第1讲 正弦定理和余弦定理
★ 知 识 梳理 ★ 内角和定理：
在?ABC中，A?B?C??；sin(A?B)?sinC；cos(A?B)??cosC
cosA?B2?sinC2 12absinC?1bcsinA1casinB面积公式:
S?ABC? 2 =2
3．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.
a?bsinB?csinC?2R形式一：sinA (解三角形的重要工具)
?a?2RsinA??b?2RsinB?c?2RsinC形式二：? (边角转化的重要工具)
4.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..
形式一：a?b?c?2bccosA?
b2222?c?a?2cacosB (解三角形的重要工具) ?a?b?2abcosC
b22222c2?c2?a2c2?a2?b2a2?b2?c2形式二：cosA?2bc ； cosB?2ca ； cosC=
2ab
★ 重 难 点 突 破 ★
1.重点：熟练掌握正弦定理、余弦定理和面积公式，利用内角和定理实现三内角之间的转换，解题时应注意四大定理的正用、逆用和变形用 2.难点：根据已知条件,确定边角转换.
3.重难点：通过正弦定理和余弦定理将已知条件中的角化为边或边化为角后,再实施三角变换的转化过程以及解三角形中的分类讨论问题.
(1) 已知两边和其中一对角,.求另一边的对角时要注意分类讨论
b，且A=30, a?2问题1: 在?ABC中，A、B的对边分别是a、?2, b?4，那么满足条件
的?ABC （ ）
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A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定
点拨：在解三角形中涉及到对边对角问题一般用正弦定理，由正弦值定角的原则是大边对大
a?bsinB得
sinB?bsinAa?4sin30?22?22，又b?a,?B?A故有两解
角。由sinA答案B.
在解三角形时要注意充分利用平面几何的性质
问题2: 已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积
A点拨 :如图连结BD，则有四边形ABCD的面积
11S=S△ABD+S△CDB=2·AB·ADsinA+2·BC·CD·sinC ∵A+C=180°，∴sinA=sinC
11BOCD故S=2(AB·AD+BC·CD)sinA=2(2×4+6×4)sinA=16sinA
由余弦定理，在△ABD中，BD2=AB2+AD2－2AB·AD·cosA=20－16cosA 在△CDB中，BD2=CB2+CD2－2CB·CD·cosC=52－48cosC ∴20－16cosA=52－48cosC，∵cosC=－cosA，
1∴64cosA=－32，cosA=－2，
又0°＜A＜180°，∴A=120°故S=16sin120°=8
★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点1: 运用正、余弦定理求角或边 题型1.求三角形中的某些元素
[例1] (2008年广州市海珠区高三上期综练二)已知：A、B、C是?ABC的内角，a,b,c分别是
?????n??cos?A??,1???23,cos???A??1????，m?n. ，
3
其对边长，向量m???（Ⅰ）求角A的大小；
a?2,cosB?33,（Ⅱ）若
求b的长.
【解题思路】已知对边求对角，直接用正弦定理。 解析:(Ⅰ) m??3,cos???A??1?=?3,?cosA?1???1分
- 2 -
?????n??cos?A??,1???2???=?sinA,1???2分 ?∵m?n
?3sinA?cosA?1?0??4分
??1??sin?A???6?2???6分
0?A??,???6?A??6?5?6,?A??6??6,∵
?A???7分
?3.??8分
(Ⅱ)在?ABC中，
?sinB?1?cosA??3，a?2 ，
13cosB?33
2B?1??63??9分
a由正弦定理知：sinA2???,sinB??10分 6b332?432b??asinBsinA=423.
?b???12分
【名师指引】已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = π求C，要注意解可能有多种情况
【新题导练】
1.在△ABC中，a＝1，b＝7 ，B＝60°，求c.
解析：由余弦定理得 (7 )2＝12＋c2－2ccos60°， ∴c2－c－6＝0，
解得c1＝3，c2＝－2(舍去).∴c＝3. 2．若在△ABC中，
?A?60,b?1,S?ABC?03,求△ABC外接圆的半径R.
- 3 -
解析:
S?ABC?12bcsinA?12c?32?3,c?4,a2?13,a?13
393,?R?3932R?asinA?1332?2
题型2判断三角形形状
[例3]在△ABC中，bcosA＝acosB，试判断三角形的形状.
【解题思路】判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形：（1）一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；（2）另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理
[解析]：方法1：利用余弦定理将角化为边.
b?b?c?a2bc22222∵bcosA＝acosB ∴
2222?a?a?c?b2ac2222
∴b?c?a?a?c?b ∴a?b ∴a?b
故此三角形是等腰三角形.
方法2：利用正弦定理将边转化为角.
∵bcosA＝acosB 又b＝2RsinB，a＝2RsinA
∴2RsinBcosA＝2RsinAcosB ∴sinAcosB－cosAsinB＝0 ∴sin（A－B）＝0 ∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π ∴A－B＝0，即A＝B故三角形是等腰三角形.
【名师指引】判断三角形形状时一般从角入手，利用三角形内角和定理，实施关于三角形内角的一些变形公式. 【新题导练】
3.在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 解析：2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B）又∵2sinAcosB＝sinC， ∴sin（A－B）＝0，∴A＝B
cosAb
4. 在△ABC中，若cosB ＝a ，则△ABC的形状是.( ) A.等腰直角三角形
B.直角三角形 C.等腰或直角三角形
D.等边三角形
cosAbcosAsinB
解析：由已知cosB ＝a 及正弦定理得cosB ＝sinA ∴sin2A=sin2B
π
∴2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝2 ，
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.选C
考点2: 三角形中的三角变换 题型:利用正、余弦定理和三角函数的恒等变换,进行边角互换,结合三角函数的图象与性质进行化简求值.
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例1（08重庆） 设?ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=60，c=3b.求：
a?（Ⅰ）c的值；（Ⅱ）cotB +cot C的值.
a【解题思路】求c的值需要消去角和b;三角求值问题一般先考虑寻找角之间的关系
a2?b?c?2bcosA22解析：（Ⅰ）由余弦定理得
a73117222c)?c?2?c?c??c,329＝3 (1故c?.
cosBsinC?cosCsinBsin(B?C)?sinAsinBsinC,（Ⅱ）解法一：cotB?cotC＝
sinBsinC＝sinBsinC72
sinAsinBsinC?a·?sinAbc1229·313c?c·c1433?1493.由正弦定理和（Ⅰ）的结论得
1493
cotB?cotC?.故
解法二：由余弦定理及（Ⅰ）的结论有
7cosB?a?c?b2ac222?9c?c?(2?732213c)2c?c5.
sinB?1?cosB?2＝27
.1?2528?273故
7 197c?c22cosC?a?b?c2ab222?9c?2?2??217,同理可得
21c?c33
sinC?1?cosC?1?128?332.7 ?533?193?1493.cotB?cotC?cosBsinB?cosCsinC从而
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