高中数学 第一章 推理与证明 1 归纳与类比同步练习 北师大版选
修2-2
高手支招6体验成功 基础巩固
1.根据给出的数塔猜测123 456×9+7等于( ) 1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1 111 1 234×9+5=11 111 12 345×9+6=111 111
A.1 111 110 B.1 111 111 C.1 111 112 D.1 111 113 答案：B
思路分析：由数塔猜测应是各位数字都是1的七位数,即1 111 111. 2.在数列{an}中,a1=0,an+1=2an+2,则an是( ) A.2?n-2
1nn-1n+1
B.2-2 C.2+1 D.2-4 2答案：B
n
思路分析：当n=1,2,3时,求得a2=2,a3=6,a4=14,观察知an=2-2. 3.已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1，则a 12的值是（ ）
A.15 B.30 C.31 D.64 答案：A 思路分析：用等差数列的性质:等差数列中项数之和相等的对应两项的和也相等.a7+a9=a4+a12,故选A项. 4.已知2?234a234a=2,3?=3,4?=4,…,若6?=6(a,b均为实3815b3815b数),请推测a=________________,b=________________.
答案：6 35
思路分析：由前面三个等式,推测归纳被开方数的整数与分数的关系,发现规律.
由三个等式知,整数和这个分数的分子相同,而分母是这个分子的平方减1,由此推测
6?a2
中,a=6,b=6-1=35. b111345++…+(n∈N+),经计算:f(2)=,f(4)＞,f(8)＞,f(16)＞23n222即a=6,b=35. 5.已知f(n)=1+3,f(32)＞
7,推测当n≥2时,有_______________. 2n?2n
答案：f(2)＞
2思路分析：对问题进行归纳时,要尽可能将结论的形式统一,这样便于找到共性特征,看出其
1
35672345
,f(2)＞2,f(2)＞,f(2)＞,f(2)＞，从2222n?2n
而归纳出当n≥2时的一般结论为n≥2时,f(2)＞.
2规律,故本题应将所给的式子写成f(2)=
1
6.若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点M1、M2与点N1、N2,则三角形面积之比为:
S?OM1N1S?OM2N2?OM1ON1·.若从点O所作的不在同一个平面内的三条射线OP、OQ和OROM2ON2OPOQ1OR11=· OP2OQ2OR2上分别有点P1、P2与点Q1、Q2和R1、R2,则类似的结论为:_______________. 答案：
VO?P1Q1R1VO?P2Q2R2?思路分析：在平面中是两三角形的面积之比,凭直觉可猜想在空间应是体积之比,所以有
VO?P1Q1R1VO?P2Q2R2?OPOQ1OR11=· OP2OQ2OR21(n∈N+),f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1-an),试通过计算
(n?1)27.已知数列{an}的通项公式an=
f(1),f(2),f(3)的值,推测出f(n)的值. 答案：(1)f(1)=1-a1=1?1313824?,f(2)=(1-a1)(1-a2)=f(1)·(1?)=·==, 449493612155n?2)=·=,由此猜想f(n)=. 1631682(n?1)f(3)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)=f(2)·(1?思路分析：利用题目所给的关系式,可以计算出函数值,根据f(1),f(2),f(3)的值,找到共性
特征,进而可得f(n)的值.
8.已知:sin30°+sin90°+sin150°=
2
2
2
33222
,sin5°+sin65°+sin125°=. 222
观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题,并证明之. 答案：一般性的命题为sinθ+sin(60°+θ)+sin(120°+θ)=证明如下:sinθ+sin(60°+θ)+sin(120°+θ)
2
2
2
2
2
3. 21?cos2?1?cos(120??2?)1?cos(240??2?)??= 22231?［cos2θ+cos(120°+2θ)+cos(240°+2θ)］ 2231=?［2cos60°cos(60°+2θ)+cos(180°+60°+2θ)］ 22313=?［cos(60°+2θ)-cos(60°+2θ)］=. 222=
思路分析：仔细分析两个式子中角的特点,就会发现角的度数成等差数列,从而找到了规律.对角的观察是本题的突破口,若从两个式子中未能找到规律,可将两个式子中的三个角同时
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变化较小的度数,即可发现角的关系,从而找到式子的规律. 综合应用
?1a,n为偶数,?1?2n9.设数列{an}的首项a1=a≠,且an+1=?
