2011届高三上学期期末四校联考·数学（理科）
答案及说明
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 题号 答案 1 A 2 A 3 D 4 A 5 D 6 B 7 D 8 C 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． 9．25 10． (??,0]?[3,??) 11．6 ??1?(x?1)2,x??1???2,?13．y????2?? 14．5?1 ??1?x2,x???1??,1??2??三、解答题：本大题共6小题，满分80分.
16．(本题满分12分)
222【解析】①由余弦定理知：cosA＝
b?c?a2bc＝
12
∴∠A＝
?3 ②由正弦定理得：
asinA?bsinB?csinC?2
∴b＝2sinB，c＝2sinC ∴b2＋c2＝4(sin2B＋sin2C)＝2(1－cos2B＋1－cos2C)
＝4－2cos2B－2cos2(2?－B)
3 ＝4－2cos2B－2cos(4?－2B)
3 ＝4－2cos2B－2（－
132cos2B－
2sin2B）
＝4－cos2B＋3sin2B ＝4＋2sin(2B－?6) 又∵0＜∠B＜
2?3 ∴??6＜2B－
?7?6＜
6
∴?1＜2sin(2B－
?6)≤2
∴3＜b2＋c2≤6 第6页 共11页
12．①③④ 15．4
??????4分
??????6分 ??????10分 ??????12分
17．（本题满13分）
【解析】（1）某考生要得得60分，必须全部8题做对，其余3题中，有一道做对的概率为
有一道题目做对的概率为
P?1312，
，有一道做对的概率为
14，所以所得40分的概率为
1111 ??????4分 ???23424（2）依题意，该考生得分的范围为?25,30,35,40? 得25分做对了5题，其余3题都做错了，所以概率为P1?得
P2?1231??? 234430分是做对5题，其余3题只做对1题，所以概率为
12311312111????????? 23423423424得
P3?35分是做对5题，其余3题做对2题，所以概率为
1131211111????????? 2342342344124得40分是做对8题，，所以概率为P4?
所以得30分的可能性最大 ??????10分 （3）由（2）得?的分布列为：
? 25 1414 30 11241124?35?14?40? 35 124?40 512124 P 所以E??25?
7302414 ?30??30 ??????13分
18. （本题满分14分）
【解析】（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，
00?，B?0，，20?，A1?0，，22?，B1?0，，42?， 则C?2，，?????????????AA1??0，2，2?，BC?B1C1??2，?2，0?．
C1
P B1 A1 z
x C A B ????????????????AA1?BCcos?AA1，BC???????????AA1?BC?48?8??12，
y 第7页 共11页
故AA1与棱BC所成的角是π． ??????6分
3（2）设B1P??B1C1??2?，?2?，0?，则P?2?，4?2?，2?． 于是AP?4???4?2???4?22?????????14???12（??
32
舍去），
则P为棱B1C1的中点，其坐标为P?1，，32?． ?????8分
??设平面P?AB?A1的法向量为n1??x,y,z?，
????????x?3y?2z?0?n1?AP?0则??????, 即? 令z?1 ?2y?0???n1?AB?0?? 故n1???2，0，1? ?????11分 ?????????????n1?n2225而平面ABA1的法向量n22=(1,0,0)，则cosn1,n2??? ???????55n1n2故二面角P?AB?A1的平面角的余弦值是
19．（本题满分14分）
【解析】（1）又由点M在准线上，得
a2255． ??????14分
c?2 ?????2分
故
1?cc2?2，?c?1 从而a?2
所以椭圆方程为
x22?y?1 ?????4分
2（2）以OM为直径的圆的方程为x(x?2)?y(y?t)?0
t2t2即(x?1)?(y?
2)?24?1
其圆心为(1,),半径r?2tt24?1 ?????6分
因为以OM为直径的圆被直线3x?4y?5?0截得的弦长为2
第8页 共11页
所以圆心到直线3x?4y?5?0的距离d?3?2t?55t2r?1 ?2t2 ?????8分
所以
?，解得t?4
所求圆的方程为(x?1)2?(y?2)2?5 ?????10分 （3）方法一：由平几知：ON直线OM：y?t22?OKOM
2t(x?1) ?????12分
x，直线FN：y??t?y?x?4?2由?得xK?2
t?42?y??(x?1)?t?2?ON?(1?t?)?(1?4t24)xK?(1?t24)xM 224t?4?2?2所以线段ON的长为定值2。 ?????14分
?????????FN?(x0?1,y0),OM?(2,t)方法二、设N(x0,y0)，则 ???? ?????MN?(x0?2,y0?t),ON?(x0,y0)??????????FN?OM,?2(x0?1)?ty0?0,?2x0?ty0?2 ?????12分 ?????????2又?MN?ON,?x0(x0?2)?y0(y0?t)?0,?x0?y02?2x0?ty0?2
????所以，ON?x0?y0?222为定值 ?????14分
20. （本题满分14分） 【解析】（1）S扇?S弓?f(?)?12122R?，S?OCD?212Rsin?2,
R(??sin?).
?????3分
(2)设总利润为y元，草皮利润为y1元，花木地利润为y2，观赏样板地成本为y3
11212122y1?3(?R?R?)，y2?Rsin??8，y3?R(??sin?)?2,
2222第9页 共11页
11212122?y?y1?y2?y3?3(?R?R?)?Rsin??8?R(??sin?)?2 .
2222 ?12
设g(?)?5??10sin? ??(0?,. )R[3??(?5?10s?in2)].?????8分
'g(?)?5?10cos?
g(?)?0,cos??g(?)?0,cos??''1212,g(?)在??（0, ,g(?)在??（?3上为减函数； ）?3，?）上为增函数. ?????12分
当???3时，g(?)取到最小值,此时总利润最大.
?3答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成
21.(本题满分14分)
时，总利润最大. ?????14分
?2?4k?b1?b?0,k?【解析】（1）??f(x)?k2?4?16?bx ????? 3分
（2）g(x)?x2(x?0)
x?2?0? g(x)?g(x?2)?2ax?2??22?x?(x?2)?2ax?2原问题等价于a?x?利用函数y?x?1x1x?2在x?[2,??)恒成立 ?????6分
12?2在区间[2,??)上为增函数可得a?
?????8分
?12?y?x?x??a1? ????? 9分 （3）由?33??y?3x?y?x??由???y?3(x?Sn?1)3x?13x?133Sn?1?0?x?1?6Sn?1?61?12Sn?1
将x代人an?2(x?Sn?1)?已知(an?又(an?1??(an?1?
?1?12Sn?1，由此原问题转化为
231313)?221919?(1?12Sn?1)且a1?，求an ????? 11分
13)?(an?2)?2?(1?12Sn)，两式相减可得：(an?1?13)?(an?1?an)(an?1?an?第10页 共11页
213)?243an
13)?(an?23)?0
又，因为an?0，所以an?1?an?从而{an}是以
2323?0
2n3为首项，
23为公差的等差数列，即an? ?????14分
第11页 共11页