湖南省研究生科研创新项目
项目名称：申请者：所在单位：所属学科：联系电话：传真电话：电子信箱：申请日期：申 请 书
非多项式曲线曲面的研究
陈玲芳
湖南科技大学数学与计算科学学院
应用数学 15200359070 15200359070 707838439@qq.com
2016-3-4
湖南省教育厅
2009年制
填 报 说 明
一、申请书各项内容，要实事求是，逐条认真填写。表达要明确、严谨。外来语要同时用原文和中文表达。第一次出现的缩写词，须注出全称。除签名外，项目申请书必须是打印件。
二、申请书一律用A4纸，于左侧装订成册。第二页起各栏空格不够时，请自行加页。如有查新报告及其它附件材料，请连同申请书一起装订成册。
三、“所属学科”按博士、硕士学科专业目录（2006年修订版）二级学科名称填写。
（封2，此页不装订）
一、简表 基础研究 项目 名称 研究 年限 姓名 项目 负责 人 技术职称 姓名 技术职称 目前指导学生数 姓 名 陈玲芳 非多项式曲线曲面的研究 研究 类别 申请经费（万元） 女 身份证号 应用研究 试验发展 2016年至2017年 陈玲芳 研究生 吴晓勤 副教授 性别 学科专业及研究方向 性别 学科专业及研究方向 男 0.5万元 431128199108036325 √ 数学 计算机辅助几何设计 学历学位 博士 指 导 教 师 数学 计算机辅助几何设计 15173263985 所在单位 湖南科技大学数学与计算科学学院 湖南科技大学数学与计算科学学院 湖南科技大学数学与计算科学学院 本人签名 博士： 名，硕士： 1 名 联系电话 身份证号码 431128199108036325 技术职务 研究生 专业 数学 主 要 研 究 人 员 研究生 数学 研究生 数学 项目负责人主要学习和工作经历（从上大学开始） 1、2010年9月到2014年6月 衡阳师范学院 2、2014年至今 湖南科技大学
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二、立项依据 （项目的研究目的、意义；国内外研究现状分析和发展趋势；项目应用前景和学术价值；现有研究基础、条件、手段以及指导教师情况等） 长期以来，曲线曲面是计算机辅助几何设计（CAGD）和计算机图形学（CG）研究的重要课题，主要研究的是在计算机图形系统环境下对曲线曲面的表示、显示和分析，它起源于实际工程的汽车、飞机等外形放样工艺，由Coons、Bézier等于上世纪六十年代奠定其理论基础[1?2]。较早研究的是以多项式为基函数的Bézier曲线[3]和Ferguson曲线[4]，后来发展为B样条曲线和有理样条曲线，它在CAD和CAGD有着广泛应用，经过几十年的发展,现在已经形成了以Bézier和B样条为代表的参数化特征设计和隐式代数曲线曲面表示这两类方法为主体的几何理论体系，特别是非均匀有理B样条（NURBS）方法成为现代曲线曲面最广泛的技术，因NURBS方法的独特优势，国际标准化组织（ISO）于1991年颁布了关于工业产品数据交换的STEP国际标准，把NURBS作为定义工业产品的几何形状的唯一数学描述方法。 NURBS方法其主要优势是：可精确表示二次规则曲线曲面，从而能用统一的数学形式表示规则曲线曲面与自由曲线曲面；具有可调节的曲线曲面的权因子，使其形状易控制与实现，但在实际工程设计中，随着计算机图形显示对于真实性、实时性和交互性要求的日益增强和几何设计对象向着多样化、特殊性和拓扑结构复杂性靠拢这一趋势的日益明显，原有的曲线曲面表示方法缺陷日益露出，不能满足CAGD需要的自由曲线曲面形式的计算表示；NURBS作为一个统一的数学模型，即可以表示自由曲线曲面，又可表示传统几何曲线。Bézier方法虽然在形状控制方面解决了一些问题，但仍存在分段连接、局部修改问题。对此De Boor给出了关于B样条的一套标准算法成功解决了局部控制问题，不管是Bézier还是B样条方法，均不能精确描述圆锥曲线曲面，对此，Forrest在参数范围里首先给出有理Bézier形式的圆锥曲线，目前，Bézier形式和其他有理形式是成为我们研究的热点。