则?? 。 n?
39.设X1,X2,?Xn是来自正态总体N(?,?)的容量为n的样本，其中参数?和
?22均未知，设X?1n?nXi，则检验假设H0:???0所用的统计量是 ，
i?1它服从 分布，自由度是 。
40.设X1,X2,?Xn是来自正态总体N(?,?)的容量为n的样本，其中参数?和
?22均未知，设X?1n?nXi，为检验假设H0:?2??0;H1:?22??20，则（1）所用的
i?1统计量是 ，（2）对于显著性水平?相应的拒绝域是 。
41.设随机变量X~N(?1,?1),Y~N(?2,?2),且X与Y相互独立，
22且?1,?1,?2,?2均未知。由X的样本为X1,X2,?,Xn122，由Y得到的样本为
Y1,Y2,?,Yn2，为检验假设H0:?1??222;H1:?1??222，应选取
检验，相应的统计量是 。
选择题
1.设0?p(A)?1,0?p(B)?1,P(A|B)?P(A|B)?1,则 （ ）
(A)事件A与B互不相容 (B)事件A与B互相对立 (C)事件A与B互不独立 (D)事件A与B相互独立
2.设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别是D(X)?4和D(Y)?2，则随机变量3X?2Y的方差是 （ ）
(A)8 (B)16 (C)28 (D)44
3.设A与B是任意两个不相容的事件，且概率都不为0，则下列结论中肯定正确的是 （ ）
(A)A与B不相容 (B)A与B相容 (C)P(AB)?P(A)P(B) (D)P(A?B)?P(A)
4.对任意两个随机变量，若E(XY)?E(X)E(Y)，则 （ ）
(A)D(XY)?D(X)D(Y) (B)D(X?Y)?D(X)?D(Y) (C)X与Y相互独立 (D)X与Y相互不独立
5.设A与B是任意两个事件，且B?A,0?P(A)?1,0?P(B)?1，则下列结论肯定正确的是 （ ）
(A)P(A?B)?P(A) (B)P(AB)?P(A)
(C)P(B|A)?P(B) (D)P(A|B)?P(A)
6.设A与B是任意两个事件，0?P(A)?1，且P(B|A)?1，下列结论中肯定正确的是 （ ）
(A)事件A与B互不相容 (B)P(AB)?0 (C)B?A (D)P(B)?1
7.设离散随机变量X的分布律为 X 0 1 2 p 0.3 0.5 0.2 其分布函数为F(x)，则F(3)为 ( )
(A)0 (B)0.3 (C)0.8 (D)1
8.设A与B为两个互斥事件，且P(A)?0,P(B)?0，则结论正确的是（ (A)P(B|A)?0 (B)P(A|B)?P(A) (C)P(A|B)?0 (D)P(AB)?P(A)P(B)
9.设A与B为两个随机事件，且有P(C|AB)?1,则结论正确的是（ ）(A)P(C)?P(A)?P(B)?1 (B)P(C)?P(A)?P(B)?1 (C)P(C)?P(AB) (D)P(C)?P(A?B)
）
习题解答
第一章
1．P(AB)?p?q?r,P(AB)?r?q,P(AB)?r?p,P(AB)?1?r 3．P(B|A)?4．(1)5．
6．设A=“收音机不受干扰”，记x,y为两信号进入收音机的时刻。于是，样本空间为：
??{(x,y)0?x?5,0?y?5}，有利于事件A的区域为： g?{(x,y)x?y?0.5},L(?)?5,L(g)?4.5,P(A)?4.5/5222213,P(A|B)?910115
15n;(2)?35;(3)
?mn?m?NN?M?1N?1N?M?1n?m
?0.81
7．设A=“一船要等待空出码头”。记甲、乙两船一昼夜内到达码头的时刻分别为x,y，于是：??{(x,y)0?x?24,0?y?24},L(?)?242
