（2）若一对姐弟中只能有一人参加夏令营，姐弟俩提议让父亲决定．父亲说：现有4张卡片上分别写有1，2，3，4四个整数，先让姐姐随机地抽取一张后放回，再由弟弟随机地抽取一张．若抽取的两张卡片上的数字之和是5的倍数则姐姐参加，若抽取的两张卡片上的数字之和是3的倍数则弟弟参加．用列表法或树形图分析这种方法对姐弟俩是否公平？
考点： 条形统计图；列表法与树状图法；游戏公平性． 分析： （1）假设出去B地的人数为x，根据去B地参加夏令营活动人数占总人数的40%，进而得出方程求出即可； （2）根据已知列表得出所有可能，进而利用概率公式求出即可． 解答： 解：（1）设去B地的人数为x， 则由题意有：； 解得：x=40． ∴去B地的人数为40人． （2）列表： 4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） 3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） 2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） 1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） 1 2 3 4 ∴姐姐能参加的概率弟弟能参加的概率为∵＜， ， ， ∴不公平． 点评： 此题主要考查了条形统计图以及列表法求出概率和游戏公平性等知识，正确列举出所有可能是解题关键． 22．（10分）（2013?孝感）在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母
亲．经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y（件）与销售价格x（元/件）满足一个以x为自变量的一次函数．
（1）求y与x满足的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？ 考点： 二次函数的应用；一次函数的应用． 分析： （1）设y与x满足的函数关系式为：y=kx+b．，由题意可列出k和b的二元一次方程组，解出k和b的值即可； （2）根据题意：每天获得的利润为：P=（﹣3x+108）（x﹣20），转换为P=﹣3（x﹣228）+192，于是求出每天获得的利润P最大时的销售价格． 解答： 解：（1）设y与x满足的函数关系式为：y=kx+b． 由题意可得：解得 故y与x的函数关系式为：y=﹣3x+108． （2）每天获得的利润为：P=（﹣3x+108）（x﹣20）=﹣3x+168x﹣2160=﹣3（x﹣28）2+192． 故当销售价定为28元时，每天获得的利润最大． 点评： 本题主要考查二次函数的应用的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及最值得求法，此题难度不大． 23．（10分）（2013?孝感）如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC． （1）求证：PA是⊙O的切线； （2）若PD=，求⊙O的直径．
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考点： 切线的判定． 分析： （1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，再由OA=OC得出∠ACO=∠OAC=30°，再由AP=AC得出∠P=30°，继而由∠OAP=∠AOC﹣∠P，可得出OA⊥PA，从而得出结论； （2）利用含30°的直角三角形的性质求出OP=2OA，可得出OP﹣PD=OD，再由PD=，可得出⊙O的直径． 解答： （1）证明：连接OA， ∵∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°， 又∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA=30°， 又∵AP=AC， ∴∠P=∠ACP=30°， ∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90°， ∴OA⊥PA， ∴PA是⊙O的切线． （2）在Rt△OAP中，∵∠P=30°， ∴PO=2OA=OD+PD， 又∵OA=OD， ∴PD=OA， ∵， ∴． ∴⊙O的直径为． 点评： 本题考查了切线的判定及圆周角定理，解答本题的关键是掌握切线的判定定理、圆周角定理及含30°直角三角形的性质． 24．（10分）（2013?孝感）已知关于x的一元二次方程x﹣（2k+1）x+k+2k=0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围； （2）是否存在实数k使得
≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存
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在，请说明理由． 考点： 根与系数的关系；根的判别式． 分析： （1）根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式△≥0，据此列出关于k的不22等式[﹣（2k+1）]﹣4（k+2k）≥0，通过解该不等式即可求得k的取值范围； （2）假设存在实数k使得求得化为含有两根之和、两根之积的形式以求得k的值． 解答： 解：（1）∵原方程有两个实数根， 22∴[﹣（2k+1）]﹣4（k+2k）≥0，
≥0成立．利用根与系数的关系可以，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转≥0，通过解不等式可∴4k+4k+1﹣4k﹣8k≥0 ∴1﹣4k≥0， ∴k≤． ∴当k≤时，原方程有两个实数根． （2）假设存在实数k使得∵x1，x2是原方程的两根， ∴由得2222≥0成立． ． ≥0， ≥0． 2∴3（k+2k）﹣（2k+1）≥0，整理得：﹣（k﹣1）≥0， ∴只有当k=1时，上式才能成立． 又∵由（1）知k≤， ∴不存在实数k使得≥0成立． 点评： 本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系． 25．（12分）（2013?孝感）如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）； （2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）． ①AE=EF是否总成立？请给出证明；
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②在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y=﹣x+x+1上，求此时点F的坐标．
考点： 二次函数综合题． 专题： 综合题． 分析： （1）取AB的中点G，连接EG，利用SSS能得到△AGE与△ECF全等； （2）①在AB上截取AM=EC，证得△AME≌△ECF即可证得AE=EF；
②过点F作FH⊥x轴于H，根据FH=BE=CH设BH=a，则FH=a﹣1，然后表示出点F的坐标，根据点F恰好落在抛物线y=﹣x+x+1上得到有关a的方程求得a值即可求得点F的坐标； 解答： （1）解：如图1，取AB的中点G，连接EG． △AGE与△ECF全等． （2）①若点E在线段BC上滑动时AE=EF总成立． 证明：如图2，在AB上截取AM=EC． ∵AB=BC， ∴BM=BE， ∴△MBE是等腰直角三角形， ∴∠AME=180°﹣45°=135°， 又∵CF平分正方形的外角， ∴∠ECF=135°， ∴∠AME=∠ECF． 而∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°， ∴∠BAE=∠CEF， ∴△AME≌△ECF． ∴AE=EF． ②过点F作FH⊥x轴于H， 由①知，FH=BE=CH， 设BH=a，则FH=a﹣1， ∴点F的坐标为F（a，a﹣1） 2∵点F恰好落在抛物线y=﹣x+x+1上， 2∴a﹣1=﹣a+a+1， 2∴a=2，（负值不合题意，舍去）， ∴． ∴点F的坐标为． 2 点评： 本题考查了二次函数的综合知识，题目中涉及到了全等的知识，还渗透了方程思想，是一道好题．