则甲取胜的概率 ：P(A?A??B?B??C?C?)?P(A?A?)?P(B?B?)?P(C?C?)
?P(A)P(A?)?P(B)P(B?)?P(C)P(C?)?14?19?136?718 ????
?6分
（Ⅱ）设甲得分数为?，则?的取值为0,1,2,3
……8分
由题意知
P(??1)?14,P(??2)?19,P(??3)?136,P(??0)?1?718?1118 ……10分
E??0?1118+1×
14+2×
19+3×
136?59 ………12分
19．（Ⅰ）证明：连接CO，由3AD?DB知，点D为AO的中点，
又∵AB为圆O的直径，∴AC?CB，
?由3AC?BC知，?CAB?60，
∴?ACO为等边三角形，从而CD?AO． -----------------3
分
∵点P在圆O所在平面上的射影为点D， ∴PD?平面ABC，又CD?平面ABC，
∴PD?CD， -----------------5
分
由PD?AO?D得，CD?平面PAB． -----------------6
分
（注：证明CD?平面PAB时，也可以由平面PAB?平面ACB得到，酌情给分．）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知CD?3，PD?DB?3，
过点D作DE?CB，垂足为E，连接PE，再过点D作DF?PE，垂足为F．-----------------8分
∵PD?平面ABC，又CB?平面ABC， ∴PD?CB，又PD?DE?D， ∴CB?平面PDE，又DF?平面PDE， ∴CB?DF，又CB?PE?E，
DF?∴
--------10分
平面PBC，故
?DP为所求的线面角
?在Rt?DEB中，DE?DB?sin30?32，PE?PD?DE22?352，
sin?DPF?sin?DPE?DEPE?55 ------------------------------------------------------12
分
20．解：（Ⅰ）由an?3an?1?3?1(n?2)及a3?95知：a3?3a2?3?1?95
求得a2?23，同理得a1?5 ?????3分
（Ⅱ）若?
an???an???na?(xn?y)?3?? 为等差数列，则设＝，即xn?y?nnn3?3?n3由a1?5，a2?23，a3?95得
1?????3(x?y)???5?21?n1????9(2x?y)???23，求得?x?1，此时an??n???3? ?????
2?2?1?27(3x?y)???95?y???2?6分
而an??n???11?n1?an???????3?满足递推式，即存在，使得?????为等差数列；n22?2?3?7分
1?n11?n???an??n???3?，先求an??n???3的前n项和．
2?2?2??记
Tn?(1?12)?3?(2?12)?3?(3?212)?3???(n?312)?3 ?????8分
n３
Tn?(1?12)?3?(2?212)?3?(3?12312)?3???(n?1?41212)?3?(n?n12)?3n?1???9分
?－２Tn?(1?)?3?3?3???3－(n?23n)?3n?1
12
3n?1n?!
3
n?1＝
32?3(1?3)1?3n－(n?)?3n?1＝
2?n?3?23n ?????10分
Tn?n?2
n2n2数列?an?的前n项和为Tn?12分
??n?3n2＝
n2（１＋3n?1） ?????
(其它方法仿此赋分)
21．解：（Ⅰ）设椭圆
xa22?yb22?1(a?b?0)的焦距为2c …………1分
由题意知b?1，且(2a)2?(2b)2?2(2c)2.又a2?b2?c2,?a2?3, 所以椭圆方程为分
（Ⅱ）由题意设P(0,m),Q(x0,0),M(x1,y1),N(x2,y2),的方程为x?t(y?m), 分
由
??????????PM??1MQmy1?1.?6分
x22?y?1. …………4
3 …………5
知
(x1,y1?m)??1(x0?x1,?y1),?y1?m??y1?1,??1?0,??1?????????m?1. 同理由PN??2NQ知?2?y2∵?1??2??3，∴y1y2?m(y1?y2)?0 （1） ????7分
?x?3y?3联立?得(t2?3)y2?2mt2y?t2m2?3?0， …………8分
?x?t(y?m)22只需??4mt?4(t?3)(tm?3)?0 （2） 且有y1?y2?2mt2224222t?3,y1y2?tm?3t?3222 （3） ????9分
2222把（3）代入（1）得tm?3?m?2mt?0,?(mt)?1且满足（2）， …………10分
依题意，mt?0，故mt??1
从而的方程x?ty?1为，即直线过定点（1，0） …………12分 22．（Ⅰ）当P?2时，函数f(x)?2x?f(1)?2?2?2lm1?0,f?(x)?2?2x22x?2lnx， 2x?. ………2分
曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为f?(1)?2.
从而曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y?2(x?1)，即y?2x?2. ……4分 （Ⅱ）当x??1,e?时，g(x)?px22ex为减函数，故g(x)min?2 …………5分
f?(x)?p??2x?px?2x?px22.
2令h(x)?px?2x?p. ??4?4p?4(1?p)(1?p)
由p?p?0得p?0或p?1 …………6分
① 当p?0时，h(x)?px?2x?p.其图象为开口向下的抛物线，对称轴为x?的左侧，且h(0)?0，所以h(x)?0， f(x)在?1,e?上是减函数. ② 当p?0时，h(x)??2x，因为x??1,e?， f?(x)??2?0，此时f(x)在?1,e?上是减
2221p在y轴
x函数，
故当p?0时，f(x)在?1,e?上是单调递减
f(x)max?f(1)?0?2，不合题意. ③ 当p?1时，??0 ∴h(x)?0，即f?(x)?0
∴f(x)在(0,??)上是增函数，即f(x)在?1,e?上也是增函数 从而f(x)1max?f(e)?p(e?e)?2lne?p(e?1e)?2, 依题意p(e?1e)?2?2,
解得p?4ee2?1,
易知，
4ee2?1?1
所以实数p的取值范围是?4e,????. ??e2?1 ? …………8分
…………10分 …………12分