2有利于A的区域为g?{(x,y)|y?x?1,x?y?2},L(g)?24?222/2?232/2
P(A)?0.1207
8．总设A=“甲系统有效”，B=“乙系统有效”
则P(A)?0.92,P(B)?0.93,P(BA)?0.15，?P(A?B)?0.988,P(AB)?0.1714 9．P(A|B)?P(AB)/P(B)?7/12,P(A?B)?1/3 10．设D,C为木棍OB的两个分点，且记OD?x,DC?y，于是
BC?l?x?y,PC?l/2,A?{OD,DC,CB能构成三角形}，于是，样本空间为：
??{(x,y)|0?x?l,0?y?l,l/2?x?y?l},L(?)?3l2/8
2g?{(x,y)|x?y?l?x?y,x?l?x?y?y,y?l?x?y?x},L(g)?lP(A)?L(g)/L(?)?1/3
/811．设Cj?“第j人射击命中飞机”，j?1（甲），2（乙），３（丙）；
Ai＝“恰有i人命中”i?1,2,3;B＝“飞机坠毁”。
3P(B)??i?0P(Ai)P(B|Ai)?0.3232,P(A2|B)?0.288?0.6/0.3232?0.5347
12．设Ai＝“第i门炮击中飞机”，i?1,2,?,9；A＝“飞机被击中”，
P(Ai)?0.6,P(A)?1?(1?0.6)9?0.9997,1?0.4n?0.99,n?5.03
故至少应有６门炮同时射击才能有99%以上的把握击中飞机。
13．本题原是p?1/365的4745重贝努里试验，在??np?13的转换下，将使用泊松分布近似地完成计算。（１）P(A)?0.0027,P(B)?0.999 14．由题设可知，４个发动机下，飞机成功飞行的概率为：
C4p(1?p)1222?C4p(1?p)?C4p，题设在２个发动机下，飞机成功飞行的概率为：
2223344C2p(1?p)?C2p,?(p?1)(3p?2)?0,p?2/3
这就是说，当每个发动机不发生故障的概率不小于2/3时，４个发动机更为保险些。否则，当p?2/3时，２个发动机更保险些。 15．P(A?B?C)?0.625
16．设A＝“甲市为雨天”，B＝“乙市为雨天”。
于是，由题设可知：P(A)?0.12,P(B)?0.09,P(A?B)?0.168
P(AB)?0.042,P(B|A)?0.35,P(A|B)?0.9143
17．P(A)?(262?10)/3657?0.0009,P(B)?(C72622?10)/3657?0.0181
18．（１）采用三局两胜制。设A1＝“甲净胜二局”，A2＝“前两局甲、乙各胜一局，第三局甲胜”，A＝“甲胜”，则A?A1?A2,P(A1)?0.36,P(A2)?0.288 由于A1与A2互斥，所以，P(A)?0.36?0.288?0.648
（２）采用五局三胜制。设B＝“甲胜”，B1＝“前三局甲胜”，B2＝“前三局中甲胜两局，乙胜一局，第四局甲胜”， “前四局中甲、乙各胜两局，第五局甲胜”，则B1，B2，B3互不相容，且B?B1＋B2＋B3
P(B)?0.216?0.259?0.207?0.682
所以，采用五局三胜制时甲胜的概率，要大于采用三局两胜制时甲胜的概率，所以，采用五局三胜制对甲更有利。
19．设A={圆O与任一平行线不相交}。选择与圆O紧靠的三条直线l1,l2,l3作为来考察。这样，样本空间S由垂直于诸平行线的线段EF构成。有
L(S)?8?1.5?9.5，有L(g)?8?2?2.5?3,P(A)?3/9.5?0.3158
20．设A={甲、乙两人能会到面}
L(S)?60,L(g)?6022?(60?10),P(A)?11/36?0.3056
221．设A={小针与平行线之一相交}
L(S)?a?/2,L(g)???120lsin?d??l,P(A)?2l/a?
