(6) 对于任意常数a属于(0,)，存在?0,1?内两个不同的点ξ,η及c属于?0,1?使得
?2f￠(ξ)c=tan2a. f￠(η)1-c分析 要证明存在?0,1?内两个不同的点ξ,η，使得题中等式成立，关键是在?0,1?内插入一个分点c，将闭区间?0,1?分成两个子区间?0,c?及?c,1?，然后分别在这两个闭区间上应用中值定理即可.
证 (1)显然,f(x)分别在?0,?及?,1?上满足Lagrange中值定理的条件，故存在ξ22属于?0,?，η属于??1????1?????1?2??1?,1?，使得 ?2?11f()?f(0)f(1)?f()2?f?(2?f?(ξ)，η).
11?01?22ξ)?f?(η)?2. 从而 f?(（2）因为f(x)在?0,1?上连续，f(0)?0,f(1)?1，故根据闭区间上的连续函数的介值定理，存在c属于?0,1?上满足f(c)?1，显然，f(x)分别在?0,c?及?c,1?上满足Lagrange2中值定理的条件，故存在ξ属于?0,c?，η属于?c,1?使得：
f(c)?f(0)f(1)?f(c)?f?(ξ)，?f?(η)
c?01?c从而
11?2. ?
f?(ξ)f?(η)（3）构造辅助函数F(x)?f(x)?x?1
显然，其在?0,1?上连续，且F(0)?f(0)?0?1??1?0，F(1)?f(1)?1?1?1?0 根据闭区间上连续函数的介值性定理，存在c属于?0,1?，满足F(c)?0即f(c)?1?c 又f(x)分别在?0,c?及?c,1?上满足Lagrange中值定理的条件，故存在ξ属于?0,c?，η属于?c,1?使得：
6
f(c)?f(0)f(1)?f(c)?f?(ξ)，?f?(η)
c?01?c从而
f?(ξ)f?(η)?f(c)(1?f(c))?1.
c(1?c)（4）因为f(x)在?0,1?上连续，f(0)?0,f(1)?1，故根据闭区间上的连续函数的介值
1，显然，f(x)分别在?0,c?及?c,1?上满足Lagrange21中值定理的条件，故存在ξ属于?0,c?，η属于?c,1?，δ=?1?0,使得：
cf(c)?f(0)f(1)?f(c)?f?(ξ)，?f?(η)
c?01?c定理，存在c属于?0,1?上满足f(c)?从而
f?(ξ)f(c)(1?c)n(1?c)???n(δ-1). f?(η)c(1?f(c))c（5）因为f(x)在?0,1?上连续，f(0)?0,f(1)?1，则对于任意的正整数n，
n?1，故根据闭区间上的连续函数的介值定理，存在c属于?0,1?，满足 n?1nf(c)?，且显然 f(x)分别在?0,c?及?c,1?上满足Lagrange中值定理的条件，故存
n?11在ξ属于?0,c?，η属于?c,1?，δ=?1?0,使得：
cf(c)?f(0)f(1)?f(c)?f?(ξ)，?f?(η)
c?01?c0?
