习题12?9
1? 求下列各微分方程的通解? (1)2y???y??y?2ex?
解 微分方程的特征方程为 2r2?r?1?0? 其根为r1? Y1? r??1? 故对应的齐次方程的通解为
22
1x?C1e2?C2e?x?
因为f(x)?2ex ? ??1不是特征方程的根? 故原方程的特解设为 y*?Aex? 代入原方程得
2Aex?Aex?Aex?2ex? 解得A?1? 从而y*?ex? 因此? 原方程的通解为
(2)y???a2y?ex?
解 微分方程的特征方程为
r2?a2?0?
其根为r??ai? 故对应的齐次方程的通解为 Y?C1cos ax?C2sin ax?
因为f(x)?ex? ??1不是特征方程的根? 故原方程的特解设为 y*?Aex? 代入原方程得
Aex?a2Aex?ex? 解得A?1xy?C1e2?C2e?x?ex?
1? 从而y*?ex?
1?a21?a2 因此? 原方程的通解为
xe y?C1cosax?C2sinax??
1?a2
(3)2y???5y??5x2?2x?1?
解 微分方程的特征方程为 2r2?5r?0?
其根为r1?0? r2??? 故对应的齐次方程的通解为 Y?5x?C1?C2e2?
52
因为f(x)?5x2?2x?1? ??0是特征方程的单根? 故原方程的特解设为
y*?x(Ax2?Bx?C)? 代入原方程并整理得
15Ax2?(12A?10B)x?(4B?5C)?5x2?2x?1? 比较系数得A?1? B??3? C?7? 从而y*?1x3?3x2?7x? 352535257x?
25 因此? 原方程的通解为
?5x1332y?C1?C2e2?x?x?35 (4)y???3y??2y?3xe?x?
解 微分方程的特征方程为 r2?3r?2?0?
其根为r1??1? r2??2? 故对应的齐次方程的通解为 Y?C1e?x?C2e?2x?
因为f(x)?3xe?x? ???1是特征方程的单根? 故原方程的特解设为 y*?x(Ax?B)e?x? 代入原方程并整理得 2Ax?(2A?B)?3x? 比较系数得A?3? B??3? 从而y*?e?x(3x2?3x)? 2232 因此? 原方程的通解为
y?C1e?x?C2e?2x?e?x(x2?3x)? (5)y???2y??5y?exsin2x? 解 微分方程的特征方程为 r2?2r?5?0?
其根为r1? 2?1?2i? 故对应的齐次方程的通解为 Y?ex(C1cos2x?C2sin2x)?
因为f(x)?exsin2x? ??i??1?2i是特征方程的根? 故原方程的特解设为
y*?xex(Acos2x?Bsin2x)? 代入原方程得
ex[4Bcos2x?4Asin2x]?exsin2x?
比较系数得A??? B?0? 从而y*??xexcos2x? 因此? 原方程的通解为
y?ex(C1cos2x?C2sin2x)?xexcos2x? (6)y???6y??9y?(x?1)e3x? 解 微分方程的特征方程为
r2?6r?9?0?
其根为r1?r2?3? 故对应的齐次方程的通解为 Y?e3x(C1?C2x)?
因为f(x)?(x?1)e3x? ??3是特征方程的重根? 故原方程的特解设为 y*?x2e3x(Ax?B)? 代入原方程得
e3x(6Ax?2B)?e3x(x?1)? 比较系数得A?1414141? B?1? 从而y*?e3x(1x3?1x2)? 62621612 因此? 原方程的通解为
y?e3x(C1?C2x)?e3x(x3?x2)?
(7)y???5y??4y?3?2x?
解 微分方程的特征方程为 r2?5r?4?0?
其根为r1??1? r2??4? 故对应的齐次方程的通解为 Y?C1e?x?C2e?4x?
因为f(x)?3?2x?(3?2x)e0x? ??0不是特征方程的根? 故原方程的特解设为 y*?Ax?B? 代入原方程得
4Ax?(5A?4B)??2x?3? 比较系数得A??? B?1211? 从而y*??1x?11? 8281211? 8 因此? 原方程的通解为 y?C1e?x?C2e?4x?x? (8)y???4y?xcos x?
解 微分方程的特征方程为 r2?4?0?
其根为r??2i? 故对应的齐次方程的通解为 Y?C1cos2x?C2sin2x?
因为f(x)? xcos x?e0x(x?cos x?0?sin x)? ??i??i不是特征方程的根? 故原方程的特解设为
y*?(Ax?B)cos x?(Cx?D)sin x? 代入原方程得
(3Ax?3B?2C)cos x?(3Cx?2A?3D)sin x?xcos x? 比较系数得A?1? B?0? C?0?D?2? 从而y*?1xcosx?2sinx? 33991329 因此? 原方程的通解为
y?C1cos2x?C2sinx?xcosx?sinx? (9)y???y?ex?cos x?
解 微分方程的特征方程为 r2?1?0?
其根为r??i ? 故对应的齐次方程的通解为
Y?C1cos x?C2sin x?
因为f(x)?f1(x)?f2(x)? 其中f1(x)?ex? f2(x)?cos x? 而 方程y???y?ex具有Aex形式的特解?
方程y???y?cos x具有x(Bcos x?Csin x)形式的特解? 故原方程的特解设为
y*?Aex?x(Bcos x?Csin x)? 代入原方程得
2Aex?2Ccos x?2Bsin x?ex?cos x? 比较系数得A?1? B?0?C?1? 从而y*?1ex?xsinx? 222212x2 因此? 原方程的通解为
y?C1cosx?C2sinx?ex?sinx? (10)y???y?sin2x ?
解 微分方程的特征方程为 r2?1?0?
其根为r1??1? r2?1? 故对应的齐次方程的通解为 Y?C1e?x?C2ex?
因为f(x)?sin2x??cos2x? 而 方程y???y?11221的特解为常数A? 2 方程y???y??cos2x具有Bcos2x?Csin2x形式的特解? 故原方程的特解设为
y*?A+Bcos2x?Csin2x? 代入原方程得
?A?5Bcos2x?5Csin2x??cos2x? 比较系数得A???B?121122121? C?0? 从而y*??1?1cos2x? 102101cos2x?1? 102 因此? 原方程的通解为 y?C1e?x?C2ex? 2? 求下列各微分方程满足已给初始条件的特解?
(1)y???y?sin x?0? y|x???1? y?|x???1? 解 微分方程的特征方程为 r2?1?0?
其根为r??i? 故对应的齐次方程的通解为 Y?C1cos x?C2sin x?
因为f(x)??sin2x?e0x(0?cos2x?sin2x)? ??i??i是特征方程的根? 故原方程的特解设为
y*?Acos2x?Bsin2x? 代入原方程得
?3Acos 2x?3Bsin2x??sin2x? 解得A?0? B?1? 从而y*?1sin2x? 3313 因此? 原方程的通解为
y?C1cosx?C2sinx?sin2x? 由y|x???1? y?|x???1得C1??1? C2??? 故满足初始条件的特解为
y??cosx??sinx?sin2x? (2)y???3y??2y?5? y|x?0?1? y?|x?0?2? 解 微分方程的特征方程为 r2?3r+2=0?
其根为r1?1? r2?2? 故对应的齐次方程的通解为 Y?C1ex?C2e2x?
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