22．证明：P(AB)?P(A)?P(AB)?P(A)?P(A)P(B)?P(A)[1?P(B)]
?P(A)P(B),?A,B相互独立。其它类似（略）。
23．设B=“掷五枚硬币至少出现两个正面”，Ai(i?0,1,?,5)=“掷五枚硬币刚好出现i个正面”，则有B?A2?A3?A4?A5;A2,A3,A4,A5是互不相容的，
C523345P(A3|B)?C5?C5?C5?C5?513
24．样本空间样本点总数是n?6，设A=“掷三颗骰子出现点数没有相同的”，则A包含
33A6?6?5?4个样本点，则P(A)?A6633，设B=“掷三颗骰子出现点数至少有一个是一点”，
则B=“掷三颗骰子出现点数没有一点的”，AB=“掷三颗骰子出现点数不同而且没有一点
A5633的”，则P(AB)?，P(B|A)?1?P(B|A)?0.5
1225．（1）由于A与B互斥，故B?A,B?BA?AB,P(AB)?P(B)?；
16（2）由于A?B，而且BA?B?A,P(AB)?P(B?A)?P(B)?P(A)?（3）因为AB,AB互斥，P(AB)?P(B)?P(AB)?3；
38
326．将3个球放入4个杯子中，总共有4种放法，故样本空间所含基本事件总数为4，设
Bi(i?1,2,3)=“杯子中数最大值为i”，所以
C4?(3!)433P(B1)??616,P(B2)?C3C4C3422113?916,P(B3)?443?116
27．“从12个球中任取2个”包含C12个基本事件，设A?“从12个球中任取2个均为白球”，B?“从12个球中任取2个其中一个是白的，另一个是黑的”， C?“至少有一个是黑球”
P(A)?C82C122?1433,P(B)?C8C4C12211?1633,P(C)?1?P(C)?1?P(A)?1933
28．基本事件总数是10！设A?“指定的5本书排在一起”
P(A)?5!6!10!?142
1570,P(A)?307029．设A?“碰到甲班同学”，B?“碰到女同学”则：P(AB)?P(BA)?0.5
30．设B?“取到产品为正品”A1=“取得甲厂的产品”A2?“取得乙厂的产品”
A3=“取得丙厂的产品”则A1,A2,A3构成完备事件组，由全概率公式得： P(B)?0.82
31．设A1=“任取一螺钉是甲车间生产的”A2?“任取一螺钉是乙车间生产的”
A3=“任取一螺钉是丙车间生产的”则A1,A2,A3构成完备事件组，设B?“任取一螺钉为
次品”，由贝叶斯公式得：
P(A1B)=
2569，P(A2B)=
2869，P(A3B)=
1669
32．设B?“取3件产品至少有1件次品”则有
P(B)?1?P(B)?1?C90C10033?0.2735
33．设A?“数学不及格”，B?“物理不及格”，C?“化学不及格”则有
P(A?B?C)?0.16,P(A?B?C)?0.84，全及格人数为84人
34．设A1=“取出的零件是由机器甲加工的”A2?“取出的零件是由机器乙加工的”，则
A1,A2构成完备事件组，设B?“取出的零件是次品”，则有 P(B)?0.04,P(B)?0.96，由贝叶斯公式得：P(A2B)=
16
35．设A?“取出的枪是经校正过的”，B?“击中靶”，则有贝叶斯公式得
P(AB)=
4049
36．设A1=“射1发子弹命中10环”，A2=“射1发子弹命中9环”由于
P(A1)?0.7,P(A2)?0.3,A2?A1,Bi=“射3发子弹命中10环的有i次”，
则：P(Bi)?C3(0.7)(0.3)ii3?i,i?0,1,2,3，{“射3发命中环数不小于29”}=
{“射3发命中29环”}?{“射3发命中30环”}，则有
P(B2?B3)?P(B2)?P(B3)?0.784
37．P(AB)?0.2 38．P(AB)?0.6
39．设Ai=“第i次打破世界纪录”，A?“能打破世界纪录”，各次试举打破世界纪录是相互独立的，有：P(A)?1?(1?p)
40．1?(1?0.4)?0.95?0.05?0.6?n?5.91?n?6
?11?41．1???22??nnn3?0.96?n?36.993735?n?37