14?a?,n为奇数.n?4?记bn=a2n-1?1,n＝1,2,3,… 4（1）求a2,a3;
（2）判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论.
11111=a+,a3=a2=a+; 44228113113（2）∵a4=a3+=a+,所以a 5=a4=a+,
428241611111111所以b1=a1-=a-,b2=a3-=(a-),b3=a5-=(a-),
444244441猜想:{bn}是公比为的等比数列.
2答案：（1）a2＝a1+证明如下:
111111*
=a2n-=(a2n-1-)=bn,(n∈N) 42424211∴{bn}是首项为a-,公比为的等比数列.
42∵bn+1＝a2n+1-思路分析：本题是考查猜想归纳能力及等比数列的定义.
10.如图,点P为斜三棱柱状ABC-A1B1C1的侧棱BB1上一点,PM⊥B1B交AA1于点M,PN⊥BB1交CC1于点N.
(1)求证:CC1⊥MN;
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(2)在任意△DEF中有余弦定理:DE=DF+EF-2DF·EFcos∠DFE.拓展到空间,类比三角形的余弦定理,写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式,并予以证明.
答案：(1)证明:∵PM⊥BB1,PN⊥BB1,∴BB1⊥平面PMN. ∴BB1⊥MN.又CC1∥BB1,∴CC1⊥MN. (2)解:在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,有 SaBB1A1=S2
BCC1B12+SACC1A12-2SBCC1B1·SACC1A1cosα.
其中α为平面CC1B1B与平面CC1A1A所成的二面角. ∵CC1⊥平面PMN,
∴上述的二面角的平面角为∠MNP.
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在△PMN中, 222
PM=PN+MN-2PN·MN·cos∠MNP
?PM2·CC12=PN2·CC12+MN2·CC12-2(PN·CC1)·(MN·CC1)·cos∠MNP, 由于SBCC1B1=PN·CC1,SACC1A1=MN·CC1,SABB1A1=MP·BB1, ∴SAAB1A12=SBCC1B12+SACC1A12-2SBCC1B1·SACC1A1cosα.
思路分析：考虑到三个侧面的面积需要作出三个侧面的高,由已知条件可得△PMN为三棱柱的直截面,选取三棱柱的直截面三角形作类比对象.
11.找出三角形和四面体的相似性质,并用三角形的下列性质类比四面体的有关性质. (1)三角形的两边之和大于第三边;
(2)三角形的中位线等于第三边的一半且平行于第三边;
(3)三角形的三条内角平分线交于一点,且这个点是三角形内切圆的圆心; (4)三角形的面积为S=
1(a+b+c)r(r为内切圆的半径). 2解：三角形与四面体有下列共同性质：
(1)三角形是平面内由线段围成的最简单的封闭图形,四面体是空间中由平面三角形所围成的最简单的封闭图形.
(2)三角形可以看作平面上一条线段外一点与这条直线段上的各点连线所形成的图形,四面体可以看作三角形外一点与这个三角形上各点连线所形成的图形.根据三角形的性质可以推测空间四面体的性质如下:
三角形 三角形两边之和大于第三边 三角形的中位线等于第三边的一半且平行于第三边 三角形的三条内角平分线交于一点,且这个点是三角形内切圆的圆心 三角形的面积为S=内切圆的半径) 四面体 四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积 四面体的中位面的面积等于第四个面面积的1,且平行于第四个面 4四面体的四个面的二面角的平分面交于一点,且这个点是四面的内切球的球心 11(a+b+c)r(r为三角形四面体的体积为V=(S1+S2+S3+S4)r(S1、S2、23S3、S4为四面体四个面的面积,r为内切球的半径） 思路分析：根据三角形和四面体之间所具有的某些类似(或一致)的性质,推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质,充分分析出三角形和四面体之间所具有的共同性质,再进行类比推理.
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