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烟台市高三诊断性试题
数学（理）k.s.5.u
注意事项：
1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．
2．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用2B铅笔．要字迹工整，笔迹清晰．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效．
3．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上．k.s.5.u
1．设集合A?{1,2}，则满足A∪B??1,2,3?的集合B的个数是 A．1 B．3 C．4 D．8
3b
2．若(a?2i)i?b?i，其中a、b?R，i是虚数单位，则ai等于
5 D．5 23．有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm），则该几何体的表面积为
A．1
B．2 C．
5 6 正视图
2侧视图
2俯视图
22A. 12cm B. 15?cm C. 24?cm D. 36?cm 4．已知命题p：?x∈R，使sinx=给出下列结论： ① 命题“p?q”是真命题
③命题“?p?q”是真命题；
5；命题q：?x∈R，都有x2+x+1>0. 2② 命题“?p??q”是假命题 ④命题“p??q”是假命题 其中正确的是
A．②③
B．②④
C．③④
D．①②③
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5. 下面是一个算法的程序框图，当输入的x值为3时，输出y的结果恰好是的关系式是
A．y?x3 B．y?3?x C．y?3x D．y?x k.s.5.u
6．如图，在一个长为?，宽为2的矩形OABC内，曲线
131，则 ？处3y 2 A y=sinx C x ? A B y?sinx(0?x??)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点（该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的），则所投的
点落在阴影部分的概率是
A．O 1? B.
2? C.
? 4 D.
3?
227．直线2x?y?3?0与y轴的交点为P，点P把圆(x?1)?y?25的直径分为两段，则其长度之比为
A．
74或 47 B．73或 37C．75或 57D．76或 67?2x，（x?4）8．若函数f(x) =? ，则f(log23)?
?f(x?3)，（x＜4）A．3
B．4
C．16
D．24
9.已知图1是函数y?f(x)的图象，则图2中的图象对应的函数可能是 y y
O O 图1
k.s.5.u
A．y?f(|x|)
C．y?f(?|x|)
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x 图2 x B．y?|f(x)| D．y??f(?|x|)
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?11???的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中3的系数是 10．如果3x???3xx2??A．7 B．?7 C．21 D．?21
k.s.5.u
11. 对于下列两个结论： （1）把函数y?3sin(2x?n?3（2）在?ABC中，若acosB?bcosA，则?ABC是等腰三角形.
则下面的判断正确的是 A．（1）（2）都正确 C．只有（1）正确
B．（1）（2）都错误 D．只有（2）正确
)的图象向右平移
?得到y?3sin2x的图象； 612．若定义在R上的偶函数f?x?满足f?x?2??f?x?，且当x??0,1?时，f?x??x,，则函数y?f?x??log3x的零点个数是
A．多于4个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题.本大题共有4个小题,每小题4分,共16分.把正确答案填在答题卡的相应位置.
13.某校举行2010年元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数如下茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 ， ．
14.已知5x?3?5x?4?7，则x的范围是___________．
15. 已知向量a＝（4，2），向量b＝（x，3），且a//b,则x的值是 ． 16．如图，在?ABC中，?CAB??CBA?30，AC、BC 边上的高分别为BD、AE，则以A、B为焦点，且过D、E的椭 圆与双曲线的离心率的倒数和为 . k.s.5.u
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?7 9
8 4 4 6 4 7 93
E A C D B
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三、解答题. 本大题共6个小题,共74分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤. k.s.5.u
17.（本小题满分12分）
已知向量a?(cos?,sin?)，b?(cos?,sin?)，∣a–b∣ ?（1）求cos(???)的值； （2）若0???25. 5?2，??2???0， 且sin???5， 求sin?． 1318．(本小题满分12分)
如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，
AB?2，AF?1，M是线段EF的中点. （1）求证AM∥平面BDE；
（2）试在线段AC上确定一点P，使得PF与CD所成的角是60. 19. (本小题满分12分)
在数列?an?中，a1?2，an?1?an?cn (c是常数，n?1,2,3,???)，且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列.
（1）求c的值；
（2）求?an?的通项公式．
20. (本小题满分12分)
某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响. 已知某学生只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用?表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积.
（1）记“函数f(x)?x??x 为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率；
（2）求?的分布列和数学期望.
21. (本小题满分12分) k.s.5.u
2?13x?ax2?bx （a,b?R） 311(1) 若y?f(x)图象上的点 (1,?)处的切线斜率为?4，求y?f(x)的极大值；
3已知函数f(x)?(2) 若y?f(x)在区间??1,2?上是单调减函数，求a?b的最小值. 22．(本小题满分14分)
(1) 已知动点P(x,y)到点F(0,1)与到直线y??1的距离相等，求点P的轨迹L的方程； (2) 若正方形ABCD的三个顶点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)(x1?0≤x2?x3)在(1)中的曲线L上，设BC的斜率为k，l?|BC|，求l关于k的函数解析式l?f(k)；
(3) 求(2)中正方形ABCD面积S的最小值．
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烟台市高三诊断性试题
数学（理）参考答案及评分标准
一、选择题 CACAC ABDCC AB 二、填空题k.s.5.u
13．85，1.6 14．(?0.6,0.8) 15．6 16．3 三、解答题
17．解：（1）∵∣a∣?1 ，∣b∣?1 ……1分 ∣a－b∣?∣a∣ －2a﹒b ?∣b∣
22?∣a∣ ?∣b∣－2(cos?cos??sin?sin?) 222?1?1?2cos(???)
?25?2542? ? ∣a–b∣??? . ……4分 ?5?55?? ?2?2cos(???)?（2）??243得cos(???)? ……6分 55?2???0????2?0?????? ……7分
34 得sin(???)? ……8分 55125 由 sin??? 得cos?? ……10分
1313 由 cos(???)? ?sin??sin?(???)????sin(???)cos??cos(???)sin? ……11分 ?4123533 ……12分 ???(?)?51351365
18．解: (1) 如图建立空间直角坐标系.设AC?BD?N，
连结NE，则N??22???2,2,0?…………2分 ???22??,?,1?E?0,0,1? ∴NE???? 22???22??M又A2,2,0 ，??2,2,1?
????∴AM??????22?,?,1?…………4分 22??∴ NE?AM 且NE与AM不共线，k.s.5.u
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