【名师指引】在解三角形的背景下一般见“切割就化弦” 【新题导练】
5．三角形的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c，设向量mn?(a?b,c)?(c?a,b?a)，
, 若m//n,求角B的大小；
c?a?b?ac12，
解析:∵m//n， ∴ a?ba2 ∴ cB?2?ac?b2?a
2?c2?b2 ∴
ac?1cosB??3
6．在Rt△ABC中，∠C=90°,且∠A，∠B，∠C所对的边a,b,c满足a+b=cx，求实数x的取值范围.
x?a?bc?sinA?sinBsinC?sinA?cosA?解析．
sin??????2sin?A?A???0,?42???，又?
?∴
?????sin?A??sin?x?1,44?2?，即
?2??
考点3 与三角形的面积相关的题 题型1:已知条件求面积
cosA??513，
cosB?35．
例1: (广州执信中学09届高三上学期期中考试)在△ABC中，（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）设BC?5，求△ABC的面积．
【解题思路】求角C的三角函数值可考虑用内角和定理;求三角形的面积直接用面积公式.
cosA??513，得45． 又A?B?C??
1665．
sinA?1213，
解析：（Ⅰ）由
cosB?35，得
sinB?由
sinC?sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB?所以
45?133AC?BC?sinBsinA5??1213（Ⅱ）由正弦定理得．
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所以△ABC的面积
S?12?BC?AC?sinC?12?5?133?1665?83．
【名师指引】本题主要考查三角变换、余弦定理、三角形面积、解三角形等基础知识，考查运算求解能力.
题型2:已知面积求线段长或角
cosB??513，
cosC?45．
例2 (广东省惠州市2009届第二调研考试）在△ABC中，⑴、求sinA的值；
S△ABC?332，求BC的长．
⑵、设△ABC的面积
【解题思路】已知面积求边长或高,可考虑等积法.
cosB??513，得
sinB?1213，由
cosC?45，得
sinC?35．
解析：⑴、由
sinA?sin(B?C)?sinBcosC?cosBsinC?3365．
3365，
132．
所以
S△ABC?331?AB?AC?sinA?33⑵、由
2得22，由⑴知
20sinA?故AB?AC?65，又
BC?AB?sinAsinCAC?AB?sinBsinC?2013AB，故13?AB2?65AB?，
?112．
所以
【名师指引】在处理解三角形的相关问题时,逆向思维也是必不可少的. 【新题导练】
a?2,C??47.在三角形ABC中，
,cosB2?255，求三角形ABC的面积S。
45，
cosB?35，BsinB?【解析】 由题意，得为锐角，
72?3π?sinA?sin(π?B?C)?sin??B??10， ?4?
c?107， ?
12121074587S?ac?sinB??2??? 由正弦定理得
．
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S?1638. 在?ABC中，b?8，c?83，?ABC，则?A等于
A、30 B、60 C、30或150 D、60或120 【解析】C
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1. 在?ABC中，若sin2A?sin2B??????，则?ABC一定是( )
A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰或直角三角形 解析：D [ ∵
sin2A?sin2B??2cos(A?B)sin(A?B)?0,0∴
A?B??2,或A?B]
2. 在?ABC中，A?60，且最大边长和最小边长是方程x?7x?11?0的两个根，则第三边的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
02解析：C [∵A?60，且最大边长和最小边长是方程x?7x?11?0的两个根，则第三边
2为a,b?c?7,bc?11,∴
?(b?c)?3bc?22sin2A?a?b?c?2bccosA?22b?c?2bccos22?3 7?3?11?4]
?3.在Rt△ABC中，C=2，则sinAsinB的最大值是_______________.
?sinAsinB?sinAsin(?2[解析] ∵在Rt△ABC中，C=2，∴
?12sin2A0?A??A)?sinAcosA
1?2,，∵
∴0?2A??,∴
A??4时，sinAsinB取得最大值2。
tanA?12,cosB?310104. 若?ABC中，解析
?tanA?12，则角C的大小是__________
,cosB?31010,?O?B??,?sinB?1010,?tanB?13?tanC?tan(??A?B)??tan(A?B)?tanA?tanBtanAtanB?1??1,?O?C???C?3?4
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1 5.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边, a?2,b?3， cosC=3，则其外接圆的半径为_______________.
?c2?a?b?2abcosC?4?9?2?2?3?2213?9[解析]
,?c?3
3432982?R??cosC?13,0?C?180,?sinC??c2sinC??232
206.在△ABC中，已知AB?10sinC?2，A＝45°，BC=33，求角C。
203ABsinABC?10解：由正弦定理得
BC,又BC＝33时，故 sinC＝2；
?AB?sin45??BC?AB ?C 有两解 ?C?60?或120°
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7.在△ABC中，已知2a?b?c，sinA?sinBsinC，试判断△ABC的形状。
a?bsinB?csinC?2RsinA?a2R，
sinB?b2R，
2解：由正弦定理sinAsinC?c2R。
得：
所以由sinA?sinBsinC可得：2R又已知2a?b?c，所以4a22(a)?2b2R?c2R，即：a22?bc。 (b?c)?02?(b?c)2，所以
4bc?(b?c)，即，
因而b?c。故由2a?b?c得：2a?b?b?2b，a?b。所以a?b?c，△ABC 为等边三角形。
8.在锐角三角形中，边a、b是方程x2－23 x+2=0的两根，角A、B满足： 2sin(A+B)－3 =0，求△ABC的面积。
3
解：由2sin(A+B)－3 =0，得sin(A+B)=2 , ∵△ABC为锐角三角形
∴A+B=120°, C=60°, 又∵a、b是方程x2－23 x+2=0的两根，∴a+b=23 , a·b=2, ∴c2=a2+b2－2a·bcosC=(a+b)2－3ab=12－6=6,
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∴c=6 ,
S?ABC?12absinC133
=2 ×2×2 =2 。
9. 在△ABC中，若sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?. (1)判断△ABC的形状；
(2)在上述△ABC中，若角C的对边c?1，求该三角形内切圆半径的取值范围。 解：（1）由sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?
2sin2C2?1 可得
?cosC?0 即C＝90°
?△ABC是以C为直角顶点得直角三角形
r?12?a?b?c? （2）内切圆半径
?
12?sin2A?sinB?1?
?
2?12
??1?sin?A????24?2?2?1???2?
??0,?? 内切圆半径的取值范围是?10. (汕头金山中学09届高三11月考)在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是
C??3．
a，b，c，已知c?2，
（Ⅰ）若△ABC的面积等于3，求a，b；
（Ⅱ）若sinC?sin(B?A)?2sin2A，求△ABC的面积． 解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，a?b?ab?4，
1absinC?322又因为△ABC的面积等于223，所以2，得ab?4．
?a?b?ab?4，?ab?4，联立方程组?解得a?2，b?2．
（Ⅱ）由题意得sin(B?A)?sin(B?A)?4sinAcosA，
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即sinBcosA?2sinAcosA，当cosA?0时，
A??2，
B??6，
a?433b?233，，
当cosA?0时，得sinB?2sinA，由正弦定理得b?2a，
?a?b?ab?4，2343?a?b?b?2a，3，3． 联立方程组?解得
1223322所以△ABC的面积
S?absinC?．
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