容易看出y*?故原方程的通解为
5为非齐次方程的一个特解? 252 y?C1ex?C2e2x?? 由y|x?0?1? y?|x?0?2得
??C1?C2?5?1 ?2?
??C1?2C2?27解之得C1??5? C2?? 因此满足初始条件的特解为 275 y??51ex?e2x?? 2233? 6 (3)y???10y??9y?e2x? y|x?0?? y?|x?0?77 解 微分方程的特征方程为
r2?10r?9?0?
其根为r1?1? r2?9? 故对应的齐次方程的通解为 Y?C1ex?C2e9x?
因为f(x)?e2x? ??2不是特征方程的根? 故原方程的特解设为 y*?Ae2x? 代入原方程得
(4A?20A?9A)e2x?e2x? 解得A??? 从而y*??e2x? 因此? 原方程的通解为
17171733得C?C?1? 6 由y|x?0?? y?|x?0?12727 y?C1ex?C2e9x?e2x? 因此满足初始条件的特解为 y?ex?e9x?e2x?
(4)y???y?4xex? y|x?0?0? y?|x?0?1?
解 微分方程的特征方程为
r2?1?0?
其根为r1??1? r2?1? 故对应的齐次方程的通解为
121217 Y?C1e?x?C2ex?
因为f(x)?4xex? ??1是特征方程的单根? 故原方程的特解设为
y*?xex(Ax?B)? 代入原方程得
(4Ax?2A?2B)ex?4xex?
比较系数得A?1? B??1? 从而y*?xex(x?1)? 因此? 原方程的通解为 y*?C1e?x?C2ex?xex(x?1)? 由y|x?0?0? y?|x?0?1得 ??C1?C2?0?
C?C?1?1?12解之得C1?1? C2??1? 因此满足初始条件的特解为
y?e?x?ex?xex(x?1)?
(5)y???4y??5? y|x?0?1? y?|x?0?0? 解 微分方程的特征方程为 r2?4r?0?
其根为r1?0? r2?4? 故对应的齐次方程的通解为 Y?C1?C2e4x?
因为f(x)?5?5e0?x? ??0是特征方程的单根? 故原方程的特解设为 y*?Ax? 代入原方程得
?4A?5? A??? 从而y*??x?
因此? 原方程的通解为 y?C1?C2e4x?x? 由y|x?0?1? y?|x?0?0得C1?因此满足初始条件的特解为 y?54545411? C?5?
2161611?5e4x?5x?
16164 3? 大炮以仰角?、初速度v0发射炮弹? 若不计空气阻力? 求弹道曲线?
解 取炮口为原点? 炮弹前进的水平方向为x轴? 铅直向上为y轴? 弹道运动的微分方程为
?d2y?dt2??g ??
dx??0?dt且满足初始条件 ??y|t?0?0, y?|t?0?v0sin??
?x|?0, x|?vcos?t?0t?00? 易得满足方程和初始条件的解(弹道曲线)为
??x?v0cos??t ?1gt2?
y?vsin??t?0?2? 4? 在R、L、C含源串联电路中? 电动势为E的电源对电容器C充电? 已知E?20V?
C?0?2?F(微法)? L?0?1H(亨)? R?1000?? 试求合上开关K后电流i(t)及电压uc(t)? 解 (1)列方程? 由回路定律可知
???R?C?uc??uc?E? L?C?uc???即 ucRu??1u?E? LcLCcLC且当t?0时? u c?0? uc??0?
已知R?1000?? L?0.1H? C?0?2?F? 故
R?1000?104? L0.11?17? ?5?10LC0.1?0.2?10?6E?5?107E?5?107?20?109?
LC
???104uc??5?107uc?109? 因此微分方程为uc (2)解方程? 微分方程的特征方程为r2?104r?5?107?0?
其根为r 1? 2??5?103?5?103i? 因此对应的齐次方程的通解为 uc?e?5?10t[C1cos(5?103)t?C2sin(5?103)t]? 由观察法易知y*?20为非齐次方程的一个特解? 因此非齐次方程的通解为
uc?e?5?10t[C1cos(5?103)t?C2sin(5?103)t]?20? 由t?0时? u c?0? uc??0? 得C1??20? C2??20? 因此 uc?20?20e?5?10t[cos(5?103)t?sin(5?103)t](V)?
333??0.2?10?6uc??4?10?2e?5?10tsin(5?103t)](A)? i(t)?Cuc
5? 一链条悬挂在一钉子上? 起动时一端离开钉子8m另一端离开钉子12m? 分别在以下两种情况下求链条滑下来所需的时间? (1)若不计钉子对链条所产生的摩擦力?
解 设在时刻t时? 链条上较长的一段垂下xm? 且设链条的密度为?? 则向下拉链条下滑的作用力
F?x?g?(20?x)?g?2?g(x?10)? 由牛顿第二定律? 有
20?x???2?g(x?10)? 即x??? 微分方程的特征方程为
3gx??g? 10g r2??0?
10其根为r1??gg?r2?? 故对应的齐次方程的通解为 1010?ggtt10?Ce10?
2 x?C1e
由观察法易知x*?10为非齐次方程的一个特解? 故通解为 x?C1e?ggtt10?Ce10?10?
2
由x(0)?12及x?(0)?0得C1?C2?1? 因此特解为 x?e?ggtt10?e10?10.
?ggtt10?e10 当x=20? 即链条完全滑下来时有e解之得所需时间 t??10?
10ln(5?26)s. g (2)若摩擦力为1m长的链条的重量? 解 此时向下拉链条的作用力变为
F?x?g?(20?x)?g?1?g?2?gx?21?g 由牛顿第二定律? 有
20?x???2?gx?21?g? 即x??? 微分方程的通解为
gx??1.05g? 10 x?C1e?ggtt10?Ce10?10.5?
2
由x(0)?12及x?(0)?0得C1?C2?3? 因此特解为 4
ggtt10?e10)?9.5?
3? x?(e4ggtt10?e10)?10.5?
?3 当x=20? 即链条完全滑下来时有(e4
解之得所需时间 t?10ln(19?422)s. g33xx 6? 设函数?(x)连续? 且满足
?(x)?e??t?(t)dt?x??(t)dt?
00x求?(x)?
解 等式两边对x求导得
??(x)?ex???(t)dt?
0x再求导得微分方程
???(x)?ex??(x)? 即???(x)??(x)?ex? 微分方程的特征方程为
r2?1?0?
其根为r1? 2??i? 故对应的齐次方程的通解为 ??C1cos x?C2sin x?
易知?*?ex是非齐次方程的一个特解? 故非齐次方程的通解为
12??C1cosx?C2sinx?1ex?
21? 2 由所给等式知?(0)=1? ??(0)?1? 由此得C1?C2?因此
??1(cosx?sinx?ex)?
2