直角坐标系C?xyz，由题设知A1D与z轴平行，x轴在平面AAC11C内
a?2，A(2,0,0)，（Ⅰ）设A1(a,0,c)，由题设有
B(0,1,0)，则
????AB?(?2,1,0)， ????AC?(?2,0,0)， ????AA1?(a?2,0,c)， ?????????????AC1?AC?AA1?(a?4,0,c)， ????BA1?(a,?1,c)………………2分
????(a?2)2?c2?2，即 由|AA1|?2得a2?4a?c2?0 ①
?????????22于是AC1?BA1B………………………5分 1?a?4a?c?0，所以AC1?A????????????（Ⅱ）设平面BCC1B1的法向量m?(x,y,z)，则m?CB,m?BB1，即m?CB?0，
????m?BB1?0
????????????因为CB?(0,1,0)，BB1?AA1?(a?2,0,c)，故y?0，且(a?2)x?cz?0
令x?c，则z?2?a，m?(c,0,2?a)，点A到平面BCC1B1的距离为
????????????|CA?m|2c|CA|?|cos?m,CA?|???c
22|m|c?(2?a)又依题设，A到平面BCC1B1的距离为3，所以c?3 代入①解得a?3（舍去）或a?1 ………………………………………8分
????于是AA,0,3) 1?(?1????????????设平面ABA1的法向量n?(p,q,r)，则n?AA1,n?AB，即n?AA1?0，????n?AB?0，
r?1，令p?3，则q?23， ?p?3r?0且?2p?q?0，n?(3,23,1)，
又p?(0,0,1)为平面ABC的法向量，故
6
cos?n,p??n?p1|n|?|p|?4
所以二面角AAB?C的大小为arccos11?4……………………12分 20.（本小题满分12分）
解：记Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i?0,1,2，
B表示事件：甲需使用设备， C表示事件：丁需使用设备，
D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备 （Ⅰ）D?A1?B?C?A2?B?A2?B?C
P(B)?0.6,P(C)?0.4,P(Aii)?C2?0.52,i?0,1,2………3分
所以P(D)?P(A1?B?C?A2?B?A2?B?C)
?P(A1?B?C)?P(A2?B)?P(A2?B?C)
?P(A1)?P(B)?P(C)?P(A2)?P(B)?P(A2)?P(B)?P(C)
?0.31……………………………………6分
（Ⅱ）?的可能取值为0，1，2，3，4，其分布列为
P(??0)?P(B?A0?C)
?P(B)?P(A0)?P(C) ?(1?0.6)?0.52?(1?0.4)
?0.06
P(??1)?P(B?A0?C?B?A0?C?B?A1?C)
?P(B)?P(A0)?P(C)?P(B)?P(A0)?P(C)?P(B)?P(A1)?P(C) ?0.6?0.52?(1?0.4)?(1?0.6)?0.52?0.4?(1?0.6)?0.52?(1?0.4)?0.25
P(??4)?P(A2?B?C)?P(A2)?P(B)?P(C)?0.52?0.6?0.4?0.06
P(??3)?P(D)?P(??4)?0.25
P(??2)?1?P(??0)?P(??1)?P(??3)?P(??4)
?1?0.06?0.25?0.25?0.06
?0.38…………………………………………………………………10分
7
数学期望
EX?0?P(??0)?1?P(??1)?2?P(??2)?3?P(??3)?4?P(??4)
?0.25?2?0.38?3?0.25?4?0.06
?2……………………………………………………………12分
21.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设Q(x0,4)，代入y2?2px得x0?所以|PQ|?8 p8pp8,|QF|??x0?? p22p由题设得
p858???，解得p??2（舍去）或p?2 2p4p所以C的方程为y2?4x……………………………………………5分 （Ⅱ）依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x?my?1(m?0)
代入y2?4x得 y2?4my?4?0 设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1?y2?4m,y1y2??4
2故AB的中点为D(2m?1.2m),|AB|?m2?1|y1?y2|?4(m2?1)
又l?的斜率为?m，所以l?的方程为x??将上式代入y2?4x，并整理得y?21y?2m2?3 m4y?4(2m2?3)?0 m4,y3y4??4(2m2?3) m设M(x3,y3),N(x4,y4)，则y3?y4??故MN的中点为
2214(m2?1)2m2?12E(2?2m?3,?)，|MN|?1?2|y3?y4|?…10分 2mmmm由于MN垂直平分AB，故A,M,B,N四点在同一圆上等价于|AE|?|BE|?从而
1|MN|， 211|AB|2?|DE|2?|MN|2 44222224(m2?1)2(2m2?1)2即4(m?1)?(2m?)?(2?2)?
mmm4化简得m?1?0，解得m?1或m??1
2 8
所求直线l的方程为x?y?1?0或x?y?1?0……………………………12分
22.（本小题满分12分） 解：
2[x?(a2?2a)]（Ⅰ）f(x)的定义域为(?1,??),f?(x)?………………….2分
(x?1)(x?a)2（ⅰ）当1?a?2时，若x?(?1,a2?2a)，则f?(x)?0，f(x)在(?1,a2?2a)是增函数；
若x?(a2?2a,0)，则f?(x)?0，f(x)在(a2?2a,0)是减函数；
若x?(0,??)，则f?(x)?0，f(x)在(0,??)是增函数；……………………4分
（ⅱ）当a?2时，f?(x)?0，f?(x)?0成立当且仅当x?0，f(x)在(?1,??)是增函数； （ⅲ）当a?2时，若x?(?1,0)，则f?(x)?0，f(x)在(?1,0)是增函数；
若x?(0,a2?2a)，则f?(x)?0，f(x)在(0,a2?2a)是减函数；
若x?(a2?2a,??)，则f?(x)?0，f(x)在(a2?2a,??)是增函数；……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a?2时，f(x)在(?1,??)是增函数，
当x?(0,??)时，f(x)?f(0)?0，即ln(x?1)?2x(x?0) x?2又由（Ⅰ）知，当a?3时，f(x)在[0,3)是减函数， 当x?(0,3)时，f(x)?f(0)?0，即ln(x?1)?下面用数学归纳法证明
3x(0?x?3)…………………9分 x?323?an? n?2n?22?a1?1，故结论成立； 323?ak? k?2k?2（ⅰ）当n?1时，由已知
（ⅱ）设当n?k时结论成立，即
当n?k?1时，
22k?2?2 ak?1?ln(ak?1)?ln(?1)?2k?2?2k?3k?22?33k?2?3 ak?1?ln(ak?1)?ln(?1)?3k?2?3k?3k?23? 9
即当n?k?1时有
23?ak?1?，结论成立。 k?3k?3*根据（ⅰ）、（ⅱ）知对任何n?N结论都成立……………………………12分
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