Wenping wang[5]等提出了二次曲面的二次有理插值方法；Qi Duan用两种不同方法构造了有理插值函数，并用他们作加权平均，调节权因子能较好地描述曲线形状；D.S.Mee K等构造两个加权因子的有理三次函数类，通过权因子与形状因子调节曲线形状，然而，Piegl指出采用有理形式代替多项式形式,NURBS在形状设计与分析中存在一定的局限性,文[6]中权因子的选取问题至今没有完全解决，原有的方法受到了极大的挑战,人民希望找到一种新的基函数，这种新的基函数既有有理B样条曲线的性质，也有有理B样条曲线的优点。因此，广大 学者们一直在努力探索新的曲线曲面的表示方法。 在曲线曲面的发展中，与NURBS曲线曲面的构造方法不同主要表现在两个方面：一方面，放松连续性条件，由参数连续性转变为几何连续性，最具代表性的是Beta样条曲线[7]；另一方面，在另一函数空间寻求新的基函数，其中包括三角多项式空间，混合函数空间等，特别是混合函数空间突破了NURBS 表示曲线曲面的范畴，扩大了曲线曲面的表示方法，几经发展才慢慢为大家所熟悉和接受，成为了新的研究热点。
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而三角样条与三角多项式在理论与应用中都具有重要的意义，早在60年代，Schoenberg[8]就提出三角多项式样条，并指出任意三角多项式样条均可表示为三角B样条的线性组合；Lyche[9]等研究了三角B样条的递推关，在后来的几十年中，非多项式样条特别是三角样条受到青睐，不仅应用于CAGD领域，还在科学计算机等领域有着广泛的应用。Pe?a[10]等在三角多项式空间Cm=Span?1,cost,cos2t,?,cosmt?找到了与Bernstein基类似的三角多项式基，国内的韩旭里[11-14]和吴晓勤[15-16]在研究三角多项式样条曲线这方面研究得较多并得到一些结论。就三角多项式样条曲线比一般的多项式样条曲线比较，三角多项式样条有明显优点：具有连续性好、逼近度高，还可精确表示圆和椭圆，且参数因子可调整曲线。 混合函数空间的工作开始于1994年，Pottmann 和Wagner[6]首次定义在空间zier曲线C3?Span{1,t,sint,cost}上的 Helix Spline；随后张纪文构造了单参数的C－曲线[17]，随着C-Bé研究的进一步发展，r曲线已从三次推广到四次、五次及一般Cn＝Span{1,t,?,tn?2,sint,cost}空间上的高次曲线[18-19]，而且C-Bézier曲线可方便表示圆弧，特别是整圆的表示[20]，但由于Cn空间的局限性，如悬链线和双曲螺线等曲线不能在此空间精确表示，注意到用双曲多项式代替三角多项式，得到了一些新的曲线。汪国昭等[24]在空间H3?Span{1,t,sinht,cosht}讨论了平面三次混合双曲多项式曲线及其形状分类，提出了三次H-Bézier曲线；吕勇刚[25]等讨论了均匀的双曲多项式B样条曲线(H-B-Spline)，其后李亚娟等[26]在Hn?Span{1,t,?,tn?2,sinht,cosht}空间研究了一般的非均匀节点情形n次H-Bézier曲线，作者称之为NUAHB样条曲线。由于三角多项式和双曲多项式的特性，利用复数知识，可以将Cn和Hn空间统一到一个新的空间?n?Span{1,t,?,tn?2,sin?t,cos?t}，在此空间，方美娥[27]等提出了?-Bézier曲线,它是对C-Bézier曲线、H-Bézier曲线的进一步推广，当频率参数? =0,1,i时，分别对应为Bézier曲线、C-Bézier曲线、H-Bézier曲线；其后在文[28]提出了?-B样条，统一了多项式空间、Cn和Hn空间中的B样条。 从上述文献可以看出：一、非多项式的有理三角样条曲线曲面具备与多项式有理曲线曲面不同的特点：连续性好、逼近度高、形式具有多样性而且还带有形状参数等；二、混合函数空间的曲线曲面既保持了多项式曲线曲面的一些优点，又克服了多项式曲线曲面的一些不足，特别是扩大了多项式曲线曲面的表示范围；三、混合函数空间曲线曲面的研究起步较晚，仅对三种类型的空间Cn、Hn 和?n研究比较多。因此，可以研究新型的曲线曲面的表示问题，不仅理论上有很重要意义，而且对实际的曲线曲面设计也有指导意义。
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