2014年普通高等学校统一考试（大纲）
理科
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的. 1. 设z?10i，则z的共轭复数为（ ） 3?iA．?1?3i B．?1?3i C．1?3i D．1?3i
2. 设集合M?{x|x2?3x?4?0}，N?{x|0?x?5}，则M?N?（ ）
A．(0,4] B．[0,4) C．[?1,0) D．(?1,0] 3. 设a?sin33，b?cos55，c?tan35，则（ ）
A．a?b?c B．b?c?a C．c?b?a D．c?a?b
000??????????4. 若向量a,b满足：|a|?1，(a?b)?a，(2a?b)?b，则|b|?（ ）
A．2 B．2 C．1 D．
2 25. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选
法共有（ ）
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
x2y236. 已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左、右焦点为F、，离心率为，过F2的直线l交F12ab3C于A、B两点，若?AF1B的周长为43，则C的方程为（ ）
x2y2x2x2y2x2y22??1 B．?y?1 C．??1 D．??1 A．
3321281247. 曲线y?xex?1在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）
A．2e B．e C．2 D．1
8．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）
A．
81?27? B．16? C．9? D．
449. 已知双曲线C的离心率为2，焦点为F点A在C上，若|F则cos?AF2FF2，1A|?2|F2A|，1、1?（ ）
1
A．
1122 B． C． D． 434310. 等比数列{an}中，a4?2,a5?5，则数列{lgan}的前8项和等于（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
0C?l，?ACD?1350，11. 已知二面角??l??为60，AB??，AB?l，A为垂足，CD??，
则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（ ） A．
1123 B． C． D． 424412. 函数y?f(x)的图象与函数y?g(x)的图象关于直线x?y?0对称，则y?f(x)的反函数是
（ ）
A．y?g(x) B．y?g(?x) C．y??g(x) D．y??g(?x)
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. (xy8?)的展开式中x2y2的系数为 . yx?x?y?0?14. 设x、y满足约束条件?x?2y?3，则z?x?4y的最大值为 .
?x?2y?1?15．直线l1和l2是圆x2?y2?2的两条切线，若l1与l2的交点为（1,3），则l1与l2的夹角的正切值
等于 .
16. 若函数f(x)?cos2x?asinx在区间(??,)是减函数，则a的取值范围是 . 62三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）
?ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC?2ccosA，tanA?18.（本小题满分12分）
等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1?10，a2为整数，且Sn?S4. （1）求{an}的通项公式； （2）设bn?1，求B. 31，求数列{bn}的前n项和Tn. anan?1 2
19. （本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，点A1在平面ABC的射影D在AC上，?ACB?90，
0内
BC?1,AC?CC1?2.
（1）证明：AC1?A1B；
（2）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3，求二面角A1?AB?C的大小.
20. （本小题满分12分）
0.5、0.5、0.4，各人是否需设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、使用设备相互独立.
（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
（2）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望. 21. （本小题满分12分）
已知抛物线C：y2?2px(p?0)的焦点为F，直线y?4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|?5|PQ|. 4'（1）求C的方程；
（2）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l与C相较于M、N两点，且A、
M、B、N四点在同一圆上，求l的方程. 22. （本小题满分12分）
函数f(x)?ln(x?1)?ax(a?1). x?a（1）讨论f(x)的单调性；
（2）设a1?1,an?1?ln(an?1)，证明：
23?an?. n+2n?2 3
参考答案
一、选择题：
1. D 2.B 3.C 4.B 5.C 6.A 7.C
8.A
9.A
10.C
11.B
12.D
二、填空题：
13. 70 14. 5 15.
43 16.(??,2]
三、解答题：
17.（本小题满分10分）
解：由题设和正弦定理得3sinAcosC?2sinCcosA
故
3tanAcosC?2sinC
因为
tanA?13，所以cosC?2sinC 即
tanC?12……………………………6分 所以tanB?tan[180??(A?C)]
??tan(A?C) ?tanA?tanCtanAtanC?1……………8分
??1
即
B?135?………………………………10分
18.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由a1?10，a2为整数知，等差数列{an}的公差d为整数
又Sn?S4，故a4?0,a5?0 即 10?3d?0,10?4d?0 解得 ?103?d??52 因此
d??3
数列{an}的通项公式为an?13?3n…………………………………6分
（Ⅱ）bn?1(13?3n)(10?3n)?13?(110?3n?113?3n)………………………8分
4
于是
Tn?b1?b2?...?bn
1111111?[(?)?(?)?...?(?)] 37104710?3n13?3n111?(?) 310?3n10?n……………….12分
10(10?3n)19.（本小题满分12分）
解法一：（Ⅰ）因为A1D?平面ABC,A1D?平面AAC11C，
故平面AAC11C?平面ABC， 又BC?AC，所以BC?平面
AAC11C，……………3分
连结AC1，因为侧面AAC11C为菱形，故
AC1?AC1
由三垂线定理得AC1?A1B………5分
（Ⅱ）BC?平面AAC故平11C,BC?平面BCC1B1，
面AAC11C?平面BCC1B1
作A1E?平面BCC1B1 1E?CC1,E为垂足，则A又直线AA1，因而A1E为直线AA1的距离，1//平面BCC1B1与平面BCC1BA1E?3
因为AC1为?ACC1的平分线，故A1D?A1E?3………………8分 作DF?AB,F为垂足，连结A1F，由三垂线定理得A1F?AB， 故?A1FD为二面角A1?AB?C的平面角 由AD?AA12?A1D2?1得D为AC中点，
AD1AC?BC5DF???，tan?A1FD?1?15 DF2AB5所以二面角A1?AB?C的大小为arctan15………………12分
解法二：以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB的长为单位长，建立如图所示的空间
5