从而
f￠(ξ)f(c)(1-c)n-c===n(s-1). f￠(η)c(1-f(c))c（6）因为f(x)在?0,1?上连续，f(0)?0,f(1)?1，且对于任意常数a属于(0,)，
?20 又f(x)显然在?0,c?及?c,1?上满足Lagrange中值定理的条件，故存在ξ属于?0,c?，η属于?c,1?，c=1-c属于?0,1?，使 f(c)?f(0)f(1)?f(c)?f?(ξ)，?f?(η) c?01?c从而 7 f￠(ξ)f(c)(1-c)c==tan2a. f￠(η)c(1-f(c))1-c2.2 若在所证明的等式中同时出现函数及其导数时,应考虑使用e这个辅助函数,因为它的导数等于它本身,在使用Rolle定理时可以消去. 例2 若函数f(x)在闭区间?a,b?上连续，在开区间内?a,b?可微,且f(a)?f(b)?0,则存在ξ属于(a,b),使 xf(ξ)?f?(ξ)?0. 证 令g(x)?f(x)ex，因为f(a)?f(b)?0,所以g(a)?g(b)?0.再由Rolle定理得, ξ)?0. 存在ξ属于(a,b),使g?(即 f(ξ)eξ?f?(ξ)eξ?0, 所以 f(ξ)?f?(ξ)?0成立. 例3 若函数f(x)在闭区间?a,b?上连续，在开区间内?a,b?可微,且f(a)?f(b)?0,则存在ξ属于(a,b),使 f(ξ)g?(ξ)?f?(ξ)?0. 证 令p(x)?f(x)eg(x)，因为f(a)?f(b)?0,所以p(a)?p(b)?0.由Rolle定理得： ξ)?0， 存在ξ属于(a,b),使p?(即 f(ξ)g??ξ?eg(ξ)?f?(ξ)eg(ξ)?0. 所以有 f(ξ)g??ξ??f?(ξ)?0 成立. 例4 若函数f(x)在闭区间?a,b?上连续，在开区间内?a,b?可微,且f(a)?f(b)?0, ξ)?f?(ξ)?0 则对于任意自然数n,存在ξ属于(a,b),使nf(证 同理只需令g(x)?f(x)e n(x),再应用Rolle定理即可. 8 2.3 已知f(x)在一个区间的某一端点处的值为0,且在所证明的式子中有自然数出现,则可考虑f(x)的方幂. 例 5 若函数在闭区间?a,b?上连续，在开区间内?a,b?可微,且 f(a)?f(b)?0,f(x)?0, ξ)?f?(ξ)?0成立. 其中x属于(a,b),则对任意正整数n，存在ξ属于(a,b),使nf(证明:因为在要证明的式子中,有f(x)及f?(x),还有自然数n,故联想到fn(x)及e. 令g(x)?fn(x)ex,则 xg(a)?g(b)?0. ξ)?0 由Rolle定理得:存在ξ属于(a,b),使g?(即 nf?(ξ)fn?1(ξ)eξ?fn(ξ)eξ?0. 2.4 经过简单变形,一端可写成 f(b)?f(a)f(b)?f(a)或形式的不等式,或要证明的不等 b?ag(b)?g(a)式是区间内“至少”一点使命题成立. 例6设a?e,0?x?y?分析 原不等式等价于 ?2,证明a?a?(cosy?cosx)alna成立. yxxay?ax??axlna, (cosy?cosx)由不等式左端的形式,可知Cauchy定理可能解决此题. 证 令f(t)?a,g(t)?cost 由题设条件,可知f(t),g(t)在?x,y?上满足Cauchy定理的条件,于是有: tf(x)?f(y)f?(ξ)? g(x)?g(y)g?(ξ)即: ay?axaξlna??(0?x?ξ?y?) (cosy?cosx)?sinξ2故 9 ay?ax?(cosy?cosx)aξ即 1lna?(cosy?cosx)aξlna?(cosy?cosx)axlna sinξay?ax?(cosy?cosx)axlna 成立. 参考文献 [1]刘玉琏，付沛仁.数学分析讲义[M].高等教育出版社，2001 [2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社，2003 [3]张素霞，徐文雄.一类微分中值定理证明题浅析[J].高等数学研究Vol.10 No5 Sep.2007 [4]同济大学.高等数学[M].高等教育出版社，1996 [5]王新芳.微分中值定理的多种证明方法[J].山西财经大学学报,1998 Proof of Differential Mean-Value Theorem and Its Application Author: Huang Min (Institute of Mathematics and Physics,Jinggangshan University, Ji’an,Jiangxi 343009) Tutor: Yan changyuan Abstract In this paper, we prove the differential mean-value theorem form different aspects. These proof make abstract theorem flexible and easier to understand. Furtherly, we discuss some application of differential mean-value theorem. Key words accessorial function; differential mean-value theorem; intermediate value theorem 10