微分中值定理的证明及应用
黄敏
（井冈山大学数理学院,江西吉安 343009）
指导老师：颜昌元
[摘要] 本文从不同的方面对此定理加以证明,使得抽象的定理灵活化,从而更易理解,并在此基础上去解决关于“微分中值定理”的应用的问题. [关键词] 辅助函数 中值定理 介值定理 引言
微分中值定理不仅是微分学的基本定理，而且它也是微分学的理论核心.又因为导数的许多重要应用都是建立在中值定理基础上的，所以微分中值定理是微分学应用的理论基础.微分中值定理通常指:罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理.在常见教材中,以罗尔中值定理为基础,通过构造辅助函数来实现后两个定理的证明.证明的关键是做出辅助函数.现行教材中传统形式的辅助函数,表达式冗长.以下通过:1、分析推理法2、“K”值法3、积分法三种方法构造出形式简单的辅助函数,而且构造的过程是水到渠成,自然而有逻辑.并提出一种新颖地“逆序统一证明”法证明这三个定理.最后通过一类证明题和一些巧用来说明“微分中值定理”的应用.
1微分中值定理的证明
定理1 罗尔（Rolle）中值定理 如果函数f(x)在闭区间?a,b?上连续，在开区间内?a,b?可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)?f(b)，那么在?a,b?内至少存在一点
ξ(a<ξ 定理2 拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数f(x)在闭区间?a,b?上连续，在开区间内?a,b?内可导，那么在?a,b?内至少存在一点ξ(a<ξ f(b)?f(a)?f?(ξ)(b?a) 成立. 定理3 柯西(Cauchy)中值定理 如果函数f(x)与g(x)在闭区间?a,b?上连续，在开区间 ?a,b?内可导，且g?(x)在?a,b?内每一点均不为零，那么在?a,b?内至少存在一点 ξ(a<ξ 1 f(b)?f(a)f?(ξ) ??g(b)?g(a)g(ξ)成立. 1.1 证明中建立辅助函数的方法 这类微分中值定理证明的方法,一般是在罗尔定理的基础上引出辅助函数来完成.因此根据问题分析并构造出一个简单易懂的辅助函数,是解决问题的关键. 1.1.1 分析推理法 分析一下定理3,定理3的结论是:至少存在一点ξ,使得 f(b)?f(a)f?(ξ) ?g(b)?g(a)g?(ξ)f?(ξ)f(b)?f(a)即 ?g?(ξ)g(b)?g(a)?0,即 ?0, ξ)??g(b)?g(a)?f?(ξ)?f(b)?f(a)?g?(g?(ξ)?g(b)?g(a)?因为g?(ξ)?g(b)?g(a)??0,所以只要 ξ)??g(b)?g(a)?f?(ξ)?0 （*） ?f(b)?f(a)?g?(由（*）式可以试着构造函数 F3(x)??f(b)?f(a)?g(x)?f(x)?g(b)?g(a)? 只要它满足罗尔中值定理的条件，便知存在一点ξ(a<ξ F3?(x)?0. 即（*）式成立,定理3便可得证.不难验证,F3(x)确实满足罗尔中值定理的条件,因此在证明定理3时,辅助函数设为F3(x)即可,同理,由定理2与定理3的关系易知,在证明定理2时,可令辅助函数 F2(x)??f(b)?f(a)?x?f(x)(b?a) 这种方法主要是针对现行教材中传统形式的辅助函数的表达式冗长,而通过分析推理, 遵循严密的逻辑关系,构造出形式简单的辅助函数,从而解决定理的证明. 1.1.2 “K”值法 ξ)?拉格朗日中值定理中,令 f?(f(b)?f(a)?K,则有?f(b)?f(a)??Kb?Ka, b?a即有f(b)?Kb?f(a)?Ka,不难发现,F(x)?f(x)?Kx在?a,b?上均满足罗尔中值定理的条件, 2 其中K?f(b)?f(a)f(b)?f(a)x可以作为所需要的辅助函数. ,因此F(x)?f(x)?b?ab?a而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广,因此,只需将上述方法推而广之,即可证得 柯西中值定理. 令 f(b)?f(a)?K,由已知,对?a,b?中任意x，g?(x)?0,可推得g(b)?g(a)?0g(b)?g(a)（根据罗尔中值定理可证得）.此时有 f(b)?f(a)?K?g(b)?g(a)? 即 f(a)?Kg(a)?f(b)?Kg(b) 不难发现,可以取F(x)?f(x)?Kg(x)作为辅助函数,它在?a,b?上均满足罗尔中值定 ξ)?0,所以 理的条件,故有F?(x)?f?(x)?Kg?(x),ξ(a<ξ f(b)?f(a)f?(ξ) ??g(b)?g(a)g(ξ)此方法构造辅助函数的过程相当巧妙，而且所得辅助函数简单明朗，但逻辑关系并非十 分严密，带有一定的偶然性，不易理解,没有上种“分析推理法”逻辑性强. 1.1.3 积分法 定理2 拉格朗日中值定理的证明 ξ)?0对应改写成 把需证之式变为(f(b)?f(a))?(b?a)f?((f(b)?f(a))?(b?a)f?(x)?0（把ξ换成x）, 证明上述方程在?a,b?内存在根，将上式左边对x积分，有 ??f(b)?f(a)?(b?a)f?(x)?dx?(f(b)?f(a))x?(b?a)f(x)?c 故取 F(x)?(f(b)?f(a))x?(b?a)f(x).则F(x)在?a,b?上连续，在?a,b?内可导，且 F(a)?F(b)?af(b)?bf(a) 由罗尔中值定理知，至少存在一点ξ(a<ξ f(b)?f(a)?(b?a)f?(ξ)?0. 3 同理，可以知道定理3柯西中值定理的证明.把需证之式变成 ξ)??g(b)?g(a)?f?(ξ)?0 ?f(b)?f(a)?g?(对应改写成 (f(b)?f(a))g?(x)?(g(b)?g(a))f?(x)?0（把ξ换成x） 证明上述方程在?a,b?内存在根，将上式左边对x积分，有 ??f(b)?f(a)g?(x)?(g(b)?g(a))f?(x)?dx??f(b)?f(a)?g(x)??g(b)?g(a)?f(x)?c故取 F(x)??f(b)?f(a)?g(x)??g(b)?g(a)?f(x) 则F(x)在?a,b?上连续，在?a,b?内可导，且 F(a)?F(b)?f(b)g(a)?g(b)f(a) 由罗尔定理知，至少存在一点ξ(a<ξ F?(x)?0 即 (f(b)?f(a))g?(ξ)?(g(b)?g(a))f?(ξ)?0. 通过以上证明可知,“积分法”的关键步骤也是构造辅助函数，其基础方法是：（1）将 需证之式整理，使等式右边为0，左边的ξ改写成x；（2）对等式左边关于x积分；（3）对应积分值写出F(x)，这种方法最大的优点在于其规律性，不需要过多的考虑步骤,而只需根据规律就可步步得出证明.易掌握和运用. 1.2 逆序统一证明法 这种方法颠覆了传统的证明顺序.按Cauchy中值定理、Lagrange中值定理、Rolle中值定理的顺序给出证明。 1先证Cauchy中值定理 证 令F(x)??f(b)?f(a)?g(x)??g(b)?g(a)?f(x),则F(x)满足： （1）在?a,b?上连续; (2)在?a,b?内可导; (3) F(a)?F(b)?f(b)g(a)?f(a)g(b) 0 ξ)?0，即 若F(x)?c（常数）?F(a)?F(b),取?a,b?内任一点为ξ都有F?( 4 ξ)??g(b)?g(a)?f?(ξ) ?f(b)?f(a)?g?(若存在某个x属于?a,b?，F(x)?F(a)?F(b),因为F(x)在?a,b?上连续,所以F(x)必在某点ξ在?a,b?处取得最大值或最小值，则ξ亦称为极值点，又F(x)在?a,b?可导,所以 F?(x)?0.即 ξ)??g(b)-g(a)?f?(ξ) ?f(b)?f(a)?g?(2 Lagrange中值定理的证明 证 只要令定理中的g(x)?x，立即有本定理的结论. 3Rolle中值定理证明 证 把该定理中的条件f(b)?f(a)用于Lagrange中值定理的结论即证. 从上述整个证明过程不难看出,实际上只对定理1给出了详细的证明,且难易程度与繁 简程度不大,而后两个定理是立即得到的推论,与上述构造辅助函数相比,而有更简捷、更新颖、更快捷的具大优势. 2 微分中值定理的应用 要熟练的应用中值定理确实是一件不易的事，尤其是辅助函数的引入，更是变化多样.下面给出微分中值定理在数学分析的一些证明题中的巧用. 2.1 插入一个分点使满足中值定理的条件. 分点c的选取,要根据具体情况而定,有时需要结合闭区间上连续函数的性质推断符合要求的点c的存在性,以保证函数在该点处的值(f(c)满足特殊要求,进而完成证明. 例 1设(f(x)在?0,1?上连续,在?0,1?内可导,f(0)?0,f(1)?1 ，证明: 0 0 η)?2, (1) 存在?0,1?内两个不同的点ξ,η,使得f?(ξ)?f?((2) 存在?0,1?内两个不同的点ξ,η，使得 11?2, ? f?(ξ)f?(η)η)?1, (3) 存在?0,1?内两个不同的点ξ,η,使得f?(ξ)f?((4) 存在?0,1?内两个不同的点ξ,η及大于零的常数δ,使得 f￠(ξ)=d, ￠f(η)(5) 对于任意的正整数n，存在?0,1?内两个不同的点ξ,η及常数s>0,使得 f￠(ξ)=n(s-1), f￠(η) 5